被動(dòng)式Stewart隔沖平臺(tái)剛度特性研究*

張春輝， 汪　玉， 溫肇東， 趙建華

（1.海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院 武漢，430033）（2.海軍裝備研究院 北京，100161）

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被動(dòng)式Stewart隔沖平臺(tái)剛度特性研究*

張春輝1， 汪玉2， 溫肇東2， 趙建華1

（1.海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院 武漢，430033）（2.海軍裝備研究院 北京，100161）

建立了Stewart隔沖平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)微分方程，分析了隔沖平臺(tái)三個(gè)方向的動(dòng)態(tài)剛度特性，討論了剛度大小對(duì)平臺(tái)抗沖擊性能的影響，對(duì)隔沖平臺(tái)進(jìn)行了落錘式?jīng)_擊試驗(yàn)，并與仿真結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。研究結(jié)果表明：被動(dòng)式Stewart隔沖平臺(tái)的三向動(dòng)態(tài)剛度近似呈線性；隔沖平臺(tái)的橫向沖擊隔離率大于縱向沖擊隔離率，縱向沖擊隔離率大于垂向沖擊隔離率；試驗(yàn)所得的沖擊隔離率達(dá)到86.39％以上。研究成果可為Stewart隔沖平臺(tái)在船舶設(shè)備抗沖擊中的實(shí)際應(yīng)用提供理論和試驗(yàn)依據(jù)。

Stewart平臺(tái)；沖擊隔離；剛度特性；沖擊試驗(yàn)

引 言

船舶上的導(dǎo)航設(shè)備是通過測量載體相對(duì)于慣性空間的角運(yùn)動(dòng)和線運(yùn)動(dòng)參數(shù)，計(jì)算后實(shí)施船舶導(dǎo)航任務(wù)的裝置，具有定位精度高、自主性強(qiáng)、提供航行參數(shù)多等優(yōu)點(diǎn)，是保證船舶準(zhǔn)確航行的重要設(shè)備［1］。導(dǎo)航設(shè)備的靜動(dòng)態(tài)力學(xué)性能直接影響著慣性儀表的工作精度，進(jìn)而影響船舶的導(dǎo)航精度。船舶在水中航行時(shí)受到的各個(gè)方向的沖擊作用（如水下非接觸爆炸或接觸爆炸產(chǎn)生的多角度沖擊）是影響船舶導(dǎo)航設(shè)備靜動(dòng)態(tài)力學(xué)性能的主要因素之一［2］。因此，研究高精度導(dǎo)航組件的抗沖擊技術(shù)，設(shè)計(jì)出滿足導(dǎo)航精度的抗沖擊隔離系統(tǒng)，對(duì)于增強(qiáng)導(dǎo)航組件的抗沖擊性能、提高導(dǎo)航精度和壽命具有重要意義。

六自由度Stewart平臺(tái)是一個(gè)包含多環(huán)閉鏈結(jié)構(gòu)的復(fù)雜多體系統(tǒng)，具有剛度高、承載能力強(qiáng)、動(dòng)態(tài)特性好等優(yōu)點(diǎn)［3］，其在飛行器敏感設(shè)備的隔振［4］、并聯(lián)機(jī)床［5］、精密定位［6-7］、主動(dòng)隔振領(lǐng)域［8］的應(yīng)用比較成熟，但在多自由度抗沖擊方面的研究較少。沖擊響應(yīng)屬于瞬態(tài)運(yùn)動(dòng)，主動(dòng)和半主動(dòng)控制需要一定的反應(yīng)時(shí)間和外部能源［9］，目前尚不能較好地應(yīng)用到?jīng)_擊隔離中，而被動(dòng)隔沖是當(dāng)前最普遍使用的沖擊隔離技術(shù)，其結(jié)構(gòu)簡單，造價(jià)低，易于維護(hù)，只要選擇合理的彈性元件和阻尼元件就可以達(dá)到較好的沖擊隔離效果［10］。筆者以被動(dòng)式六自由度Stewart隔沖平臺(tái)為研究對(duì)象，運(yùn)用矩陣傳遞法建立了Stewart平臺(tái)的數(shù)學(xué)模型，分析了隔沖平臺(tái)三個(gè)方向的動(dòng)態(tài)剛度特性；以質(zhì)量體模擬被隔離的精密電子設(shè)備，采用落（擺）錘式?jīng)_擊試驗(yàn)機(jī)對(duì)隔沖平臺(tái)進(jìn)行了沖擊試驗(yàn)，并與仿真結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

