與初一孩子一起“玩”中考題
——一道中考網(wǎng)格題在初一課堂上的嘗試與思考

☉江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)　錢云祥

☉泰州市教育局教研室　錢德春

與初一孩子一起“玩”中考題
——一道中考網(wǎng)格題在初一課堂上的嘗試與思考

☉江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)錢云祥

☉泰州市教育局教研室錢德春

一、問題緣起

網(wǎng)絡(luò)時(shí)代，教學(xué)研討與交流可以跨越時(shí)空.前不久，本文的兩位筆者通過QQ聊起了如下所示的一道中考試題.

（2014年天津卷，第18題）如圖1，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上.

（1）計(jì)算AC2＋BC2的值等于___________；

（2）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出一個(gè)以AB為一邊的矩形，使該矩形的面積等于AC2＋BC2，并簡(jiǎn)要說明畫圖方法（不要求證明）.

關(guān)于這道試題相應(yīng)的參考答案到底是怎么想到的，兩人有一種共同的想法——到課堂中去實(shí)踐一下，充分暴露學(xué)生的思維，看看學(xué)生到底是怎么想的.考慮到筆者現(xiàn)在任教初一，突然，一個(gè)奇妙的想法跳了出來：初一的孩子能否想到這道中考題的解法呢？于是，生成了一堂課“網(wǎng)格中的數(shù)學(xué)問題”以及本文.

圖1

二、設(shè)計(jì)思路

考慮到初一學(xué)生雖已學(xué)習(xí)了平行線、垂線等相關(guān)概念，但尚未學(xué)習(xí)勾股定理，所以在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，應(yīng)注意繞開勾股定理，不能去計(jì)算圖1中的AC、AB的長(zhǎng)度.鑒于初一學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備情況，為促成學(xué)生成功解答此題成為可能，筆者在出示此題之前安排了如下一道引例以作鋪墊.

如圖2，已知△PAB的三個(gè)頂點(diǎn)均落在格點(diǎn)上.（注：每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1）

（1）△PAB的面積為_________；

圖2

（2）畫出一個(gè)以AB為一邊且面積為6的格點(diǎn)三角形，并思考：符合條件的三角形共有幾個(gè)？

（3）只借助直尺，你能在圖中畫出一個(gè)以AB為一邊且面積為12的長(zhǎng)方形嗎？

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)第一問的目的是讓學(xué)生意識(shí)到割補(bǔ)法是研究格點(diǎn)多邊形的面積的一般方法；第二問引導(dǎo)學(xué)生在嘗試中尋求一般規(guī)律；第三問題則是基于第二問的后續(xù)延伸.編制本題作為研究2014年天津卷第18題的引例，意在悄無聲息地掃清障礙.

三、教學(xué)過程

課堂上，對(duì)于引例的第一問，全班幾乎所有學(xué)生都想到了割補(bǔ)法，得出了答案（6.5）.對(duì)于第二問所要求作的格點(diǎn)三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)，同學(xué)們通過觀察陸續(xù)找出了如圖3所示的點(diǎn)C1、C2、C3，正當(dāng)大家以為符合條件的三角形只有3個(gè)的時(shí)候，突然有學(xué)生（生1）站了起來，于是有了如下的對(duì)話.

生1：我覺得不止3個(gè)，若畫出直線C1C2，則直線C1C2上的所有點(diǎn)都可作為所要畫的三角形的第三個(gè)頂點(diǎn).

師：為什么呢？

生1：因?yàn)镃1C2∥AB，根據(jù)“同底等高的三角形面積相等”……

生2：不行的！要的是格點(diǎn)三角形.

生3：可以的，直線C1C2還會(huì)經(jīng)過其他格點(diǎn)的.

生4：過點(diǎn)C3也可畫直線AB的平行線……

最終，一致找出了如圖4所示的符合條件的第三個(gè)頂點(diǎn)，共有6個(gè).

圖3

圖4

對(duì)于第三問，起初，大多數(shù)學(xué)生都緊鎖眉頭，終于，一名學(xué)生（生5）憋不住了，站了起來：老師，題目是不是錯(cuò)了啊？我找到了符合題意的平行四邊形，例如，圖4中的平行四邊形ABC2C1，其面積恰好為12，但是不可能有符合題意的長(zhǎng)方形啊！

生6：題目沒錯(cuò)！我知道你的意思，要注意，題目沒要求畫格點(diǎn)長(zhǎng)方形，只說是長(zhǎng)方形.

