透析中考數(shù)學(xué)“尺規(guī)作圖”的考查內(nèi)容及其視角

透析中考數(shù)學(xué)“尺規(guī)作圖”的考查內(nèi)容及其視角

☉江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)新城初級(jí)中學(xué)陸軍宋遠(yuǎn)征

尺規(guī)作圖，即有限次地使用圓規(guī)和無刻度的直尺，解決平面幾何作圖問題.在公元5世紀(jì)，古希臘的數(shù)學(xué)家認(rèn)為最基本的圖形是直線和圓，而直尺和圓規(guī)是作這兩種圖形的工具，只有用尺規(guī)作出的圖形才是可信的.

在尺規(guī)作圖的過程中，直尺的功能是作連接兩點(diǎn)之間的線段，或過兩點(diǎn)畫直線和射線；圓規(guī)的功能是用于畫圓或弧，或者截取一條線段等于已知線段.“這種只限于用尺、規(guī)，作出符合一定條件的幾何圖形的要求，無疑有一種很強(qiáng)的約束力，這種約束力要求學(xué)習(xí)者具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力和操作能力.”

一、“尺規(guī)作圖”的考查內(nèi)容

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)尺規(guī)作圖的要求如下所示.

（1）能用尺規(guī)完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作一個(gè)角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線.

（2）會(huì)利用基本作圖作三角形：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形.

（3）會(huì)利用基本作圖完成：過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形.

（4）在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法.

由于尺規(guī)作圖的嚴(yán)格規(guī)定和數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一些經(jīng)典問題，使其具備了極高的思維價(jià)值和文化價(jià)值.近幾年來，越來越多的中考命題者對(duì)其青睞有加，往往能在落實(shí)課標(biāo)要求的基礎(chǔ)上，推陳出新，使尺規(guī)作圖問題在中考中成為一道靚麗的風(fēng)景線.

二、“尺規(guī)作圖”的考查視角

1.單純作圖

例1（2014·青島）已知：線段a、∠α.

求作：△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α.

如圖1，已知線段a及∠α，只用直尺和圓規(guī)，求作△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α.（保留作圖痕跡，不寫作法）

點(diǎn)評(píng)：本題直接考查學(xué)生會(huì)不會(huì)利用基本作圖作出三角形.題目呈現(xiàn)簡(jiǎn)潔，試題載體公平，尊重學(xué)生認(rèn)知風(fēng)格的差異，體現(xiàn)出對(duì)學(xué)生的人文關(guān)懷，有助于緩解學(xué)生的緊張情緒，有利于學(xué)生穩(wěn)定發(fā)揮真實(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平.

2.作圖與猜想相結(jié)合

例2（2014·廣東）如圖2，點(diǎn)D在△ABC的AB邊上，且∠ACD=∠A.

（1）作∠BDC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

（2）在（1）的條件下，判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系（不要求證明）.

點(diǎn)評(píng)：本題以尺規(guī)作圖為載體，學(xué)生在正確操作的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷一個(gè)觀察猜想、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的過程.操作是猜想的前提，猜想是操作的價(jià)值體現(xiàn)，一方面具體考查學(xué)生的尺規(guī)作圖技能，另一方面考查學(xué)生的合情推理能力，題型結(jié)構(gòu)合理，體現(xiàn)了“從數(shù)學(xué)的角度提出問題、理解問題并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題”的總體要求.

3.作圖與證明、計(jì)算相結(jié)合例3（2014·白銀）如圖3，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.

（1）用尺規(guī)作圖作AB邊的中垂線DE，交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E；（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）

（2）連接BD，求證：BD平分∠CBA.

圖1

圖2

圖3

點(diǎn)評(píng)：本題將尺規(guī)作圖與證明、計(jì)算巧妙地融合在一起.問題編排具有層次性，在動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)演繹推理，要求學(xué)生能對(duì)圖形進(jìn)行分解和組合，做出有條理的思考，并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)思考過程.題目的設(shè)計(jì)突出了對(duì)學(xué)生反思習(xí)慣的考查，通過證明的方式關(guān)注數(shù)學(xué)語言的規(guī)范化.

4.作圖與應(yīng)用題相結(jié)合

例4（2013·白銀）兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B與兩條公路l1、l2的位置如圖4所示，電信部門需在C處修建一座信號(hào)發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路l1、l2的距離也必須相等，那么點(diǎn)C應(yīng)選在何處？請(qǐng)?jiān)趫D中用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點(diǎn)C.（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）

點(diǎn)評(píng)：本題借助實(shí)際場(chǎng)景，將尺規(guī)作圖生活化，增強(qiáng)了應(yīng)用意識(shí)，營(yíng)造數(shù)學(xué)文化氛圍，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要性.本題在將實(shí)際生活中的問題抽象成數(shù)學(xué)問題后，以作圖題為載體考查了線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)，題中符合條件的點(diǎn)C有2個(gè)，滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生思維的嚴(yán)密性有較高的要求.

