模擬電路故障特征降維方法*

廖　劍， 周紹磊， 史賢俊， 王　朕

（1.中國人民解放軍第91550部隊 大連，116000）（2.海軍航空工程學(xué)院控制工程系 煙臺，264001）

?

模擬電路故障特征降維方法*

廖劍1，2， 周紹磊2， 史賢俊2， 王朕2

（1.中國人民解放軍第91550部隊 大連，116000）（2.海軍航空工程學(xué)院控制工程系 煙臺，264001）

為有效進(jìn)行模擬電路故障特征的降維處理，在線性判別分析（LDA）中通過引入局部化思想提出一種局部線性判別分析（LLDA）降維方法。首先構(gòu)造單個數(shù)據(jù)的局部數(shù)據(jù)塊，計算其類內(nèi)、類間散度矩陣，通過縮放因子平衡局部鄰域類內(nèi)緊性和類間散性之差建立單個數(shù)據(jù)的局部優(yōu)化準(zhǔn)則；然后在整個數(shù)據(jù)空間中采用對齊算法重構(gòu)最終目標(biāo)函數(shù)，最后使用標(biāo)準(zhǔn)特征值分解方法求得投影矩陣完成數(shù)據(jù)降維。算法充分利用數(shù)據(jù)的局部判別信息使其能夠處理數(shù)據(jù)的非線性并保持?jǐn)?shù)據(jù)的類區(qū)分度，而且克服了LDA中的小樣本問題。算法在標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集和模擬電路故障特征提取中進(jìn)行實驗均取得了較好的效果。

降維；模擬電路；特征提??；線性判別分析；局部線性判別分析

引 言

故障特征提取是模擬電路故障診斷的關(guān)鍵技術(shù)之一，如何有效地進(jìn)行故障特征提取將會對故障診斷結(jié)果產(chǎn)生重要的影響［1-3］。目前，基于信號處理的故障特征提取方法是當(dāng)前研究的重點［3］。該方法通常是對電路響應(yīng)節(jié)點電壓信號進(jìn)行連續(xù)采集，然后直接或利用各種信號處理方法（如傅里葉變換［4］、小波變換等［5］）獲取電路狀態(tài)的動態(tài)特征信息進(jìn)行故障診斷，但往往獲得的診斷特征數(shù)據(jù)都是高維的，如果直接將其作為輸入設(shè)計故障分類器不但會增加計算的復(fù)雜性，通常得到的診斷結(jié)果也不是最優(yōu)的。因此，在利用獲得的特征數(shù)據(jù)進(jìn)行故障診斷之前，通常需要對其進(jìn)行降維處理。

降維方法可分為線性降維和非線性降維。典型的線性降維方法有主元分析（principal component analysis，簡稱PCA）［6］和線性判別分析（linear discriminant analysis，簡稱LDA）［7］。PCA不借助類別信息，通過最大化原始高維分布數(shù)據(jù)和投影后低維數(shù)據(jù)的互信息來完成數(shù)據(jù)的降維表示。LDA則利用類別信息通過最大化數(shù)據(jù)類間散度與類內(nèi)散度的跡之比獲得最優(yōu)投影方向進(jìn)行降維。然而PCA和LDA都保持?jǐn)?shù)據(jù)在高維空間中的全局結(jié)構(gòu)，使得它們的非線性降維效果不佳［8］。大部分模擬電路都是非線性的，即便是線性模擬電路發(fā)生故障時，其信號特征往往也是非線性的，因此利用線性降維方法對電路響應(yīng)信號進(jìn)行處理是不合適的［9］。近年來，以局部線性嵌入（locally linear embedding，簡稱LLE）［10］、等距特征映射（isometric feature mapping，簡稱ISOMAP）［11］、拉普拉斯特征映射（laplacian eigenmaps，簡稱LE）［12］和局部切空間排列算法（local tangent space alignment，簡稱LTSA）［13］為代表的非線性降維方法成為研究的熱門。雖然它們在處理特定的人工數(shù)據(jù)時表現(xiàn)出良好的性能，但在處理實際數(shù)據(jù)時并沒有明顯的優(yōu)勢［14］。此外，一些基于流形學(xué)習(xí)的非線性降維方法不能產(chǎn)生從高維空間到低維空間的映射函數(shù)，因而無法處理新出現(xiàn)的樣本，使得此類方法在諸如模式識別、故障診斷等分類任務(wù)的應(yīng)用中受到限制［15］。研究表明，數(shù)據(jù)間的局部流形結(jié)構(gòu)可能更有助于模式分類。為此，一些研究聚集在如何將局部化思想引入到降維方法中，例如近年提出的局部保持投影（locality preserving projections，簡稱LPP）［16］、局部Fisher判別分析（local fisher discriminant analysis，簡稱LFDA）［17］、邊界Fisher分析（marginal fisher analysis，簡稱MFA）［18］和局部判別投影（local discriminant projection，簡稱LDP）［14］都是局部化思想的應(yīng)用。但LPP是一種無監(jiān)督方法，將其用于分類顯然不是最優(yōu)的。LFDA和MFA都在同類近鄰樣本間的權(quán)值定義中引入了局部信息，而對異類樣本近鄰關(guān)系的權(quán)值定義則予以忽略或簡單的設(shè)定為1，都將對降維結(jié)果產(chǎn)生不利影響。LDP在LFDA和MFA的基礎(chǔ)上同時考慮了同類樣本和異類樣本間的近鄰關(guān)系，但其解的求取無法克服小樣本的奇異值問題。

