追問(wèn)“爭(zhēng)議錯(cuò)題”，思辨“認(rèn)識(shí)封閉”
——從一道圖像信息題的“爭(zhēng)議”說(shuō)起

☉江蘇省海安縣城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)　劉東升

追問(wèn)“爭(zhēng)議錯(cuò)題”，思辨“認(rèn)識(shí)封閉”
——從一道圖像信息題的“爭(zhēng)議”說(shuō)起

☉江蘇省海安縣城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)劉東升

剛剛過(guò)去的中考模擬測(cè)試中，筆者所在地區(qū)?？季砀木幜艘坏肋x擇題，考后個(gè)別同行指出這是一道“爭(zhēng)議錯(cuò)題”，并在相關(guān)QQ群里引發(fā)熱議，本文記錄這次“民間教研活動(dòng)”，并深入追問(wèn)這道“爭(zhēng)議錯(cuò)題”，與更多同行研討.

一、“爭(zhēng)議錯(cuò)題”及溯源

考題（2015年江蘇省海安縣中考模擬卷）小李與小楊從某鎮(zhèn)初中出發(fā)，騎自行車(chē)沿同一條路行駛到縣城圖書(shū)館，他們離出發(fā)地的距離S（單位：km）和行駛時(shí)間t（單位：h）之間的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖1所示，根據(jù)圖中提供的信息，有下列說(shuō)法：

（1）他們都行駛了20 km；

（2）小李全程共用了2.5 h；

（3）小李與小楊相遇后，小李的速度小于小楊的速度；

（4）小楊“后發(fā)先至”，即出發(fā)得晚，卻先到達(dá)目的地.

其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

簡(jiǎn)解：只要對(duì)照?qǐng)D像容易確認(rèn)說(shuō)法（2）（3）（4）正確；說(shuō)法（1）中如果不深入追問(wèn)，也可很快根據(jù)圖像得出兩人的行駛路程都是20 km.從而選D.

追問(wèn)：考題中“他們離出發(fā)地的距離S”是兩點(diǎn)之間直線(xiàn)段的長(zhǎng)度嗎？小李在行駛過(guò)程中一定存在靜止?fàn)顟B(tài)（或休息）？從圖像可以確認(rèn)小楊行駛路是20 km，但能否確定小李也行駛了20 km？

在回應(yīng)以上追問(wèn)之前，不妨先列舉一些來(lái)源.溯源1：來(lái)自《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》.例55小明的父母出去散步，從家走了20分到一個(gè)離家900米的報(bào)亭，母親隨即按原速返回.父親在報(bào)亭看了10分報(bào)紙后，用15分返回家.下面的圖形中哪一個(gè)表示父親離家后的時(shí)間與距離之間的關(guān)系？哪一個(gè)圖形是表示母親的行走過(guò)程？

圖1

圖2

溯源2：摘自人教版教材，八年級(jí)下冊(cè)，第83～84頁(yè).

第9題下面的圖像（如圖3）反映的過(guò)程是：張強(qiáng)從家跑步去體育場(chǎng)，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店去買(mǎi)筆，然后散步走回家.其中x表示時(shí)間，y表示張強(qiáng)離家的距離.根據(jù)圖像回答下列問(wèn)題：

圖3

（1）體育場(chǎng)離張強(qiáng)家多遠(yuǎn)？張強(qiáng)從家到體育場(chǎng)用了多少時(shí)間？

（2）體育場(chǎng)離文具店多遠(yuǎn)？

（3）張強(qiáng)在文具店停留了多少時(shí)間？

（4）張強(qiáng)從文具店回家的平均速度是多少？

第13題甲、乙兩車(chē)從A城出發(fā)前往B城.在整個(gè)行程中，汽車(chē)離開(kāi)A城的距離y與時(shí)間t的關(guān)系如圖4所示.

圖4

（1）A、B兩城相距多遠(yuǎn)？

（2）哪一輛車(chē)先出發(fā)？哪輛車(chē)先到B城？

（3）甲、乙兩車(chē)的平均速度分別為多少？

（4）你還能從圖中得到哪些信息？

二、關(guān)于“距離”的相關(guān)認(rèn)識(shí)

在QQ群的研討過(guò)程中，不少老師提及距離的概念是“兩點(diǎn)之間直線(xiàn)段的長(zhǎng)度”，所以“考題”中使用距離是錯(cuò)誤的，應(yīng)該改為路程，或者約定它們?cè)谕恢本€(xiàn)上.如果是這樣的話(huà)，“課標(biāo)（2011年版）”上列舉的“例55”、人教版教材上的習(xí)題都是錯(cuò)誤的？看來(lái)，我們需要對(duì)“距離”進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，以下是經(jīng)過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜索得出的關(guān)于“距離”的相關(guān)概念（維基百科）.