生5：哎呀！我剛才怎么會(huì)沒注意到這個(gè)細(xì)節(jié)變化呢？這下我會(huì)做了.

生6：我知道題目沒錯(cuò)，但是我搞不明白，只借助直尺，不能用三角尺，怎么畫直角呢？

生5：這個(gè)好辦，只要這么畫垂線……

說話間，生5跑到了講臺(tái)前，拿起教鞭，自告奮勇當(dāng)起了老師，點(diǎn)著大屏幕上的格點(diǎn)進(jìn)行講解……

教師經(jīng)現(xiàn)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)得知，對(duì)于第三問，剛開始大家思維受阻之時(shí)，除生6沒想到如何在網(wǎng)格中只用直尺過點(diǎn)A畫AB的垂線外，其余學(xué)生都誤認(rèn)為要畫格點(diǎn)長(zhǎng)方形.

隨后，教師利用課件出示了2014年天津卷第18題（詳見前文），關(guān)于AC2的值，不少學(xué)生脫口而出“2”，于是教師請(qǐng)其中的一位（生7）上臺(tái)講解.

生7：看到AC2，我想到以AC為一邊構(gòu)造一個(gè)正方形，AC2就是這個(gè)正方形的面積，顯然，用割補(bǔ)法可求得這個(gè)正方形的面積為2.又因?yàn)锽C等于3，所以AC2＋BC2的值等于11.

（注：筆者所在地區(qū)使用的是蘇科版教材，在七年級(jí)上冊(cè)“2.2有理數(shù)與無理數(shù)”這一節(jié)教材中有這樣的構(gòu)造.）

對(duì)于第二問，教師下發(fā)了一張印有題目及圖形的學(xué)案，讓學(xué)生自主探索.（巡視期間，教師對(duì)矩形一詞作了解釋，就是大家所熟悉的長(zhǎng)方形.）大約過了10分鐘，班級(jí)中已有超過半數(shù)的學(xué)生舉手表示得到了答案.于是教師請(qǐng)學(xué)生代表發(fā)表觀點(diǎn)，講解思路.

生8：老師，思路談不上，我是蒙出來的.

師：你好低調(diào).那就請(qǐng)你談?wù)勀闶窃趺疵沙鰜淼陌?（班級(jí)中其他學(xué)生都會(huì)意地笑了起來）

生8：我是湊出來的，剛開始我分別過A、B畫了AB的垂線AD、BE（實(shí)物投影，如圖5），但是通過割補(bǔ)法，我算得正方形ABED的面積為17，大于11，而線段AD、BE除了端點(diǎn)之外，不再有其他點(diǎn)落在格點(diǎn)上，所以本題所要畫的矩形肯定不是格點(diǎn)矩形，也就是說，除A、B之外，另兩個(gè)端點(diǎn)肯定不在格點(diǎn)上.聯(lián)想到上一道題，我運(yùn)氣挺好，一次性地找到了一個(gè)平行四邊形ABGF，其面積恰好為11.剩下的我想大家都懂了，矩形ABNM就是所要畫的矩形.

生8話一說完，班級(jí)中響起了熱烈的掌聲.

師：說得挺好的啊，這不是運(yùn)氣好，是你很有眼光.大膽嘗試，也是學(xué)數(shù)學(xué)的一種好方法啊.

生9：我的方法跟他差不多，不過我運(yùn)氣沒他好，湊了好多次才湊出一個(gè)以AB為一邊且面積為11的平行四邊形.

見到大家都對(duì)圖5理解了，教師問：還有沒有其他解法呢？

生10：雖然我沒想到本題的解法，但是如果把題目中的數(shù)字改一下，比如，把11改成12，我就能做了.

師：那你來說說看.

生10：我想以AB為一邊畫一個(gè)豎的平行四邊形（實(shí)物投影，如圖6），把豎的一條邊看作底，則高AH長(zhǎng)為4，由面積為12可得底BD為3.

生11：這樣一改太簡(jiǎn)單啦.