筆者從分析LDA及LFDA中的不足入手，然后在其基礎(chǔ)上通過強調(diào)單個數(shù)據(jù)的局部關(guān)系，提出一種局部線性判別分析（local linear discriminant analysis，簡稱LLDA）降維方法。采用與LFDA不同的局部化方法并使用類內(nèi)與類間散度矩陣之差作為目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，有效地克服了LFDA方法的不足和LDA中存在的小樣本問題，在標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集和模擬電路故障特征提取試驗中均取得了較好的效果。

1 LDA，LFDA及其不足

設(shè)由N個樣本組成的數(shù)據(jù)集記為X=［x1，…，xN］∈Rm×N，xi（1≤i≤N）∈Rm，m為每個樣本的維數(shù)。數(shù)據(jù)降維就是按照某種優(yōu)化準(zhǔn)則求得一個投影矩陣W∈Rm×d，將樣本集投影到低維空間得到Y(jié)= WTX=［y1，…，yN］∈Rd×N，yi（1≤i≤N）∈Rd為樣本xi在低維空間中的投影。

經(jīng)典線性判別分析降維方法LDA的基本思想是最小化類內(nèi)散度和最大化類間散度，并以類間散度矩陣的跡和類內(nèi)散度矩陣的跡之比為優(yōu)化目標(biāo)［］：

其中：SW和SB分別稱為類內(nèi)和類間散度矩陣；W則是需求解的最優(yōu)投影向量集；C為數(shù)據(jù)集的類別總數(shù)；Ni為第i類樣本總數(shù)；xji為第i類的第j個樣本為第i類樣本的平均值；為所有樣本的平均值。LDA的目標(biāo)函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為廣義特征值問題的求解［8］，即

求解LDA的最優(yōu)投影向量實際上就是獲得矩陣SBS-1W的主導(dǎo)向量，但對于小樣本情況下，類內(nèi)散度矩陣SW通常是不可逆的。

為后面便于與LFDA比較，把LDA的SW和SB改寫成下面的等價形式［17］：

從式（3）中不難看出，權(quán)值pij和體現(xiàn)了判別信息，即權(quán)值與xi和xj是否同類有關(guān)，然而pij和中沒有體現(xiàn)局部信息，即權(quán)值與xi和xj是否相鄰無關(guān)［14］。

文獻(xiàn)［17］提出一種LFDA方法，其在LDA權(quán)值的定義中融入了局部信息，目標(biāo)函數(shù)與LDA優(yōu)化目標(biāo)一致，LFDA中權(quán)值定義為其中：Aij表示xi和xj之間的一種相似性度量，通常Aij可取為熱核［12］，可見LFDA體現(xiàn)了局部信息。

