系桿拱橋的橫向振動特性分析*

劉世忠

（蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院 蘭州，730070）

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系桿拱橋的橫向振動特性分析
*

劉世忠

（蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院 蘭州，730070）

依據(jù)能量原理，選取系桿拱橋橫向基頻陣型為正弦波，計算了系桿拱體系的橫向振動應(yīng)變能以及動能，利用Rayleigh法，得到了系桿拱橫向振動的基頻計算公式，基頻公式物理概念明確，與有限元法相比具有計算簡便、精度高等優(yōu)點；根據(jù)平衡原理推導(dǎo)出吊桿“非保向力效應(yīng)”矩陣，采用自編程序計算了吊桿“非保向力效應(yīng)”對系桿拱自振特性的影響。結(jié)果表明：吊桿“非保向力效應(yīng)”對系桿拱橋的低階橫向自振頻率有較大影響，吊桿的“非保向力效應(yīng)”可提高系桿拱橋的橫向振動基頻，對系桿拱的抗震設(shè)計具有參考價值。

系桿拱橋；能量原理；橫向基頻公式；非保向力效應(yīng)單元

引 言

改革開放以來我國已經(jīng)修建了許多鋼管混凝土拱橋，我國也是世界上地震災(zāi)害頻發(fā)的國家之一，已有研究成果顯示［1-2］，系桿拱橫向第一振型占其地震反應(yīng)的主要部分，筆者提出的系桿拱橫向第一自振頻率計算公式相對于空間有限元建模計算簡便易行，計算精度高，可滿足系桿拱抗震計算要求。依據(jù)平衡原理推導(dǎo)了吊桿“非保向力效應(yīng)”矩陣，利用自編程序計算了吊桿“非保向力效應(yīng)”對系桿拱自振特性的影響。結(jié)果表明：吊桿的“非保向力效應(yīng)”對系桿拱橋橫向低階自振頻率的影響不能忽略，但對豎向基頻和高階振動頻率的影響較小。

1 系桿拱橋橫向振動的應(yīng)變能

假定拱肋橫向振動基頻對應(yīng)振型按正弦函數(shù)y =A sin（π·G/GS）曲線振動［3］，其中GS為拱的總長度，G為從左端沿拱軸線任一點的弧長。拱肋兩端支座處由于系梁（拱座）的約束不但使得y=0，而且扭轉(zhuǎn)也為零，拱肋橫向彎曲轉(zhuǎn)角為d y/d s；引起的系桿截面的彎曲轉(zhuǎn)角為（d y/d s）cosα，α為拱肋與系桿連接處的夾角；系桿對拱腳的約束力矩為（2EI/L0）·（d y/d s）cosα，EI為系桿橫向抗彎剛度，L0為跨度。

設(shè)拱肋發(fā)生一階橫向振型，其對應(yīng)的彎曲應(yīng)變能可按下式計算：

其中：Π為體系的總應(yīng)變能；Π0為拱肋的彎曲應(yīng)變能；ΠH為橫撐的彎曲應(yīng)變能；ΠX為斜撐的彎曲應(yīng)變能；ΠR為系桿對拱腳約束而產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動應(yīng)變能。

由振型函數(shù)得拱肋（兩片）的彎曲應(yīng)變能為

其中：EGIG為一片拱的橫向彎曲剛度。

設(shè)拱肋在橫撐（斜撐）節(jié)點由于橫向彎曲引起的相對于初始狀態(tài)的轉(zhuǎn)角為β，β=d y/d s=y′，則由此引起的橫撐與斜撐的桿端彎矩為MH與MX，表達(dá)式［］為

其中：EHIH，EXIX分別為橫撐與斜撐的抗彎剛度；B為兩拱肋橫向?qū)挾?；LX為斜撐的長度；對于只設(shè)橫撐沒有斜撐的拱，MX=0。

一個橫撐和斜撐的應(yīng)變能分別為

則全部橫撐和斜撐的應(yīng)變能為

系桿轉(zhuǎn)動應(yīng)變能為

設(shè)Δ為橫撐在順橋向的間距；系桿拱橫向振動時的總應(yīng)變能為

2 系桿拱橋橫向振動的基頻計算公式

設(shè)系桿拱橫向振動的總應(yīng)變能為Π，動能T為

則由Rayleigh法知，體系的總應(yīng)變能與動能相等，即得

將y=Asin（π·G/GS）代入式（9）計算整理得

如橫撐，拱肋斜撐和系桿為同一種材料，則E= EG=EH=EX，此時，可令

式（10）可簡寫為

3 算 例

3.1 下承式系桿拱橋［5］

某跨度為130m，橋?qū)?5m的鋼管混凝土系桿拱橋，系桿（縱梁）高為2.7m，寬1.6m的鋼箱梁，吊桿采用50B級Φ100mm級鋼拉棒，設(shè)計示意圖見圖1。

圖1 設(shè)計示意圖（單位：mm）Fig.1 Schematicdesign（Unit：mm）

系桿拱截面特性如表1所示。

表1　系桿拱截面特性Tab.1 Section properties of tied archbridge

拱肋弧長GS=137.366 m，跨度L0=130.00 m，節(jié)間長Δ=8 m，肋間斜撐長LX=14.84 m，拱肋與系桿夾角為α=0.605 6 rad，EG=E=2.1×108k Pa，EX=EH=3.3×107k Pa，單根拱肋的線質(zhì)量m=8.758 k N·s2/m。

