基于教材用好題組*
——以人教版八年級(jí)上冊(cè)教材為例

☉山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué)初中部　邢成云

基于教材用好題組*
——以人教版八年級(jí)上冊(cè)教材為例

☉山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué)初中部邢成云

題組具有鮮明的對(duì)比性、層次性、遷移性和實(shí)效性，對(duì)鞏固所學(xué)知識(shí)、糾正思維偏差、增強(qiáng)解題能力、形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、發(fā)展思維能力等都有獨(dú)特的作用.我們的現(xiàn)行教材中就有不少的題組，如常見(jiàn)的計(jì)算題組、歸納題組等，關(guān)鍵是我們能否發(fā)現(xiàn)，能否捕捉到.若僅僅將題組視為孤立的“一組題目”，混同一般性的練習(xí)，忽視了題目之間的內(nèi)在聯(lián)系，沒(méi)有注意發(fā)揮題組的價(jià)值，零散的題目容易促成枯燥，進(jìn)而影響到學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，阻礙學(xué)生思維的發(fā)展，背離教材的編寫意圖，也就枉費(fèi)了編者的苦心孤詣，失卻了題組教學(xué)的價(jià)值，也是對(duì)教材不能有效解讀的一種體現(xiàn).另有一種現(xiàn)象，就是利用了題組形式，視為“組題”練習(xí)，但教學(xué)時(shí)只是蜻蜓點(diǎn)水、淺嘗輒止，沒(méi)有引申其思考、提煉其內(nèi)涵，這是為題組而題組的舉動(dòng).本文擬通過(guò)最新人教版教材例、習(xí)題教學(xué)中的幾個(gè)具體案例，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，組題詮釋教學(xué)思路，就如何在教材例、習(xí)題的基礎(chǔ)上，通過(guò)合理地串題、聯(lián)題、變題、編題等活動(dòng)重組題目成組，能使知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化、系統(tǒng)化，在題組辨析中提升學(xué)生的思維水平，落實(shí)好題組的應(yīng)有之魅力.

案例1：P17之“綜合運(yùn)用”第9題.

如圖1，∠1=∠2，3=∠4，∠A= 100°，求x的值.（母題）

教學(xué)設(shè)計(jì)：鏈接與改造.

鏈接P29拓廣探索的第11題：如圖2，△ABC中∠B和∠C的平分線BE、CF相交于點(diǎn)G.求證：

圖1

圖2

這一題與母題是特殊與一般的關(guān)系.

程序1：解答母題，在母題解答完成的基礎(chǔ)上，改換∠A的大小為80°、50°再行計(jì)算.

程序2：程序1完成后筆者提出問(wèn)題：此時(shí)的x與∠A的大小有怎樣的關(guān)系？鼓勵(lì)學(xué)生猜測(cè)、發(fā)現(xiàn)：x°=90°+∠A.

程序3：出示P29拓廣探索的第11題，讓學(xué)生對(duì)照，實(shí)現(xiàn)學(xué)生猜想與教材題目的對(duì)接，而后引導(dǎo)學(xué)生邏輯推證（意圖：一是給學(xué)生的發(fā)現(xiàn)以鼓勵(lì)，二是讓學(xué)生感知教材中的題目的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生重視教材）.

程序4：教師“通過(guò)證明可知：兩個(gè)內(nèi)角平分線構(gòu)成的鈍角與第三個(gè)角有了固定的關(guān)系，那么同學(xué)們能否提出類似的問(wèn)題及相關(guān)結(jié)論”的元認(rèn)知性提問(wèn)，啟迪學(xué)生提出問(wèn)題：一個(gè)內(nèi)角與一個(gè)外角的角平分線構(gòu)成的角與第三個(gè)角有怎樣的關(guān)系？?jī)蓚€(gè)外角的角平分線構(gòu)成的角與第三個(gè)角有怎樣的關(guān)系？

程序5：猜想關(guān)系并證明（引導(dǎo)學(xué)生落實(shí)轉(zhuǎn)化，把這兩個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拓廣探索的第11題的模型，如圖3、圖4中的虛線，充分利用了圖2中相關(guān)的結(jié)論），最后歸納總結(jié)這一系列結(jié)論.