1 Stewart隔沖平臺(tái)數(shù)學(xué)模型

1.1單個(gè)隔沖器特性分析

六自由度Stewart隔沖平臺(tái)的簡化結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由基座、6個(gè)隔沖器和支撐平臺(tái)組成。為了研究Stewart平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)特性，取廣義坐標(biāo)（xA，yA，zA，αA，βA，γA）和（xB，yB，zB，αB，βB，γB）分別表示基座和支撐平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)，如圖2所示。

圖1　Stewart平臺(tái)示意圖Fig.1 Stewart platform diagram

根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣和卡爾丹角坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)原則［11］，可以得到任意一個(gè)隔沖器i上下兩端之間的相對(duì)位移矢量DiQi在慣性坐標(biāo)系中的表達(dá)式：

圖2　Stewart平臺(tái)基本坐標(biāo)系Fig.2 Stewart platform fundamental coordinate system

其中：RA，RB分別為A/B坐標(biāo)系中的向量與慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。

同理，可以得到支撐平臺(tái)B關(guān)于慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ji的表達(dá)式

其中：Ji0為支撐平臺(tái)關(guān)于隨體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

令慣性坐標(biāo)系的慣性基為（ex，ey，ez），第i個(gè)隔沖器的軸向單位矢量為方向由Qi指向Di。假設(shè)第i個(gè)隔沖器的軸向剛度為Ki，阻尼為Ci，則其在慣性坐標(biāo)系中的3向分解如圖3所示。3個(gè)方向的剛度分量表達(dá)式如下：

結(jié)合圖2、圖3可以看出，第i個(gè)隔沖器在某一時(shí)刻對(duì)三個(gè)坐標(biāo)軸的力矩分別為

由上式可推得支撐平臺(tái)3個(gè)方向的總剛度分別為

其中：θx，θy，θz分別是某一時(shí)刻支撐平臺(tái)繞3個(gè)方向的轉(zhuǎn)角。

同理可得支撐平臺(tái)3個(gè)方向的總阻尼系數(shù)分別為

其中：Cix，Ciy，Ciz分別為第i個(gè)隔沖器在慣性坐標(biāo)系3個(gè)方向的阻尼系數(shù)分量；MiCx，MiCy，MiCz分別是第i個(gè)隔沖器3個(gè)方向的阻尼分力對(duì)平臺(tái)產(chǎn)生的力矩。

圖3　單個(gè)隔沖器剛度的3向分解Fig.3 Three-direction decomposition of single shock isolator

1.2Stewart平臺(tái)運(yùn)動(dòng)微分方程

選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系B，使其坐標(biāo)軸與支撐平臺(tái)的慣性主軸重合，且保證6個(gè)隔沖器的剛度分量方向與慣性坐標(biāo)系方向相同，則被動(dòng)式Stewart緩沖平臺(tái)的振動(dòng)微分方程為

其中：［M］為質(zhì)量矩陣，且

其中：m為支撐平臺(tái)質(zhì)量；Jxx，Jyy，Jzz分別為支撐平臺(tái)關(guān)于x，y，z軸的慣量；

K為剛度矩陣，且

C為阻尼系數(shù)矩陣，且

｛δ｝為上下平臺(tái)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)向量，且｛δ｝=（δx，δy，δz，δα，δβ，δγ），令向量AB的單位矢量為eAB，由圖2可以看出，δx=|AB|eAB·ex，δy=|AB|eAB·ey，δz=|AB|eAB·ez。［F（t）］為激勵(lì)力組成的矩陣。

2 數(shù)值仿真

2.1Stewart隔沖平臺(tái)的動(dòng)態(tài)剛度仿真

根據(jù)推導(dǎo)的運(yùn)動(dòng)微分方程，對(duì)被動(dòng)式Stewart隔沖平臺(tái)的動(dòng)態(tài)剛度進(jìn)行仿真分析。分析之前，把基座固定，給支撐平臺(tái)施加一個(gè)垂向位移激勵(lì)，使其按照正弦規(guī)律圍繞平臺(tái)靜平衡位置作上下往復(fù)運(yùn)動(dòng)。平臺(tái)的垂向動(dòng)態(tài)剛度與位移的關(guān)系曲線如圖4所示。從圖中可以看出，隔沖平臺(tái)的垂向剛度近似呈線性，但在壓縮階段（0～-0.018 m）和反彈階段（-0.032～-0.015 m）存在非線性特性，這是由于系統(tǒng)的非線性因素致使響應(yīng)發(fā)生了畸變。隔沖平臺(tái)的垂向動(dòng)態(tài)等效剛度為

圖4　隔沖平臺(tái)垂向動(dòng)態(tài)剛度曲線Fig.4 Vertical dynamic stiffness of the shock isolation platform