生10：也可改難一點(diǎn)，把面積改為10，這樣底就為2.5，在網(wǎng)格中，這可以做到的.（說完，用筆在圖6的基礎(chǔ)上添了幾條線，如圖7）圖中四邊形ABFG是一個(gè)平行四邊形，且面積為10.可是，對(duì)于這道題，要使得面積為11，底就應(yīng)該為，我實(shí)在是想不出好的方法.

圖7

師：盡管你暫時(shí)還沒想到本題的解法，但你的想法真的很不錯(cuò).

生12：老師，她的方法太繁了點(diǎn)兒，不過我也是在她的提示下想到了一種新方法.（生12在老師新提供的一張學(xué)案上畫上幾筆，實(shí)物投影）如圖8，是不是簡(jiǎn)單多了??？

生10：嗯，比我的圖少了兩條線.我剛才一直在思考，怎么找到長(zhǎng)為的線呢？

圖8

師：順著這樣的思路，繼續(xù)開動(dòng)腦筋，也可同伴合作交流，看看誰能率先幫她在網(wǎng)格中找到長(zhǎng)為的線.

不到三分鐘，有學(xué)生（生13）激動(dòng)地站了起來.生13：我想到啦！我想到啦?。▽?shí)物投影，如圖9）圖中的BD恰好長(zhǎng)為

圖9

師：為什么呢？

生13：我說不出道理，但是看看比例，我感覺肯定對(duì)的.

（聽到老師的話，生13自豪地對(duì)著自己豎起來大拇指）

生14：我還想到，這道題中的面積可以為任意的整數(shù)，按照此法，可以只用直尺在網(wǎng)格中找到長(zhǎng)為任意正分?jǐn)?shù)的線段BD……

四、點(diǎn)評(píng)與思考

1.挑戰(zhàn)自我，大膽嘗試與實(shí)踐

2014年天津卷第18題是一道設(shè)計(jì)精巧、研究?jī)r(jià)值高但難度較大的網(wǎng)格題，這類題因其集幾何直觀與理性思維、圖形變換與代數(shù)運(yùn)算、形式新穎與方法多樣等特點(diǎn)于一身，因此廣受命題者與一線教師的青睞，不少教師從研究的角度進(jìn)行了深入的探討.文1由教材問題聯(lián)想到用勾股定理的面積證法解決問題，接著對(duì)問題進(jìn)行二次拓展，并在此基礎(chǔ)上挖掘了問題之源、與教材問題的關(guān)系，進(jìn)而對(duì)優(yōu)秀資源的教學(xué)價(jià)值進(jìn)行了深層次的思考；文2從解題的角度分析了該題的背景、思路及與勾股定理之間的關(guān)系；文3則從再現(xiàn)真實(shí)思維過程出發(fā)，分析了圖形的畫法、思路來源和思路優(yōu)化，對(duì)解題方法進(jìn)行了更具一般性的推廣，從“過程”與“反思”的角度研究了問題的教學(xué)價(jià)值.

實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，上述所有的研究都有待于教學(xué)中驗(yàn)證.筆者突破了紙上論道的研究形式，將自己的所思所想付諸于教學(xué)實(shí)踐.首先從學(xué)生認(rèn)知角度進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)，并在初中最基礎(chǔ)的年級(jí)進(jìn)行了教學(xué)嘗試.因?yàn)閱栴}的解決需要一定的知識(shí)儲(chǔ)備，如勾股定理、二次根式運(yùn)算、無理數(shù)的理解、線段的位置關(guān)系（平行、垂直、相等）、圖形變換（平移、旋轉(zhuǎn)、全等、相似、等積等）、特殊四邊形等；更需要一定的分析、推理能力以及思維的深刻性、靈活性.這對(duì)于經(jīng)過三年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和中考系統(tǒng)復(fù)習(xí)的初三學(xué)生都不是易事，誠(chéng)如文1所說，教師“做本題也遇到了一定的困難”，而筆者在初中起始年級(jí)嘗試，這是對(duì)自己的大膽挑戰(zhàn)，也折射出一種行思結(jié)合、學(xué)教統(tǒng)一的本真的研究觀、教學(xué)觀.從最終的教學(xué)實(shí)踐結(jié)果來看，無論是學(xué)生還是教師都收獲頗豐.

