基于Lyapunov指數(shù)的超聲導波檢測技術*

張偉偉， 武　靜， 馬宏偉

（1.太原科技大學應用科學學院 太原，030024） （2.暨南大學大學理工學院 廣州，510632）

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基于Lyapunov指數(shù)的超聲導波檢測技術*

張偉偉1， 武靜1， 馬宏偉2

（1.太原科技大學應用科學學院 太原，030024） （2.暨南大學大學理工學院 廣州，510632）

為了提高超聲導波的檢測靈敏度，提出了一種基于杜芬方程Lyapunov指數(shù)特性的超聲導波識別方法，該方法利用了杜芬方程對系統(tǒng)參數(shù)的敏感性及其對噪聲信號的免疫特性。首先，分析了杜芬方程檢測導波信號的數(shù)學原理；其次，討論了如何設定檢測系統(tǒng)參數(shù)，給出了可用于檢測導波信號的杜芬系統(tǒng)；最后，通過分析比較噪聲和導波信號對Lyapunov指數(shù)的不同影響，證明了該方法識別強噪聲下弱超聲導波的有效性。數(shù)值算例表明，通過合理設置杜芬方程參數(shù)使系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，當輸入導波信號和混有噪聲的導波信號時，系統(tǒng)由混沌狀態(tài)轉變?yōu)闃O限環(huán)運動，利用杜芬系統(tǒng)狀態(tài)改變可實現(xiàn)對強噪聲下弱超聲導波的識別，該方法可有效延長超聲導波的檢測范圍和提高檢測小缺陷的靈敏度。

損傷檢測；超聲導波；杜芬方程；Lyapunov指數(shù)

引 言

超聲導波檢測是基于Rayleigh等［1］關于有界結構中應力波傳播理論提出的無損檢測技術，一次可檢測幾十米的范圍，可同時實現(xiàn)結構內部和表面檢測，適合應用于深埋或架空的細長結構檢測，在過去30年內研究人員對該技術進行了深入研究［2］。然而，超聲導波的傳播是一個十分復雜的過程，常伴有頻散性、衰減性，以及多模態(tài)性，此外，噪聲水平、缺陷大小，以及檢測距離都在一定程度上影響超聲導波檢測靈敏度［3］。對于長距離小缺陷檢測，其回波信號必然表現(xiàn)為強噪聲背景下的弱導波信號。如何提高弱導波信號的檢測靈敏度對于延長導波檢測距離，提高小缺陷檢測可靠性，具有重要意義。

20世紀90年代初期，美國學者Brix提出了基于杜芬振子系統(tǒng)非平衡相變對系統(tǒng)參數(shù)的敏感性以及對噪聲信號的免疫能力實現(xiàn)強噪聲下的弱信號檢測的想法［4］。杜芬方程可描述為

其中：k為阻尼比；-x3+x5為系統(tǒng)的非線性恢復力項；Fcosωt為內策動力項；F為策動力幅值；ω為策動力角頻率。

利用簡單的三角變換，式（2）仍可化簡為式（1）的形式。因此，可以認為輸入同周期的正弦（或余弦）信號，相當于改變了系統(tǒng)（1）外策動力項的幅值和相位，引起系統(tǒng)輸出特征的變化，從而實現(xiàn)對輸入信號的分析。對于杜芬方程，固定k，ω，通過改變外策動力幅值，系統(tǒng)會出現(xiàn)陣發(fā)性混沌過程［5］。利用該性質，王冠宇等［6-8］討論了杜芬方程的分岔，統(tǒng)計特性，提出了弱信號檢測方法，并用噪聲對杜芬系統(tǒng)的影響進行分析。張貴平等人［9］先將檢測系統(tǒng)的內置策動力調整使相軌跡處于混沌態(tài)向大周期態(tài)轉變的臨界狀態(tài)，通過將待測信號輸入系統(tǒng)后相軌圖轉變?yōu)榇笾芷趹B(tài)檢測同周期信號的存在。Hu等［10］詳細推導了杜芬方程的數(shù)值解，以及其分叉的確定方法。利用周期信號和噪聲信號對于杜芬系統(tǒng)相軌圖的不同影響討論了規(guī)則周期信號的檢測技術。此外，利用該方法還可以識別信號幅值［11］和頻率［12-14］。Li等［15］討論了有限持續(xù)時間的隨機相位的正弦信號，利用一系列不同相位的策動力方程識別正弦信號相位，滑移窗給出了識別信號達到時刻的方法。Srinivasan［16］利用實驗和數(shù)值模擬研究正弦信號、方波、三角波和鋸齒信號輸入杜芬方程時的分岔、相軌跡和Lyapunov指數(shù)的變化特征，進一步為杜芬方程識別其它信號提供了理論依據(jù)。