但LFDA不考慮異類樣本之間的近鄰關(guān)系，只要兩個樣本異類，兩者之間的權(quán)值就是1/N，這樣會帶來兩個缺點：一是對野值敏感，二是不考慮異類樣本之間的近鄰關(guān)系，會導(dǎo)致相距較遠(yuǎn)的異類樣本在目標(biāo)函數(shù)中占據(jù)較大比重，以致在處理某些多模問題時出現(xiàn)錯誤［14］。

2 LLDA

為解決LDA與LFDA方法中存在的問題，文中提出一種結(jié)合局部化信息的LLDA方法。LLDA通過對單個樣本建立近鄰類內(nèi)散度矩陣和類間散度矩陣，構(gòu)造局部優(yōu)化準(zhǔn)則，然后采用對齊算法［13］在整個數(shù)據(jù)空間中重構(gòu)目標(biāo)函數(shù)，最后使用特征值分解方法求得投影矩陣完成數(shù)據(jù)降維。除引入局部信息外，LLDA在構(gòu)造局部優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)時與LDA算法的不同之處還在于，LDA方法是最大化類間散度矩陣和類內(nèi)散度矩陣之比，而LLDA方法則是通過最小化引入了縮放因子的類內(nèi)散度和類間散度矩陣之差，避免了類內(nèi)散度矩陣求逆造成的LDA中存在的小樣本問題。其具體步驟如下：

如第1節(jié)定義，設(shè)數(shù)據(jù)集X中任一樣本xi，選擇其k1個同類近鄰組成同類近鄰數(shù)據(jù)集同理選擇其k2個異類近鄰組成異類近鄰數(shù)據(jù)集：［xi1，…，xik2］。這樣把樣本xi及由k1個同類近鄰和k2個異類近鄰組成的數(shù)據(jù)集稱為xi的局部數(shù)據(jù)塊。對高維空間中的每一個xi都可以形成如上定義的局部數(shù)據(jù)塊。對每一個局部數(shù)據(jù)塊相應(yīng)的低維空間表示為根據(jù)LDA思想，期望數(shù)據(jù)投影在低維空間中同類樣本之間盡可能緊湊，而異類樣本之間盡可能分散。因此，對每一個局部數(shù)據(jù)塊，期望數(shù)據(jù)在投影之后近鄰?fù)悩颖局g盡可能緊湊，于是有

同時，也期望數(shù)據(jù)在投影之后近鄰異類樣本之間盡可能分散，于是有

數(shù)據(jù)塊都是局部近鄰構(gòu)成的，可以認(rèn)為是近似線性的，于是采用線性化的處理手段將雙目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為如下單目標(biāo)問題：

其中：η∈［0，1］是一個縮放因子，用來在每個局部鄰域中的類內(nèi)緊性和類間散性之間尋求一個滿意的平衡。

設(shè)定義相關(guān)系數(shù)向量：

ωi中1的個數(shù)為k1，-η的個數(shù)為k2，于是式（7）可進(jìn)一步化簡為

Fi=［i，i1，…，ik1，i1，…，ik2］為局部數(shù)據(jù)塊Xi中數(shù)據(jù)點的索引向量為（k1+k2）×（k1+k2）的單位矩陣。

根據(jù)文獻(xiàn)［13］中的對齊算法，有

其中：Si∈N×K為選擇矩陣，K=k1+k2+1，相應(yīng)的元素定義為

于是式（9）可重寫為

通過把每個局部數(shù)據(jù)塊相加，得到整體數(shù)據(jù)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

最終式（14）的求解可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)特征值的求解問題，避免了LDA和LFDA中廣義特征值求解可能帶來的奇異值問題。

根據(jù)以上推導(dǎo)，可以得到使用LLDA進(jìn)行數(shù)據(jù)降維的基本過程如下：

巷道圍巖不同測點位置位移隨加載次數(shù)的變化如圖4所示。從圖中可看出，邊界應(yīng)力加載過程中巷道圍巖應(yīng)力變化主要表現(xiàn)為兩個階段：(1)外力加載至0.8MPa時，測點2、3、6、7處圍巖開始發(fā)生變形破壞，且測點2、7處位移量明顯較大，表明巷道拱部左側(cè)與底板右側(cè)首先發(fā)生變形破壞，且巷道變形量最大的位置達(dá)到30mm以上；(2)外力加載至1.6MPa時，其他測點也開始發(fā)生變形，且每個測點的變形量持續(xù)增加，未出現(xiàn)穩(wěn)定期，表明超千米深井圍巖發(fā)生持續(xù)變形破壞，且破壞范圍較大。