由式（8）可以計(jì)算得到垂向動(dòng)態(tài)剛度約為370.34（k N/m）。

同理，在x軸橫向和z軸縱向分別施加相同的位移激勵(lì)函數(shù)，分析平臺(tái)的橫（縱）向動(dòng)態(tài)剛度，結(jié)果如圖5，6所示。從圖中可以看出，隔沖平臺(tái)橫向和縱向動(dòng)態(tài)剛度近似成線性，橫向動(dòng)剛度值約為106.445（k N/m），縱向動(dòng)剛度值約為109.417（k N/m）。橫向與縱向剛度值不同的原因是隔沖器軸向剛度在x軸橫向和z軸縱向的分解量不同，如圖3所示。由此，可以判斷出Stewart平臺(tái)的垂向等效剛度大于縱向等效剛度，縱向等效剛度大于橫向等效剛度。

圖5　隔沖平臺(tái)橫向動(dòng)態(tài)剛度曲線Fig.5 Horizontal dynamic stiffness of the shock isolation platform

圖6　隔沖平臺(tái)縱向動(dòng)態(tài)剛度曲線Fig.6 Longitudinal dynamic stiffness of the shock isolation platform

2.2隔沖器剛度大小對(duì)平臺(tái)抗沖擊性能的影響

為了深入研究單個(gè)隔沖器的剛度對(duì)平臺(tái)抗沖擊性能的影響，分別計(jì)算了在不同剛度值下被隔離設(shè)備在3個(gè)方向的沖擊響應(yīng)，分析剛度對(duì)沖擊響應(yīng)幅值的影響。用50 kg的質(zhì)量體模擬被隔離設(shè)備，對(duì)于沖擊激勵(lì)，按照德國軍標(biāo)BV043-85推薦的正負(fù)雙半正弦時(shí)域信號(hào)對(duì)模型基礎(chǔ)施加沖擊輸入，即：

相應(yīng)的載荷譜值分別為：加速度譜值A(chǔ)=100 g，速度譜值V=4.2 m/s，位移譜值d=0.04 m。

由于3個(gè)方向的剛度均近似為線性剛度，以垂向沖擊為例，不同剛度下被隔離設(shè)備的垂向沖擊響應(yīng)曲線如圖7，8所示。從圖中可以看出，在沖擊載荷作用下，設(shè)備的響應(yīng)幅值均發(fā)生在第2個(gè)峰值處，且剛度越大，設(shè)備的響應(yīng)越早達(dá)到峰值。加速度響應(yīng)幅值隨著剛度的增大而增大，相對(duì)位移幅值隨著剛度的增大而減小。

圖7　不同剛度下垂向沖擊加速度響應(yīng)曲線Fig.7 Vertical shock acceleration vs.isolator stiffness

圖8　不同剛度下垂向沖擊相對(duì)位移響應(yīng)曲線Fig.8 Vertical shock relative displacement vs. isolator stiffness

沖擊響應(yīng)過程中，一般用沖擊隔離率來表示隔離器的隔沖效果，其值越大，表示隔離器的沖擊隔離作用越好。沖擊隔離率η計(jì)算公式為

其中：Amax1為基礎(chǔ)加速度幅值；Amax2為設(shè)備加速度響應(yīng)幅值。

不同剛度下Stewart隔沖平臺(tái)3向沖擊隔離率和相對(duì)位移幅值曲線如圖9，10所示。從圖9看出，隔沖平臺(tái)3個(gè)方向的沖擊隔離率隨著剛度的增大而減小，橫向沖擊隔離率最高，縱向隔離率次之，垂向隔離率最小，主要原因是隔沖平臺(tái)的垂向動(dòng)態(tài)等效剛度大于縱向動(dòng)態(tài)等效剛度，縱向動(dòng)態(tài)等效剛度大于橫向動(dòng)態(tài)剛度，即剛度越大，沖擊隔離率越小。從圖10看出，被隔離設(shè)備與基礎(chǔ)的相對(duì)位移幅值隨著剛度增大而減小，且剛度越大，相對(duì)位移幅值的減小幅度越??；垂向相對(duì)位移幅值大于橫向和縱向相對(duì)位移幅值，這主要是因?yàn)榕c垂向沖擊相比，橫向和縱向沖擊時(shí)，Stewart平臺(tái)發(fā)生了較大的轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖9　不同剛度下平臺(tái)的3向沖擊隔離率Fig.9 Three-direction shock isolation rate vs. isolator stiffness

圖10　不同剛度下平臺(tái)的3向相對(duì)位移幅值Fig.10 Three-direction relative displacement vs. isolator stiffness