5.作圖與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合

例5（2013·佛山）在一次考試中，從全體參加考試的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了120名學(xué)生的答題卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.其中，某個(gè)單項(xiàng)選擇題的答題情況如下表所示（沒有多選和不選）：

圖4

選項(xiàng)A B C D選擇人數(shù)15 5 90 10

（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表畫出扇形統(tǒng)計(jì)圖.

要求：畫圖前先求角；畫圖可借助任何工具，其中一個(gè)角的作圖用尺規(guī)作圖（保留痕跡，不寫作法和證明）；在統(tǒng)計(jì)圖中標(biāo)注角度.

（2）如果這個(gè)選擇題滿分是3分，正確的選項(xiàng)是C，則全體學(xué)生該題的平均得分是多少？

點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)栴}的背景為考生所熟悉，題目陳述簡(jiǎn)明，會(huì)制作扇形統(tǒng)計(jì)圖是課標(biāo)的基本要求，“其中一個(gè)角的作圖用尺規(guī)作圖”把作圖與統(tǒng)計(jì)很好地結(jié)合起來.選A、B、C、D的所占圓心角分別為45°、15°、270°、30°，這四個(gè)角都可以借助尺規(guī)完成作圖，試題具有開放性.

圖5

6.作圖與方案設(shè)計(jì)相結(jié)合

例6 （2013·舟山）小明在做課本“目標(biāo)與評(píng)定”中的一道題：如圖6，直線a、b所成的角跑到畫板外面去了，你有什么辦法量出這兩條直線所成的角的度數(shù)？小明的做法是：如圖7，畫PC∥a，量出直線b與PC的夾角的度數(shù)，即直線a、b所成角的度數(shù).

（1）請(qǐng)寫出該做法的理由.

（2）小明在此基礎(chǔ)上又進(jìn)行了更深入的探究，想到兩個(gè)操作：

①在圖8所示畫板內(nèi)，以P為圓心、任意長(zhǎng)為半徑畫圓弧，分別交直線b、PC于點(diǎn)A、D；

圖7

圖6

圖8

②連接AD并延長(zhǎng)交直線a于點(diǎn)B，請(qǐng)寫出圖8中所有與∠PAB相等的角，并說明理由.

（3）在圖8所示的畫板內(nèi)，作出“直線a、b所成的跑到畫板外面去的角”的平分線（畫板內(nèi)的部分），只要求作出圖形，并保留作圖痕跡.

（必須要有方案圖，所有的線不能畫到畫板外，只能畫在畫板內(nèi)）.

點(diǎn)評(píng)：本題不僅考查學(xué)生掌握技能的程序和步驟，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)語言的表述，還要求學(xué)生理解程序和步驟的道理.引導(dǎo)學(xué)生通過“做”數(shù)學(xué)感受數(shù)學(xué)、探索知識(shí)和結(jié)論、應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單問題，讓學(xué)生在“做”中學(xué)，同時(shí)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透.

7.作圖與課題學(xué)習(xí)相結(jié)合

例7我們定義：在一個(gè)圖形上畫一條直線，若這條直線既平分該圖形的面積，又平分該圖形的周長(zhǎng)，我們稱這條直線為這個(gè)圖形的“等分積周線”.

（1）如圖9，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，請(qǐng)你在圖9中用尺規(guī)作圖作出△ABC的一條“等分積周線”.

圖9

圖10

圖11

（2）在圖9中，過點(diǎn)C能否畫出一條“等分積周線”？若能，說出確定的方法；若不能，請(qǐng)說明理由.

（3）如圖10，四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，EF垂直平分AD，垂足為F，交BC于點(diǎn)E，已知AB=3，BC=8，CD=5.求證：直線EF為四邊形ABCD的“等分積周線”.

（4）如圖11，在△ABC中，AB=BC=6 cm，AC=8 cm，請(qǐng)你不過△ABC的頂點(diǎn)，畫出△ABC的一條“等分積周線”，并說明理由.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生的閱讀理解能力、運(yùn)用作圖工具的能力，以及運(yùn)用三角形、等底等高性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)解決問題的能力，滲透了由“特殊”到“一般”的數(shù)學(xué)思想.體現(xiàn)了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的有效考查.

三、對(duì)教學(xué)的幾點(diǎn)啟示

1.注重尺規(guī)作圖與數(shù)學(xué)語言訓(xùn)練的統(tǒng)一

尺規(guī)作圖是手腦并用的協(xié)同活動(dòng)，而數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維的顯性化.教學(xué)中對(duì)于尺規(guī)作圖的要求不能僅滿足于操作層面，知識(shí)的內(nèi)化往往伴隨著語言的表述，所以我們要注重尺規(guī)作圖與數(shù)學(xué)語言訓(xùn)練的統(tǒng)一.