（1）對數(shù)據(jù)集X中的每一個數(shù)據(jù)樣本xi，選擇合適的k1個近鄰?fù)悩颖竞蚹2個近鄰異類樣本構(gòu)造樣本xi的局部數(shù)據(jù)塊X Xi；

（2）通過式（10）計算Li，然后根據(jù)式（15）迭代產(chǎn)生對齊矩陣L；

（3）求解標(biāo)準(zhǔn)特征值問題XLXTw=λw得到LLDA投影矩陣為W=［w1，…，wd］，于是有：

3 仿真試驗與分析

為了驗證LLDA算法的性能，在幾個標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集上系統(tǒng)地比較了LLDA算法與PCA［6］，LDA［7］，LFDA［17］，LDP［14］等算法。LFDA采用文獻(xiàn)［17］提供的代碼，參數(shù)設(shè)置使用默認(rèn)值。LDP中選擇近鄰個數(shù)k=8。LLDA中同類近鄰個數(shù)k1取6，異類近鄰個數(shù)k2取10。為使試驗具有代表性，在同樣的軟硬件平臺下進(jìn)行試驗。

3.1數(shù)據(jù)集描述

試驗中的數(shù)據(jù)集包括來自UCI數(shù)據(jù)庫［17］的3個數(shù)據(jù)集（分別為Ionosphere，Sonar和MF），Benchmark數(shù)據(jù)庫的6個數(shù)據(jù)集［14］（分別為Breastcancer，German，Heart，Image，Thyroid和Waveform）以及一個基因數(shù)據(jù)集（Gene）［19］，共10個數(shù)據(jù)集。其中Benchmark數(shù)據(jù)庫中有多個數(shù)據(jù)集數(shù)據(jù)呈現(xiàn)多模分布，在表1中用“*”進(jìn)行了標(biāo)記。所有的數(shù)據(jù)集被隨機分成3部分：訓(xùn)練集、驗證集和測試集，每個數(shù)據(jù)集各部分樣本數(shù)見表1所示。訓(xùn)練集用于學(xué)習(xí)相應(yīng)的低維子空間投影矩陣，驗證集用于選擇算法中的最優(yōu)降維子空間d，測試集用于驗證最終的識別精度。表1給出了各數(shù)據(jù)集的基本信息。

表1　各數(shù)據(jù)集的基本信息Tab.1 Basic information of dataset

試驗對每個數(shù)據(jù)集按照表1中的訓(xùn)練集、驗證集和測試集重復(fù)進(jìn)行10次，產(chǎn)生10組不同的訓(xùn)練集、驗證集和測試集以獲得更好的試驗結(jié)果，并以10組的平均識別率作為最終的測試結(jié)果。在驗證和測試階段使用最近鄰分類器進(jìn)行分類。

圖1（a）～（c）分別給出了Ionosphere、Breastcancer和Gene數(shù)據(jù)集在驗證集上的平均識別率隨子空間維數(shù)d的變化曲線圖。表2給出了所有數(shù)據(jù)集在測試集上的最終識別率，同時表中括號內(nèi)還給出了相應(yīng)識別率時的最優(yōu)子空間維數(shù)。從表2中看出，LLDA算法在大部分?jǐn)?shù)據(jù)集上都取得了最優(yōu)的結(jié)果，在2類多模數(shù)據(jù)集中也有1類達(dá)到最優(yōu)，表明了文中算法的優(yōu)勢。但同時應(yīng)該注意到，LDP算法和LLDA算法在大部分?jǐn)?shù)據(jù)集上的識別率并沒有很明顯的差別。特別對于Gene數(shù)據(jù)集，圖1（c）和表2中并沒有列出LDA、LFDA及LDP算法的試驗結(jié)果數(shù)據(jù)，這是因為上述3種算法都存在小樣本的奇異值問題，導(dǎo)致其投影矩陣無法求解。因此表和圖中相應(yīng)無值，但文中算法不存在這個問題，并取得了100％的識別率。可見文中算法從整體上要優(yōu)于對比的其他幾種算法。