3 Stewart隔沖平臺(tái)沖擊試驗(yàn)及對(duì)比分析

為了研究Stewart隔沖平臺(tái)在船舶精密電子設(shè)備抗沖擊領(lǐng)域中的可行性，驗(yàn)證仿真模型的準(zhǔn)確性，研制了一臺(tái)試驗(yàn)樣機(jī)，并用落（擺）錘式輕型沖擊機(jī)對(duì)其進(jìn)行了沖擊試驗(yàn)，根據(jù)GJB150.18-86確定試驗(yàn)工況，具體如表1所示。試驗(yàn)過程中采用一臺(tái)杭州Econ AVANT MI-7018采集儀（序列號(hào)155255813）、一臺(tái)B&K 2692電荷放大器（序列號(hào)1503807）和4個(gè)B&K 4384V傳感器測量被隔離設(shè)備和基礎(chǔ)的加速度信號(hào)，具體的沖擊測試狀態(tài)如圖11，12和表2所示。以垂向沖擊為例，將試驗(yàn)測量的基礎(chǔ)加速度信號(hào)作為仿真模型基礎(chǔ)的輸入信號(hào)，計(jì)算隔沖平臺(tái)上被隔離設(shè)備的沖擊響應(yīng)，并與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比。仿真和試驗(yàn)測量的加速度時(shí)域曲線如圖13～15所示。

表1　沖擊試驗(yàn)工況Tab.1 Shock test plan

圖11　試驗(yàn)臺(tái)結(jié)構(gòu)簡圖Fig.11 Test structure diagram

圖12　沖擊試驗(yàn)照片F(xiàn)ig.12 Photo of impact experiment

表2　沖擊測試狀態(tài)參數(shù)Tab.2 Shock testing parameters

圖13　0.3 m時(shí)被隔離設(shè)備的加速度響應(yīng)曲線Fig.13 Acceleration curve of the protection equipment on 0.3 m

圖14　0.9 m時(shí)被隔離設(shè)備的加速度響應(yīng)曲線Fig.14 Acceleration curve of the protection equipment on 0.9 m

圖15　1.5 m時(shí)被隔離設(shè)備的加速度響應(yīng)曲線Fig.15 Acceleration curve of the protection equipment on 1.5 m

從圖13～15可以看出，仿真得到的響應(yīng)曲線與試驗(yàn)所得曲線變化趨勢整體相似，加速度峰值相近，但仿真所得曲線比較光滑，沒有毛刺，且響應(yīng)相對(duì)滯后，這主要是由復(fù)雜的試驗(yàn)環(huán)境和50 Hz的工頻干擾造成的。進(jìn)一步做統(tǒng)計(jì)分析，可以得到仿真和試驗(yàn)的沖擊隔離率對(duì)比（表3）。從表中可以看出，試驗(yàn)效果比較理想，試驗(yàn)的沖擊隔離率達(dá)到86.39％以上；仿真結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果相比誤差較小，沖擊隔離率誤差在3.50％以內(nèi)。

表3　仿真與試驗(yàn)的沖擊隔離率對(duì)比表Tab.3 Shock isolation rate comparison of simulation and test

4 結(jié)束語

文中以被動(dòng)式六自由度Stewart隔沖平臺(tái)為研究對(duì)象，建立了Stewart隔沖平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)微分方程，分析了隔沖平臺(tái)三個(gè)方向的動(dòng)態(tài)剛度特性，討論了隔沖器剛度大小對(duì)隔沖平臺(tái)抗沖擊性能的影響，結(jié)果表明：隔沖平臺(tái)三個(gè)方向的剛度近似成線性，且垂向剛度最大，縱向剛度次之，橫向剛度最??；與之相反，隔沖平臺(tái)的橫向沖擊隔離率大于縱向沖擊隔離率，縱向沖擊隔離率大于垂向沖擊隔離率。為驗(yàn)證仿真結(jié)果，對(duì)隔沖平臺(tái)進(jìn)行了落（擺）錘式?jīng)_擊試驗(yàn)，通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)：Stewart平臺(tái)隔沖效果比較明顯，試驗(yàn)沖擊隔離率達(dá)到86.39％以上；試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果比較接近，沖擊隔離率誤差在3.50％以內(nèi)。研究結(jié)果可為Stewart隔沖平臺(tái)在船舶設(shè)備抗沖擊中的實(shí)際應(yīng)用提供理論和試驗(yàn)參考。

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O322

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.02.011

張春輝，男，1988年2月生，博士生。主要研究方向?yàn)榇霸O(shè)備的振動(dòng)、沖擊防護(hù)。曾發(fā)表《平方阻尼在沖擊隔離中的特性與作用研究》（《船舶力學(xué)》2014年第7期）等論文。

E-mail：502773429@qq.com

*國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（“九七三”計(jì)劃）資助項(xiàng)目（613157010102）；“十二五”預(yù)研基金資助項(xiàng)目（4010304030202）

2014-08-04；

2014-09-24