在尺規(guī)作圖的教學(xué)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生規(guī)范數(shù)學(xué)語言，提供有條理地?cái)⑹霾僮鬟^程的機(jī)會(huì)，使其語言簡(jiǎn)潔、嚴(yán)謹(jǐn).把動(dòng)手操作、動(dòng)腦理解、動(dòng)口表達(dá)有機(jī)地結(jié)合起來，促進(jìn)感知有效地轉(zhuǎn)化為內(nèi)部的智力活動(dòng)，從而達(dá)到深化理解知識(shí)的目的.

2.注重尺規(guī)作圖與推理的統(tǒng)一

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確地表述：“對(duì)于尺規(guī)作圖，學(xué)生不僅要知道作圖的步驟，而且要能知道實(shí)施這些步驟的理由”.

明確步驟的理由，可以幫助學(xué)生加深對(duì)操作步驟的理解，避免機(jī)械地識(shí)記.例如“作一個(gè)角等于已知角”，如果學(xué)生在學(xué)習(xí)過三角形全等后，明白“作一個(gè)角實(shí)質(zhì)上就是由作一個(gè)三角形得到”，限于尺規(guī)的功能，唯有利用“邊邊邊”公理.這種合情推理，可以豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).正確作圖后，要求學(xué)生對(duì)作法進(jìn)行證明，從演繹推理的角度闡述作圖的正確性，提升思維品質(zhì).對(duì)于比較復(fù)雜的作圖，更要經(jīng)過嚴(yán)格分析，才能找到作圖的依據(jù)和方法.所以我們不能把尺規(guī)作圖看成簡(jiǎn)單機(jī)械式的操作活動(dòng)，本質(zhì)上它是一種具有思維含量的活動(dòng).

3.注重尺規(guī)作圖與數(shù)學(xué)思想滲透的統(tǒng)一

數(shù)學(xué)思想是指人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)的精髓.數(shù)學(xué)思想屬于策略性知識(shí).策略性知識(shí)的學(xué)習(xí)和掌握是一個(gè)以問題解決為載體的“行動(dòng)＋反思”的過程，而尺規(guī)作圖就是一個(gè)“行動(dòng)＋反思”的過程.它有具體的操作行為，也有對(duì)操作過程的表述及作圖后的反思.尺規(guī)作圖可以作為把外部操作活動(dòng)轉(zhuǎn)化為內(nèi)部思維活動(dòng)的問題載體.學(xué)生在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的理解.課標(biāo)提供了五個(gè)基本作圖，一般的作圖問題就是轉(zhuǎn)化為若干個(gè)基本作圖來實(shí)現(xiàn)，就是把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，就是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn).

4.注重尺規(guī)作圖與數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累的統(tǒng)一

人們認(rèn)識(shí)幾何命題總是經(jīng)歷一個(gè)猜想—操作—交流—推理—反思的過程，這也是數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累的過程.作圖是完成對(duì)一個(gè)幾何真命題的證明的一個(gè)必要步驟，對(duì)一個(gè)幾何假命題而言，畫出反例也必須借助尺規(guī)作圖.

“邊邊角”能不能作為判定兩個(gè)三角形全等的方法？用尺規(guī)作圖很容易構(gòu)造反例：如圖12，作∠BAC，以B為圓心作弧，在AC上可以有兩個(gè)交點(diǎn)D、E，則△ABD和△ABE滿足有兩邊相等且一邊所對(duì)的角相等，但是這兩個(gè)三角形不全等.這樣的認(rèn)知是建立在學(xué)生自己操作的基礎(chǔ)上的，具有不可替代的直觀性，能讓學(xué)生真正獲得對(duì)知識(shí)的體驗(yàn)，對(duì)理解數(shù)學(xué)知識(shí)有著積極意義.如圖13，命題“一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形”的反例也可以在“邊邊角”的操作經(jīng)驗(yàn)上，構(gòu)造△CBD，使得△CBD≌△AEB，這是建立在數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)上的經(jīng)驗(yàn)再升華.

圖12

圖13

5.注重尺規(guī)作圖與數(shù)學(xué)文化感悟的統(tǒng)一

數(shù)學(xué)文化這兩年逐步被提及，在這樣的背景下，重申尺規(guī)作圖的意義，顯得尤為必要.尺規(guī)作圖體現(xiàn)了簡(jiǎn)單美、精確美，提升了學(xué)生對(duì)美的識(shí)別與鑒賞能力.在數(shù)學(xué)文化的長(zhǎng)廊中，為了解決作圖的三大難題，引發(fā)了無數(shù)的數(shù)學(xué)愛好者為此前仆后繼，在數(shù)學(xué)史介紹的背后更是一種教育力量的詮釋，它可以激勵(lì)學(xué)生不懼怕困難，鼓勵(lì)其用數(shù)學(xué)的眼光理性地分析問題，逐步養(yǎng)成科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.Z