圖1　平均識別率隨子空間維數(shù)的變化曲線圖Fig.1 Diagram of average recognition rate vs. subspace dimension

表2　各種降維算法在數(shù)據(jù)集上的識別率Tab.2 Recognition rate of dimension reduction algorithm on different datasets

4 應(yīng)用實例

將文中算法用于模擬電路故障診斷的特征提取數(shù)據(jù)降維中，進(jìn)一步驗證算法的實際使用效果。

4.1模擬電路及其故障模式

文中以兩級四運放低通濾波器電路［3，20］為例進(jìn)行試驗分析。兩級四運放低通濾波器的電路結(jié)構(gòu)及元件標(biāo)稱值詳見參考文獻(xiàn)［20］。其中設(shè)定電路中電容容差為±10％，電阻容差為±5％。輸入節(jié)點為Vin，設(shè)定輸入激勵信號是幅值為5 V、寬度為10μs的窄脈沖。故障模式設(shè)置與文獻(xiàn)［3，20］完全一致，15種軟故障如表3所示。

表3　電路中軟故障模式Tab.3 Soft fault mode in circuit

4.2特征提取

給兩級四運放低通濾波器電路施加幅值為5 V、寬度為10μs的窄脈沖，用Pspice仿真采樣電路Vout節(jié)點電壓值，采樣率為5×105samples/s，采樣時間為1 ms，每種故障模式及正常模式各進(jìn)行50次Monte-Carlo分析，共采樣800組數(shù)據(jù)。然后根據(jù)文獻(xiàn)［3］的計算方法，對所有采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行最優(yōu)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（fractional Fourier transform，簡稱FRFT）得到相應(yīng)16種故障模式（包括正常狀態(tài)）的800組501維特征向量。文中只是利用文獻(xiàn)［3］取得的故障特征數(shù)據(jù)用于降維對比，并不討論模擬電路最優(yōu)故障特征的提取問題，所以詳細(xì)的故障特征提取步驟和故障特征樣本集獲取請參見文［3］。

4.3數(shù)據(jù)降維及結(jié)果分析

文中以Normal（正常）狀態(tài)和R19故障狀態(tài)為例，說明文中算法相對于文獻(xiàn)［3］中采用PCA進(jìn)行數(shù)據(jù)降維的優(yōu)勢。利用文獻(xiàn)［3］中的方法采用遺傳算法獲得電路原始響應(yīng)數(shù)據(jù)集的最優(yōu)分?jǐn)?shù)階p是0.093 57，對兩種電路狀態(tài)的響應(yīng)數(shù)據(jù)集進(jìn)行FRFT以獲得最佳分離狀態(tài)的原始特征數(shù)據(jù)集，然后采用不同的降維方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行降維。圖2是兩原始特征數(shù)據(jù)集經(jīng)過PCA降維和歸一化處理后投影到低維特征空間的分布圖；圖3是兩原始特征數(shù)據(jù)集經(jīng)過LLDA降維和歸一化處理后投影到低維特征空間的分布圖。對比二圖可知，特征數(shù)據(jù)經(jīng)過PCA降維在子空間中的分散度大、交叉嚴(yán)重、不利于故障分類，而采用LLDA降維投影到低維子空間后，特征數(shù)據(jù)集明顯聚集，可分性得到較大的增強。同時，采用基于類內(nèi)類間距離的可分離性準(zhǔn)則判定降維后數(shù)據(jù)集的可分離性，可得到經(jīng)過PCA降維的數(shù)據(jù)集的Jd（x）為0.339，而經(jīng)過LLDA降維方法處理的數(shù)據(jù)集的Jd（x）為0.528，明顯高于PCA降維方法?？梢娢闹兴惴塬@得更有利于故障區(qū)分的低維信號特征，降維后的數(shù)據(jù)質(zhì)量更高。

圖2　最優(yōu)FRFT-PCA降維Fig.2 Dimension of optimized FRFT-PCA

圖3　最優(yōu)FRFT-LLDA降維Fig.3 Dimension of optimized FRFT-LLDA

為進(jìn)一步驗證采用文中降維方法獲得的故障特征更有利于故障分類，對兩級四運放低通濾波器電路實施基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的故障診斷試驗，其過程設(shè)計為：