不過，利用混沌振子檢測弱信號大多還處于發(fā)展階段，多以檢測簡單的正、余弦信號為例驗證方法有效性，以及探討系統(tǒng)對噪聲信號的免疫特性等，而對于利用杜芬方程進行小缺陷下弱回波信號的檢測還鮮有報道。張淑清等［17］討論了杜芬方程檢測信號幅值和相位，指出了在超聲導波檢測中的潛力，但其缺乏超聲信號檢測的實例驗證。鄒珺等［18］利用杜芬振子系統(tǒng)檢測了磁致伸縮導波信號，但其對檢測系統(tǒng)的參數(shù)設定、以及相關研究不夠詳細。張偉偉等［19］利用改進型杜芬方程討論了給定導波信號下的系統(tǒng)參數(shù)設置，討論了利用相軌圖的改變識別Hanning窗調制的正弦信號，給出了二分法定位導波信號的方法。文中將通過推導導波信號對杜芬方程Lyapunov指數(shù)的影響規(guī)律，探討利用該指數(shù)作為導波檢測指標，通過對比和分析噪聲及導波信號所引起的不同的Lyapunov指數(shù)變化，提出強噪聲下弱導波信號的識別方法，從而提高超聲導波識別小缺陷的靈敏度。

1 Lyapunov指數(shù)及其混沌判據(jù)

混沌系統(tǒng)的基本特征是運動對初值條件極為敏感，兩個靠近的初值所產生的軌道隨時間推移按指數(shù)方式分離。Lyapunov指數(shù)是描述這一現(xiàn)象的定量指標，表征了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間隨著時間的推移收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。對于n維連續(xù)動力系統(tǒng)在t=0時刻，以x0為中心，為半徑做一個n維的球面。隨著時間的演化，在t時刻該球面即變形為n維的橢球面。設該橢球面的第i個坐標軸方向的半軸長為則該系統(tǒng)第i個Lyapunov指數(shù)［20］為：

由于各矢量在演化過程中都會向著最大的Lyapunov指數(shù)方向靠攏，因此需要通過Schmidt正交化不斷地對新矢量進行置換，即Wolf文章中提出的GSR方法［21］，正交化過程如下

然后，以x00為球心，范數(shù)為d的正交矢量集為新球繼續(xù)進行演化，設演化至N步時，得到矢量集且N足夠大，這可以得到Lyapunov指數(shù)的近似公式為

在一維情形下，當Lyapunov指數(shù)大于0時，該系統(tǒng)具有混沌特性。當Lyapunov指數(shù)等于0時，對應著分岔點或系統(tǒng)的周期解，即系統(tǒng)出現(xiàn)周期現(xiàn)象。當Lyapunov指數(shù)小于0時，系統(tǒng)有穩(wěn)定的不動點。對于維數(shù)大于1的n維系統(tǒng)，對應n個Lyapunov指數(shù)，這n個Lyapunov指數(shù)按大小順序排列，稱為Lyapunov指數(shù)譜。利用Lyapunov指數(shù)譜判別混沌的標準是：只要存在一個Lyapunov指數(shù)大于0，就說明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。具體到三維情形下，系統(tǒng)的狀態(tài)與Lyapunov指數(shù)之間的關系可以由下表表示［21］：

表1　系統(tǒng)的狀態(tài)與Lyapunov指數(shù)之間Tab.1 System of the relationship between the state and the Lyapunov exponents

2 Lyapunov指數(shù)識別導波原理

2.1導波信號

在管道超聲導波檢測中，中心頻率為70 k Hz，經10周期Hanning窗調制的導波信號經常被用來激發(fā)管道中L（0，2）模態(tài)導波［2］，筆者將該信號作為待檢測信號，驗證所提方法的有效性。導波信號的表達式為

其中：n為選用的單音頻數(shù)目；fc為信號的中心頻率。

圖1為中心頻率70 k Hz，10周期的調制信號。

圖1　Hanning窗調制10周期音頻信號Fig.1 Sinusoidal signal of 10 cycles modulated by a Hanning window