距離是一種標(biāo)量，不具方向.這種量不會(huì)是負(fù)數(shù).

在物理學(xué)上，距離是由某些媒介如人、動(dòng)物和交通工具所經(jīng)過(guò)路線(xiàn)的公里，由起點(diǎn)到終點(diǎn)的向量則是位移.

在數(shù)學(xué)上，距離是定義在向量空間中的一種函數(shù).例如：日常生活中，最常見(jiàn)的距離就是歐幾里德空間中的距離，是2階范數(shù)；在圖論中，距離是兩個(gè)頂點(diǎn)之間經(jīng)過(guò)最短路徑的邊的數(shù)目；在坐標(biāo)幾何中，距離是1階范數(shù).

而物體的路徑是不具有方向性的標(biāo)量，而路徑長(zhǎng)也需要基準(zhǔn)點(diǎn)及參考點(diǎn)，但位移及路徑長(zhǎng)最大不同是路徑長(zhǎng)不具方向性.以白話(huà)來(lái)說(shuō)，路徑長(zhǎng)可以是彎曲的，而位移卻是一條線(xiàn).

可以發(fā)現(xiàn)，爭(zhēng)議考題是否為錯(cuò)題的焦點(diǎn)在于這道考題中的距離是物理學(xué)指出的“人所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)的公里”還是數(shù)學(xué)上“最常見(jiàn)的距離就是歐幾里德空間中的距離”呢？就考題、課標(biāo)、教材上的“一脈相承”來(lái)看，它們似乎約定了“人所經(jīng)過(guò)路線(xiàn)的公里”，這樣來(lái)看，把思路引向歐氏幾何中的距離確實(shí)不是一個(gè)好的解題念頭.

三、想起“認(rèn)識(shí)封閉”現(xiàn)象

關(guān)于“認(rèn)識(shí)封閉”現(xiàn)象，羅增儒教授曾有精彩的闡釋?zhuān)旅嫔宰饕?

案例：如圖5，表示某人從家出發(fā)任一時(shí)刻到家的距離（S）與所花時(shí)間（t）之間的關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)圖像編一個(gè)故事.

圖5

很多人編寫(xiě)的故事都包括如下一些特征：

①在OP上作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；

②在PQ上靜止；

③在QR上作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).

然而為什么“在PQ上靜止？”到家的距離不變就是“到定點(diǎn)（家）的距離為定長(zhǎng)（不變）”，這樣的點(diǎn)一定是定點(diǎn)嗎？這里的認(rèn)識(shí)封閉在于：面對(duì)“到一定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)”的數(shù)學(xué)情景時(shí)，只想到靜止而想不到運(yùn)動(dòng)（軌跡！圓周運(yùn)動(dòng)，空間為球），數(shù)與形的雙向流動(dòng)不夠通暢.從知識(shí)上看，可能還有“距離”與“路程”的混淆：隨著時(shí)間的推移而路程不變，當(dāng)然是靜止，但隨著時(shí)間的推移而距離不變，則可能是靜止也可能是運(yùn)動(dòng).

現(xiàn)在可以發(fā)現(xiàn)，這是“一個(gè)很普遍的認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象”（認(rèn)識(shí)封閉1），并且當(dāng)我們進(jìn)一步問(wèn)會(huì)有多少種運(yùn)動(dòng)方式時(shí)，也存在認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象，普遍沒(méi)考慮到在圓周上既可以運(yùn)動(dòng)又可以靜止，既可以前進(jìn)又可以來(lái)回走動(dòng)，既可以原路返回又可以另路返回（認(rèn)識(shí)封閉2）.

到此，我們可以知道，提出上文那道考題是一道“爭(zhēng)議考題”的同行應(yīng)該是認(rèn)識(shí)到了羅教授指出的“認(rèn)識(shí)封閉”，從而認(rèn)為說(shuō)法（1）“他們都行駛了20km”出現(xiàn)了認(rèn)識(shí)封閉！

可是據(jù)此認(rèn)識(shí)封閉就認(rèn)定考題有爭(zhēng)議還為時(shí)尚早！如果確認(rèn)“考題”中小李行駛的路線(xiàn)含有羅教授所指出的圓周現(xiàn)象的話(huà)，那么“考題”中還有“騎自行車(chē)沿同一條路行駛到縣城圖書(shū)館”的條件，小楊行駛的也是小李的路線(xiàn)，他也應(yīng)該出現(xiàn)類(lèi)似的折線(xiàn)圖像，然而從圖像中看到的直線(xiàn)段來(lái)看，就會(huì)把前面分類(lèi)討論出來(lái)的路線(xiàn)中的圓周現(xiàn)象排除出去，問(wèn)題又回到最初的簡(jiǎn)單狀態(tài).