（1）原始最優(yōu)FRFT特征分別經(jīng)過PCA降維和LLDA降維處理后作為故障診斷用數(shù)據(jù)集，試驗過程中分別設(shè)定訓(xùn)練集個數(shù)為16×20=360，測試集個數(shù)為16×30=480。

（2）采用3層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分類診斷，參考文獻(xiàn)［3］，兩次診斷的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用相同的結(jié)構(gòu)，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)經(jīng)反復(fù)調(diào)整，采用2×5×16的層次結(jié)構(gòu)，傳遞函數(shù)和訓(xùn)練函數(shù)都采用“l(fā)ogsig”，得到兩種特征提取降維方法的故障診斷結(jié)果如表4所示。

表4　故障診斷結(jié)果Tab.4 Diagnosis results

從表4可知，文中采用基于LLDA的故障特征降維方法取得了比基于PCA降維方法更高的故障診斷率，在模擬電路故障診斷特征提取的非線性數(shù)據(jù)降維中確實有效并且取得了比PCA線性降維方法更好的效果。

5 結(jié)束語

針對模擬電路故障診斷特征提取的非線性數(shù)據(jù)降維問題，文中提出一種局部化LDA算法，得到的降維后特征數(shù)據(jù)能更有利于模擬電路的故障分類，取得更高的故障診斷率。在分析了現(xiàn)有數(shù)據(jù)降維方法不足的基礎(chǔ)上，通過在LDA中融入局部化思想提出一種LLDA非線性降維方法，算法通過在局部領(lǐng)域內(nèi)構(gòu)建局部數(shù)據(jù)塊的類內(nèi)散度矩陣和類間散度矩陣之差，然后在整個數(shù)據(jù)空間中采用對齊算法重構(gòu)目標(biāo)函數(shù)，使用標(biāo)準(zhǔn)特征值分解方法求得投影矩陣完成數(shù)據(jù)降維，避免了現(xiàn)有大部分算法中存在的小樣本問題。通過使用幾個標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集進(jìn)行試驗驗證，與現(xiàn)有算法相比，LLDA算法能更好地提取數(shù)據(jù)集中所蘊含的非線性特性，且對多模數(shù)據(jù)同樣有效。最后將LLDA算法用于模擬電路故障特征提取的數(shù)據(jù)降維過程中，驗證了經(jīng)過LLDA算法處理后的故障特征能有效提高故障診斷率，證明了文中方法在數(shù)據(jù)降維方面的優(yōu)勢。

［1］ Tan Yanghong，He Yigang，Cui Chun，et al.A novel method for analog fault diagnosis based on neural networks and genetic algorithms［J］.IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement，2008，57（11）：2631-2639.

［2］ Mohammadik K，Seyyed Mahdayi S J.On improving training time of neural networks in mixed signal circuit fault diagnosis applications［J］.Microelectronics Reliability，2008，48：781-793.

［3］ 羅慧，王友仁，崔江.基于最優(yōu)分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的模擬電路故障特征提取新方法［J］.儀器儀表學(xué)報，2009，30（5）：997-1001. Luo Hui，Wang Youren，Cui Jiang.New approach to extract analog circuit fault features based on optimal fractional Fourier transform［J］.Chinese Journal of Scientific Instrument，2009，30（5）：997-1001.（in Chinese）

［4］ Guo Huihe，Zheng Meixie，Rong Chen.Automatic classification of form features based on neural networks and Fourier transform［C］//Proceeding of Inter-national Conference on Machine Learning and Cybernetics.Kunming：Kunming University Press，2008：1162-1166.

［5］ Chen Taowei，Jin Weidong，Chen Zhenxing，F(xiàn)eature extraction using wavelet transform for radar emitter Signal［C］//Proceeding of International Conference on Communications and Mobile Computing.Kunming：Yunnan University Press，2009：414-418.