由三角變換公式可知，由式（6）給出的導波表達式可寫成下面的形式：

導波信號s（t）可以看成三個頻率相近的正弦信號的疊加。為了研究噪聲導波信號的識別問題，考慮如下噪聲模型：

在統(tǒng)計意義下，均值為0的噪聲引起杜芬方程輸出響應變化也具有0均值特征，而由方差引起的變化會隨計算時間的增加而逐漸減?。?］。這說明杜芬系統(tǒng)對噪聲具有一定的免疫力，但輸入相同頻率的周期信號，相當于改變了外策動力的幅值，將會引起系統(tǒng)非平衡態(tài)的改變。

2.2識別方法

對于非線性微分方程，一般難以得到精確解，但可以根據(jù)微分方程的特點推斷解的性質（如周期性、穩(wěn)定性），即利用定性理論和穩(wěn)定性理論是研究非線性微分方程的有效手段。為此，設z=t由式（1）表示的杜芬方程可轉化為3階自治系統(tǒng)：

根據(jù)文獻［19］結果，驅動力頻率設為，70 k Hz=0.07（1/μs），ω≈0.439 823 rad/μs。迭代初值設為（0，0，0），k=0.5?；谝陨蠀?shù)的設置，計算得到不同F(xiàn)下的杜芬系統(tǒng)的相軌圖和三個方向上的Lyapunov指數(shù)的值，分別用L1，L2，L3表示。這里，L1對應于參量x，L2對應于z，L3對應于v，用來說明各指數(shù)在不同輸入條件下的變化，不同于前面定義的Lyapunov指數(shù)譜。圖2所示為外策動力幅值由0逐漸增大時的相軌圖和Lyapunov指數(shù)圖。從圖中可以看出：當F從0逐漸增加時，系統(tǒng)依次經歷不動點，周期1，周期2等，逐漸進入混沌狀態(tài)，繼續(xù)增加策動力幅值F，系統(tǒng)又將進入大周期態(tài)。隨后，系統(tǒng)進入間歇混沌狀態(tài)，直到F大到一定值時，系統(tǒng)將不再出現(xiàn)混沌狀態(tài)，這一結論與文獻［22］相符。并且L1，L2，L3分別代表系統(tǒng)的3個不同方向上的Lyapunov指數(shù)，其中L2始終為0，它表示沿軌道切線方向既不增大也不縮小，體現(xiàn)為本算例中時間t的均勻增加。從圖2可看出隨著外策動力幅值的改變，結合表1可判讀出各運動狀態(tài)。

觀察Lyapunov指數(shù)，還可以看出，隨著迭代時間的延長，指數(shù)趨于一個定值，通常將這個值看作是對應于該狀態(tài)的Lyapunov指數(shù)。研究發(fā)現(xiàn)迭代時間為t=3 000μs時，既可節(jié)省計算時間也可滿足計算精度。利用該方法計算不同外策動力下的Lyapunuo指數(shù)。圖3給出了輸入導波信號前后Lya-punov指數(shù)隨策動力幅值變化圖，其中圖3（a）為無導波信號輸入時的Lyapunov指數(shù)，圖3（b）為輸入導波后的Lyapunov指數(shù)。比較兩圖可以看出，導波對Lyapunov指數(shù)影響較大的區(qū)域在0～1.3之間，在F大于2的區(qū)域影響較小。實際上，當F大于1時，杜芬系統(tǒng)的輸出處于混沌帶之外，這一結果與利用Melnikov法計算得出的混沌區(qū)域一致［5］。為了便于分析導波對Lyapunov指數(shù)的影響，將輸入導波前后的L1繪于圖3（c）中，觀察F取值在0～ 1范圍的指數(shù)變化。比較輸入導波前后的Lyapunov指數(shù)，在F∈（0.76～0.88）范圍內，兩指數(shù)的變化趨勢截然相反，對應的系統(tǒng)的狀態(tài)也不同。為了使得在導波輸入系統(tǒng)后，系統(tǒng)具有顯著變化，在輸入超聲導波信號前后兩個L1乘積小于0的區(qū)域，選擇兩個L1之差的絕對值最大時所對應策動力F的幅值作為杜芬振子信號檢測系統(tǒng)的策動力值，即F =0.810 5處，通過導波信號對相軌圖和Lyapunov指數(shù)的改變識別導波信號。

圖2　策動力幅值F變化時對應的系統(tǒng)的狀態(tài)的演變Fig.2 Motion states of the Duffing system depending on the external force F