將以上參數(shù)代入式（10）、（11）可得

與三維有限元自振特性分析［4］所得橫向一階自振頻率ωF=3.479 8 rad/s相比，相對誤差小于1％，說明文中對系桿拱橋橫向振動基頻計算公式（11）具有相當(dāng)高的精度。

3.2三連拱橋［3］

文獻(xiàn)［3］給出的東崗黃河大橋為一三連拱鐵路上承式拱橋（圖2），采用空間動力分析SAP-V軟件計算得到的橫向振動基頻及實測結(jié)果如表2所示（引自文獻(xiàn)［3］表8-6）。第1，2頻率代表兩個邊孔的橫向振動，第3頻率代表中孔的橫向振動。

圖2　東崗黃河大橋Fig.2 DONGGANG yellow river bridge

表2　三連拱橋橫向自振頻率Tab.2 Vibration frequency of triple arch bridge

橋梁基本參數(shù)為：拱軸弧長64 m，拱肋中心距2.6 m，單根拱肋橫向平均慣性矩為0.100 5 m4，肋間橫撐慣性矩為0.014 25 m4，節(jié)間長4.5 m，各構(gòu)件材料彈性模量相同，為32.37×106k Pa，單根拱肋平均線質(zhì)量m=7.34 k N·s2/m。由式（12）計算公式得

由推導(dǎo)的計算公式所得結(jié)果與有限元解第一孔橫向振動頻率的誤差為3.06％，與實測值的誤差僅為1.38％，完全滿足工程計算精度需求。可見筆者依據(jù)能量原理推導(dǎo)建立的拱橋橫向振動基頻理論計算公式概念明確，計算簡便，具有相當(dāng)高的精度。

4 吊桿“非保向力效應(yīng)”對系桿拱自振頻率的影響

吊桿“非保向力效應(yīng)”是指拱肋側(cè)傾后，由于拱肋相對于橋面發(fā)生相對位移（ua-ub），吊桿發(fā)生傾斜，軸向拉力N對下弦橋面產(chǎn)生一個與側(cè)傾方向相反的水平分力H，這個水平力H對拱肋相當(dāng)于一個側(cè)向水平彈性支撐作用效應(yīng)，如圖3所示。吊桿側(cè)傾單元如圖4所示。

如圖3由平衡關(guān)系可得

又因為Hj=-Hi，從而

合并式（13），（14）可得

圖3　“非保向力效應(yīng)”圖示Fig.3 Non conservative force effect graghic

圖4　“非保向力效應(yīng)”單元Fig.4 Element of non conservative force effect

令：

其中：［］KH稱為吊桿側(cè)傾剛度矩陣；N受拉為正，它反映出吊桿出拱平面“非保向力效應(yīng)”的影響。

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的無阻尼自由振動方程［6］為

頻率方程為

式（18）采用修正的RITZ矢量直接迭加法［6-7］（MRVDS）的自編程序（PCFAP）計算，考慮和不考慮“非保向力效應(yīng)”前6階自振頻率如表3所示，對應(yīng)的振型如圖5。

表3　自振頻率比較表（ωi=2π/T i）Tab.3 Compare for vibration frequency（ωi=2π/Ti）

圖5　系桿拱橋前6階振型（單位：Hz）Fig.5 The six vibration type of the tied arch bridge（U-nit：Hz）

由表3和圖5可知，吊桿的“非保向力效應(yīng)”對系桿拱橋的橫向低階自振頻率影響較大，吊桿的“非保向力效應(yīng)”使得系桿拱橋的橫向基頻得以提高，使橫向一階和二階自振頻率分別提高9.57％和8.07％，而對高階橫向自振頻率和豎向自振頻率的影響較小。由圖5可知，該系桿拱橋前6階自振特性表現(xiàn)為：a.拱肋一階橫向振動；b.拱梁豎向一階振動；c.拱肋橫向二階振動；d.拱梁豎向二階振動；e.拱梁的豎向三階振動；f.拱肋橫向三階振動。圖5中自振頻率物理意義為：不考慮“非保向力效應(yīng)”ANSYS結(jié)果/考了“非保向力效應(yīng)”的MRVDS法結(jié)果。

5 結(jié)束語

系桿拱橋的橫向振動以及抗震問題［8］是橋梁工程師設(shè)計中必須認(rèn)真研究的技術(shù)問題之一，這無不與基頻特別是橫向振動基頻密切聯(lián)系在一起，筆者為系桿拱橋的橫向基頻計算提供了簡便的計算公式，探討了吊桿“非保向力效應(yīng)”對系桿拱橋自振特性的影響，筆者所得結(jié)論對系桿拱橋設(shè)計中的抗震計算與動力性能評估具有參考價值。

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U448.29

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.02.001

劉世忠，男，1962年1月生，博士、教授博士生導(dǎo)師。主要研究方向為橋梁結(jié)構(gòu)有限元分析，橋梁檢測評估與加固。曾發(fā)表《大溫差影響下劉家峽大橋基準(zhǔn)索股的調(diào)整》（《橋梁建設(shè)》2014年第44卷第3期）等論文。

E-mail：Liusz2000@163.com

*國家自然科學(xué)基金資助項目（51368032）

2013-01-21；

2014-05-09