［6］ 劉永斌，何清波，孔凡讓，等.基于PCA和SVM的內(nèi)燃機故障診斷［J］.振動、測試與診斷，2012，32（2）：250-256. Liu Yongbin，He Qingbo，Kong Fanrang，et al.Fault diagnosis of internal combustion engine using PCA and SVM［J］.Journal of Vibration，Measurement&Diagnosis，2012，32（2）：250-256.（in Chinese）

［7］ 肖迎群，馮良貴，何怡剛.基于小波分析和核判別分析的模擬電路故障診斷［J］.電工技術(shù)學(xué)報，2012，27（8）：230-238. Xiao Yingqun，F(xiàn)eng Lianggui，He Yigang.A fault diagnosis approach of analog circuit using wavelet-based fractal analysis and kernel LDA［J］.Transactions of China Electrotechnical Society，2012，27（8）：230-238.（in Chinese）

［8］ Zhang Tianhao，Tao Dacheng，Li Xuelong，et al. Patch alignment for dimensionality reduction［J］. IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering，2009，21（9）：1299-1313.

［9］ 韓海濤，馬紅光，曹建福，等.基于非線性頻譜特征及核主元分析的模擬電路故障診斷方法［J］.電工技術(shù)學(xué)報，2012，27（8）：249-254. Han Haitao，Ma Hongguang，Cao Jianfu，et al.Fault diagnosis method of analog circuits based on characteristics of the nonlinear frequency spectrum and KPCA［J］.Transactions of China Electrotechnical Society，2012，27（8）：249-254.（in Chinese）

［10］Roweis S T，Saul L K.Nonlinear dimensionality reduction by locally linear embedding［J］.Science，2000，290：2323-2326.

［11］Tenenbaum J，Silva V，Langford J.A global geometric framework for nonlinear dimensionality reduction［J］.Science，2000，290：2319-2323.

［12］Belkin M，Niyogi P.Laplacian eigenmaps and spectral techniques for embedding and clustering［J］.Advances in Neural Information Processing System，2002，14：585-591.

［13］Zhang Zhenyue，Zha Hongyuan.Principal manifolds and nonlinear dimension reduction via local tangent space alignment［J］.SIAM Journal Scientific Computing，2005，26（1）：313-338.

［14］謝鈞，劉劍.一種新的局部判別投影方法［J］.計算機學(xué)報，2011，34（11）：2243-2250. Xie Jun，Liu Jian.A new local discriminant projection method［J］.Chinese Journal of Computers，2011，34（11）：2243-2250.（in Chinese）

［15］程起才，王洪元，吳小俊，等.一種基于ISOMAP的分類算法［J］.控制與決策，2011，26（6）：826-831. Cheng Qicai，Wang Hongyuan，Wu Xiaojun，et al. An algorithm for classification based on ISOMAP［J］. Control and Decision，2011，26（6）：826-831.（in Chinese）

［16］He X，Niyogi P.Locality preserving projections［C］// Proc of the 16th Advances in Neural Information Processing System.Vancouver，Canada，2004，16：153-160.

［17］Sugiyama M.Dimensionality reduction of multimodal labeled data by local fisher discriminant analysis［J］. Journal of Machine Learning Research，2007，8：1027-1061.

［18］Yan Shuicheng，Xu Dong，Zhang Benyu，et al.Graph embedding and extensions：a general framework for dimensionality reduction［J］.IEEE Transaction on Pattern Analysis and Machine Intelligence，2007，29（1）：40-51.

［19］Bhattacharjee A.Classification of human lung carcinomas by mRNA expression profiling reveals distinct adenocarcinoma subclasses［C］//Proceeding on National Academic Science.USA：Humana Press，2001：13790-13795.

［20］Aminian M，Aminian F.Neural-network based analog-circuit fault diagnosis using wavelet transform as preprocessor［J］.IEEE Trans Circuits Syst.II，2000，47（2）：151-156.

TP391.4；TP206.1

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.02.012

廖 劍，男，1985年6月生，博士生。研究方向為電子系統(tǒng)設(shè)計、測試與故障診斷。曾發(fā)表《基于FRFTFD和KPCA的模擬電路故障特征提取新方法》（《振動、測試與診斷》2014年第34卷第2期）等論文。

E-mail：251250544@qq.com

*國家青年科學(xué)基金資助項目（61203168）

2013-10-08；

2013-12-02