四、相關(guān)感悟

上面概述了“爭(zhēng)議考題”的疑點(diǎn)、溯源以及辨析，真理越辨越明，對(duì)爭(zhēng)議考題的辨析、追問(wèn)事實(shí)上也促進(jìn)了我們深刻理解相關(guān)概念，并且獲得如下感悟.

第一，對(duì)概念深入追問(wèn)時(shí)需要注意不同階段下的約定

由于混淆了不同階段下的“距離”概念，導(dǎo)致人們對(duì)“考題”有了爭(zhēng)議.然而這正是我們對(duì)科學(xué)概念深入追問(wèn)時(shí)的一個(gè)注意點(diǎn)，即需要在不同語(yǔ)境中思考概念的意義，數(shù)學(xué)追求嚴(yán)謹(jǐn)，但又常常在深入追問(wèn)中陷入尷尬，這也正是歷史上幾次所謂“數(shù)學(xué)危機(jī)”所帶來(lái)數(shù)學(xué)發(fā)展的根本動(dòng)力.類(lèi)似的深入追問(wèn)，還可提及三角形、四邊形、圓的面積問(wèn)題，根據(jù)定義，三角形是由三條線(xiàn)段首尾順次相接組成的圖形，線(xiàn)段源于直線(xiàn)，是沒(méi)有寬度的，而求三角形的面積則是三角形圍成圖形的面積，四邊形、圓的面積亦然.然而，我們不能求一個(gè)半圓的面積，因?yàn)榘雸A只是直徑所對(duì)的一段圓弧.再比如，在七年級(jí)有理數(shù)一章中，數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而到后來(lái)數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系后，顯然前面的表述是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?這樣來(lái)看，“課標(biāo)”“教材”等將“距離”混淆為“路程”就有了初級(jí)階段的解釋?zhuān)卜咸K步青先生提出的“混而不錯(cuò)”的建議.

第二，充分肯定數(shù)學(xué)思維積極作用的同時(shí)，也要防止“數(shù)學(xué)的惡”

如鄭毓信教授所指出的，“在充分肯定數(shù)學(xué)思維積極作用的同時(shí)，我們也應(yīng)該清楚地看到這樣兩個(gè)基本事實(shí)：第一，思維方式的多樣性.……第二，數(shù)學(xué)思維的局限性.”從這個(gè)意義上說(shuō)，認(rèn)真研究教材的內(nèi)涵還應(yīng)該包括如何讀懂教材，即讀懂教材背后欲言又止的含蓄和智慧，教材作為一種普適性的學(xué)習(xí)素材，有些知識(shí)在現(xiàn)階段限于絕大多數(shù)學(xué)生的認(rèn)知，可以也不必做深入追問(wèn)時(shí)，教材上往往采取了上面提及的“混而不錯(cuò)”的模糊處理，如果教師出于個(gè)人喜好將深入追問(wèn)的習(xí)慣傳遞給所有學(xué)生，其所帶來(lái)的效果到底是積極的還是消極的，尚難定論.這方面的一個(gè)教學(xué)案例是：七年級(jí)上學(xué)期，為了說(shuō)明所謂“負(fù)負(fù)得正”的正確性，不同版本的教材曾經(jīng)采用“蝸牛爬行”“水位升降”等偽情境進(jìn)行說(shuō)明，意圖向?qū)W生解釋“負(fù)負(fù)得正”（本質(zhì)上說(shuō)是一種約定），還有人甚至從數(shù)學(xué)運(yùn)算、運(yùn)算通性的角度意圖證明，然而效果均不理想.最新版人教課標(biāo)教材又直接回歸了一組算式的驗(yàn)算、發(fā)現(xiàn)與歸納“負(fù)負(fù)得正”，相對(duì)來(lái)說(shuō)則是一種簡(jiǎn)明的、高效的處理方式，頗得一線(xiàn)教師認(rèn)可.

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.鄭毓信.數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)的6個(gè)關(guān)鍵詞［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2015（4）.Z

*本文為教育部教師教育國(guó)家級(jí)精品資源共享課立項(xiàng)建設(shè)課程“中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與教材研究”的成果（教師廳函［2013］2號(hào)：113）.