2.3強噪聲下弱導波信號識別

根據(jù)上述分析，作為弱導波檢測系統(tǒng)的杜芬方程參數(shù)設定為：ω=0.439 823，k=0.5，F(xiàn)=0.810 5，迭代初值設為（0，0，0）。檢測系統(tǒng)的相軌圖和Lyapunov指數(shù)如圖2（f）所示，其Lyapunov指數(shù)L1為0.053 760。將圖4（a）所示的導波信號輸入檢測系統(tǒng)后，其相軌圖為圖（b）所示，與圖2（f）所示系統(tǒng)的相軌圖相比發(fā)生了顯著變化。繪出Lyapunov指數(shù)如圖4（c）所示，與圖2（f）相比，Lyapunov指數(shù)由0.053 760改變?yōu)?0.216 823，說明系統(tǒng)由奇怪吸引子轉變成為極限環(huán)運動。

圖3　輸入導波對Lyapunov指數(shù)隨F的變化關系影響圖Fig.3 Lyapunov exponent varying with external force without and with inputting guided wave signal

圖4　當F=0.810 5時加入純導波信號的系統(tǒng)狀態(tài)Fig.4 Phase portraits and Lyapunov exponent of the doffing system（F=0.810 5）with inputting guided wave signal

如果將純噪聲信號輸入系統(tǒng)，其性質與輸入導波信號截然不同。為對比須將不同噪聲水平的純噪聲信號以及混有不同噪聲水平的導波信號輸入到杜芬檢測系統(tǒng)中，得到Lyapunov指數(shù)隨噪聲水平變化時的關系圖（如圖5）。從圖5中可以明顯看出，加入純噪聲信號，雖然Lyapunov指數(shù)具體數(shù)值隨著加入的噪聲水平有所變化，但是其L1仍然大于0，說明系統(tǒng)仍處于奇怪吸引子狀態(tài)。而加入混有噪聲的導波信號，隨著噪聲水平的增加L1始終小于0，說明系統(tǒng)在輸入混有噪聲的導波信號后由奇怪吸引子轉變?yōu)闃O限環(huán)運動。與輸入純導波信號時變化一致。這說明基于杜芬方程的導波檢測系統(tǒng)對于噪聲具有一定的免疫能力，但對于同中心頻率的導波信號具有較好的敏感性。這一特性適合于檢測強噪聲背景下的導波信號，以提高導波檢測的靈敏度。

圖5　當F=0.810 5時加入導波信號前后Lyapunov指數(shù)隨噪聲水平的變化Fig.5 Comparison of Lyapunov exponent of the duffing system（F=0.810 5）without and with inputting noised guided wave signal

3 數(shù)值算例

通過上面的結論可以看出，輸入純噪聲信號與輸入混有噪聲的導波信號的Lyapunov指數(shù)的性質完全不同，因此，如果將混有噪聲的導波信號輸入到杜芬檢測系統(tǒng)中，通過其Lyapunov指數(shù)值的改變，就可以有效識別出信號中是否混有導波信號?，F(xiàn)將結合相軌跡圖的特點進一步驗證這一方法的有效性，并給出可以識別的噪聲水平。首先，將圖6（a）所示的噪聲水平為70％的純噪聲信號輸入到檢測系統(tǒng)中，其相軌跡圖和Lyapunov指數(shù)如圖6（b）和6（c）所示，與圖2（f）相比，噪聲幾乎沒有改變相軌圖，僅使相軌圖變得粗糙。同時盡管Lyapunov指數(shù)由0.053 760改變?yōu)?.038 344，但仍大于0，說明系統(tǒng)仍處于奇怪吸引子狀態(tài)。若加大噪聲水平，將圖7（a）所示的噪聲水平為100％的純噪聲信號輸入到檢測系統(tǒng)中，其相軌跡圖和Lyapunov指數(shù)如圖7（b）和7（c）所示，從圖中可以看出，噪聲依然沒有改變系統(tǒng)狀態(tài)，此時Lyapunov指數(shù)改變?yōu)?.031 225。

圖6　當F=0.810 5時輸入噪聲水平為70％的純噪聲信號時系統(tǒng)狀態(tài)Fig.6 Phase portraits and Lyapunov exponent of the doffing system（F=0.810 5）with inputting 70％noise signal

圖7　當F=0.810 5時輸入噪聲水平為100％的純噪聲信號時系統(tǒng)狀態(tài)Fig.7 Phase portraits and Lyapunov exponent of the doffing system（F=0.810 5）with inputting100％noise signal