2.基于認(rèn)知，創(chuàng)設(shè)最近發(fā)展區(qū)

在本節(jié)課的問題處理中，筆者基于對(duì)題目的深度思考、對(duì)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)和基礎(chǔ)的準(zhǔn)確研判，精心設(shè)計(jì)了教學(xué)環(huán)節(jié).由于學(xué)生只是初步感知平行線、垂線等概念，為了能在避開勾股定理的同時(shí)使問題得到解決，筆者設(shè)計(jì)了引例中的3個(gè)問題作鋪墊，尤其是設(shè)計(jì)的問題（2）引導(dǎo)學(xué)生拾級(jí)而上，為進(jìn)一步探究最核心的問題創(chuàng)設(shè)了最近發(fā)展區(qū)，“悄無聲息”地掃除了思維障礙.

以問題驅(qū)動(dòng)建構(gòu)知識(shí)、發(fā)展思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種重要方法.數(shù)學(xué)課堂中有兩種問題呈現(xiàn)方式：一是“自上而下”式，即先“提出富有挑戰(zhàn)性的問題（或情境），引起學(xué)生的憤悱與困惑，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生思考”，當(dāng)思維遇到障礙時(shí)，教師可以將問題后退、弱化至學(xué)生思維可及之處，從而引發(fā)學(xué)生“頓悟”、建構(gòu)知識(shí)；二是“自下而上”式，即“以學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)，通過搭建腳手架，讓學(xué)生拾級(jí)而上，在解決問題過程中積累、遷移并升華新經(jīng)驗(yàn)，這是一種自下而上的、由易到難、逐步生成的教學(xué)方法.”［3］選用何種方式取決于學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知.當(dāng)學(xué)習(xí)內(nèi)容相對(duì)淺顯（如新授內(nèi)容的起始章節(jié)）、學(xué)生認(rèn)知能力較強(qiáng)（如初三綜合復(fù)習(xí)階段）時(shí)可選擇“自上而下”式.而本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是初中起始年級(jí)學(xué)生，學(xué)習(xí)內(nèi)容是有難度的“中考題”，教者選擇了“自下而上”式，分別設(shè)計(jì)了4個(gè)有梯度和層次的問題：在網(wǎng)格中以AB為一邊，依次畫格點(diǎn)正方形、面積為12的格點(diǎn)矩形（長(zhǎng)方形）、面積為12的格點(diǎn)平行四邊形，逐步過渡到畫以AB為一邊、面積為11的格點(diǎn)矩形.教者通過搭建支架，引導(dǎo)學(xué)生拾級(jí)而上，最終解決了看似較難的問題.這種方式符合最近發(fā)展區(qū)理論，恰如其分、恰到好處.

3.激發(fā)興趣，營(yíng)造“玩數(shù)學(xué)”氛圍

如文題所言，整個(gè)課堂活動(dòng)突出了一個(gè)“玩”字，以“玩”激趣、以“玩”索知，從而玩出興趣、玩出思維.網(wǎng)格圖形帶來的視覺沖擊、問題之間的內(nèi)在聯(lián)系、圖形與算式的結(jié)構(gòu)特征、解決方法的突破與優(yōu)化、解決問題后的沖動(dòng)與興奮，都激發(fā)了學(xué)生“玩”數(shù)學(xué)的情趣，催生了學(xué)生理性思考的欲望.這種情趣與欲望得益于教師對(duì)課堂氛圍的營(yíng)造與調(diào)控，如多媒體與學(xué)案的有機(jī)結(jié)合、教師幾何畫板的嫻熟、學(xué)生做小教師到臺(tái)前的講解、同伴間的思維的交流碰撞、對(duì)學(xué)生“蒙”“運(yùn)氣好”的剖析與解釋，都讓學(xué)生品嘗了“玩數(shù)學(xué)”的味道，體驗(yàn)了“玩數(shù)學(xué)”的樂趣.

數(shù)學(xué)大師陳省身先生曾經(jīng)為少年兒童題寫了“數(shù)學(xué)好玩”4個(gè)字，數(shù)學(xué)家徐利治認(rèn)為：“數(shù)學(xué)在其內(nèi)容結(jié)構(gòu)上和方法上也都具有自身的某種美，即所謂數(shù)學(xué)美.數(shù)學(xué)美的含義是豐富的，如數(shù)學(xué)概念的簡(jiǎn)單性、統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)關(guān)系的協(xié)調(diào)性、對(duì)稱性，數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性和普遍性，還有數(shù)學(xué)中的奇異性等，都是數(shù)學(xué)美的具體內(nèi)容.”然而只有感受到數(shù)學(xué)之美的人才覺得“數(shù)學(xué)好玩”.教師要充分挖掘體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美的元素，讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)好玩”，進(jìn)而“好玩數(shù)學(xué)”，達(dá)到“玩好數(shù)學(xué)”的目的.