將圖6（a）所示的噪聲水平為70％的噪聲與圖4（a）所示的導波信號疊加，如圖8（a）所示，將其輸入檢測系統(tǒng)，其相軌圖和Lyapunov指數(shù)如圖8（b）和圖8（c）所示。顯然，與圖2（f），6（b）相比，相軌圖發(fā)生了顯著變化，但與輸入純導波信號的圖4（b）相比，僅是軌線發(fā)生了攝動，但兩者形狀相同。而Lyapunov指數(shù)在輸入導波前后由0.053 760改變?yōu)?0.094 742，由大于0變?yōu)樾∮?，說明系統(tǒng)在輸入混有噪聲的導波信號后由奇怪吸引子轉變?yōu)闃O限環(huán)運動。同理將7（a）所示的噪聲水平為100％的噪聲與圖4（a）所示的導波信號疊加，如圖9（a）所示，將其輸入檢測系統(tǒng)，其相軌圖和Lyapunov指數(shù)如圖9（b）和圖9（c）所示，可以得到同樣的結論。

繼續(xù)增加噪聲水平，當噪聲水平增加到一定狀態(tài)時，對應的相軌跡圖出現(xiàn)嚴重的攝動，不利于觀察。而計算相應的Lyapunov指數(shù)值則需要很長的仿真時間，大大降低檢測效率，并且純噪聲信號對應的Lyapunov指數(shù)值L1也會出現(xiàn)大于0和小于0交替，經過很長時間后L1穩(wěn)定在接近于0的正值附近，有的甚至輸出負的L1，改變了系統(tǒng)狀態(tài)。因此，為了考慮檢測的有效性和可靠性，認為噪聲在100％以上是不可靠的。利于該方法可以有效識別100％噪聲的導波信號。

4 結束語

為了延長超聲導波檢測技術的檢測范圍和提高小缺陷的識別靈敏度，利用杜芬混沌系統(tǒng)對初始輸入的敏感性，發(fā)展了一種基于杜芬方程Lyapunov指數(shù)的超聲導波識別方法。以超聲導波檢測中常用的Hanning窗調制的多正弦信號作為待檢信號，討論了杜芬方程識別超聲導波信號的原理，對適用于導波檢測的杜芬方程參數(shù)設定進行了詳細討論，根據(jù)輸入導波信號前后Lyapunov指數(shù)的改變，選取了合適的檢測系統(tǒng)。將不同噪聲水平的純噪聲信號以及混有不同噪聲水平的導波信號分別輸入到檢測系統(tǒng)中，杜芬方程相軌圖和Lyapunov指數(shù)輸入截然不同，加入純噪聲信號時，L1與無輸入時計算得到的L1均為大于0，說明輸入噪聲信號不會引起系統(tǒng)狀態(tài)的改變，為奇怪吸引子狀態(tài)。而加入混有噪聲的導波信號時，當噪聲水平增加時，計算得到的L1始終為小于0，與輸入純導波信號時變化一致，這說明當待檢信號中含有導波信號時，杜芬方程會由奇怪吸引子狀態(tài)轉變?yōu)闃O限環(huán)運動。由此可見，杜芬方程導波檢測系統(tǒng)對于噪聲具有一定的免疫能力，但對于同中心頻率的導波信號具有較好的敏感性，是識別強噪聲下弱超聲導波的有效方法。數(shù)值算例表明，該方法具有較高的靈敏度，在噪聲水平為100％也可以有效地識別出導波信號，這對于提高超聲導波檢測小缺陷的靈敏度具有重要意義。

圖8　當F=0.810 5時輸入含噪聲水平為70％的噪聲導波信號時系統(tǒng)狀態(tài)Fig.8 Phase portraits and Lyapunov exponent of the doffing system（F=0.810 5）with inputting 70％noised guided wave signal

圖9　當F=0.810 5時輸入含噪聲水平為100％的噪聲導波信號時系統(tǒng)狀態(tài)Fig.9 Phase portraits and Lyapunov exponent of the doffing system（F=0.810 5）with inputting 100％noised guided wave signal

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TN915.04

張偉偉，男，1978年2月生，博士、副教授。主要研究方向為結構損傷檢測。曾發(fā)表《利用混沌振子系統(tǒng)識別超聲導波信號的仿真研究》（《振動與沖擊》，2012年第31卷第9期）等論文。

Email：zwwps@126.com

*國家自然科學基金資助項目（11072089，11102125）；山西省自然科學基金資助項目（2012021019）；太原科技大學博士啟動基金資助項目（20102019）

2013-06-02；

2013-09-17