4.引導(dǎo)生成，啟迪探究與思維

本節(jié)課，教師以借助幾何直觀發(fā)展數(shù)學(xué)思維為教學(xué)目標(biāo)，以課前預(yù)設(shè)、課中生成、課后回味為教學(xué)路徑，體現(xiàn)了問題的開放性、思維的縝密性和數(shù)學(xué)的發(fā)展性，促進(jìn)了學(xué)生興趣激發(fā)、經(jīng)驗(yàn)積累、思維優(yōu)化、素養(yǎng)提升.

一是開放性.教者課前研究題目和學(xué)情，設(shè)計(jì)了開放性問題：“畫出一個(gè)以AB為一邊且面積為6的格點(diǎn)三角形，并思考：符合條件的三角形共有幾個(gè)？”課堂上引導(dǎo)學(xué)生在探究活動(dòng)中感受分類思想；通過以已知線段為一邊畫給定面積的特殊圖形，學(xué)生得到了“面積可以為任意的整數(shù)，按照此法，可以只用直尺在網(wǎng)格中找到長(zhǎng)為任意正分?jǐn)?shù)的線段BD……”，感受特殊到一般的思想.開放性還包括教學(xué)方式的開放，教師不是包辦代替、越俎代庖，而是放手讓學(xué)生畫圖、講解、討論、爭(zhēng)辯，從而使思路更加清晰.二是縝密性.在畫面積為11的長(zhǎng)方形時(shí)，學(xué)生通過畫圖、探究，最初認(rèn)為無法實(shí)現(xiàn)，原因是潛意識(shí)里認(rèn)為要畫格點(diǎn)長(zhǎng)方形，但生6發(fā)現(xiàn)題目沒有“格點(diǎn)長(zhǎng)方形”的限制，通過同伴間的互動(dòng)交流和思維碰撞，最終弄清楚了問題，足見教者在培養(yǎng)學(xué)生思維縝密性上的功夫.三是發(fā)展性.囿于初一學(xué)生知識(shí)限制，問題更多還是依賴直觀感知，有些道理還無法說清、有些問題暫時(shí)還無法解決.直觀的東西不一定可靠，需要通過推理來確認(rèn)，教師必須讓學(xué)生明白這個(gè)道理.如“AE的長(zhǎng)為什么就是，學(xué)生“說不出道理，但是看看比例，我感覺肯定是對(duì)的”，教師：“你的感覺非常好，圖9中的BD確實(shí)長(zhǎng)為不過其中的原理要等到初三才會(huì)學(xué)到.”教師寥寥數(shù)語，讓學(xué)生在問題的余味中感受到了推理的必要性，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的發(fā)展性.

五、寫在最后

教學(xué)研究的出發(fā)點(diǎn)和歸宿是學(xué)生的發(fā)展.作為一線教師，對(duì)教材、學(xué)生、教學(xué)和命題的研究要接地氣，多做理論引領(lǐng)下的實(shí)踐層面上的研究.“與初一孩子一起‘玩’中考題”就是教師將理論與思考運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐的嘗試.俗話說：百見不如一做.我們要遠(yuǎn)離那種可望而不可及的“高大上”“白富美”式的研究，把理論與實(shí)踐相結(jié)合，把學(xué)生是否發(fā)展作為檢驗(yàn)研究成果的唯一標(biāo)準(zhǔn)，把“學(xué)習(xí)-思考-實(shí)踐-反思-實(shí)踐”的路徑作為教學(xué)研究的新常態(tài).

1.朱玉祥.題目讓我們想到了什么——一道中考填空壓軸題的解題思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（10）.

2.韓建芳.天津市中考幾何作圖題的分析與研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（12）.

3.錢德春.例談“過程”與“反思”的教學(xué)價(jià)值［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015（2）.

4.錢德春，石建華.從激活到升華：積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基本路徑——探索三角形相似的條件（3）教學(xué)片斷賞析與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（3）.Z