圖3

圖4

點(diǎn)評(píng)：從母題的感性角度延展到理性高度，從特殊走向一般，然后啟迪學(xué)生設(shè)計(jì)變式問(wèn)題，從外角的角度，從內(nèi)角、外角結(jié)合的角度，把這類問(wèn)題悉數(shù)擺出來(lái)，積極發(fā)揮母題的遷移作用，把問(wèn)題的處理思路厘清，形成內(nèi)在關(guān)聯(lián)的統(tǒng)一體，在反復(fù)演練了三角形內(nèi)角和、外角和以及四邊形內(nèi)角和等知識(shí)外，能讓學(xué)生感悟到轉(zhuǎn)化思想、整體思想等內(nèi)在的魅力.

案例2：P81之復(fù)習(xí)鞏固第1題.

（1）等腰三角形的一個(gè)角是110°，它的另外兩個(gè)角是多少度？

（2）等腰三角形的一個(gè)角是80°，它的另外兩個(gè)角是多少度？

教學(xué)設(shè)計(jì)如下所示.

程序1：先讓學(xué)生獨(dú)立解答（教學(xué)說(shuō)明：其中（1）雖然沒(méi)有給出110°是底角還是頂角，但可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)合三角形內(nèi)角和把身份明確，110°只能作頂角，否則其內(nèi)角和會(huì)超過(guò)180°，（2）給定的是80°，可以做底角，也可以做頂角，帶來(lái)問(wèn)題的兩類結(jié)果）.

程序2：交流個(gè)人成果，分享集體智慧，學(xué)會(huì)按底角、頂角分類思考的同時(shí)，還需要三角形內(nèi)角和的保駕護(hù)航.

程序3：任意給出一個(gè)小于180°的度數(shù)，使其作為等腰三角形一個(gè)角的大小時(shí)，如何判斷是一種類型還是兩種？

先獨(dú)立思考，后交流，達(dá)成共識(shí)：當(dāng)給定的角是銳角時(shí)，有兩種可能，這個(gè)角既可以作底角，又可以作頂角；當(dāng)給定的角是直角或鈍角時(shí)，只有一種可能，這個(gè)角只能作頂角.

程序4：回放P8之綜合運(yùn)用第7題.

（1）已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)等于5，一邊長(zhǎng)等于6，求它的周長(zhǎng)；

（2）已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)等于4，一邊長(zhǎng)等于9，求它的周長(zhǎng).

再次回顧原有的思考思路.（1）由于邊的不定性，因此需要展開(kāi)討論，當(dāng)5作底時(shí)，腰長(zhǎng)為6，則其周長(zhǎng)為5+6+ 6=17；當(dāng)6作底時(shí)，腰長(zhǎng)為5，則其周長(zhǎng)為5+5+6=16.至于（2），雖然也需要分類討論，但有一類不滿足三邊關(guān)系，構(gòu)不成三角形，故答案僅有一種，4只能作底，則其周長(zhǎng)為4+9+9=22.進(jìn)而解決給出的兩線段a、b作等腰三角形的邊長(zhǎng)時(shí)，如何判斷是一種類型還是兩種類型的問(wèn)題：不妨假設(shè)a≥b，若≥b，只有一種情況，底是b，腰是a；反之，有兩類情況，底是b，腰是a，或底是a，腰是b.

程序5：組織學(xué)生比對(duì)，形成“全息”認(rèn)識(shí)，只要給出的邊或角不明身份，就需要通過(guò)討論決策.

點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)題目并行給出，形成比對(duì)，雖然僅有一數(shù)之差，結(jié)果卻有云泥之別，這種落差把等腰三角形底角度數(shù)的范圍給“逼”了出來(lái)，為以后的識(shí)別提供了切入點(diǎn).實(shí)際上，本題與前文第8頁(yè)的綜合運(yùn)用第7題是遙相呼應(yīng)的，一個(gè)立足角、一個(gè)立足邊，兩者聯(lián)手較全面地體現(xiàn)了等腰三角形的本質(zhì)屬性，它們均為數(shù)值的差異，但結(jié)果迥異.這組題可以說(shuō)非常生動(dòng)地體現(xiàn)了微型變式的魔力，僅改變數(shù)字大小或符號(hào)，我們所學(xué)習(xí)的不同狀態(tài)便逐一躍然紙上，既靈動(dòng)地實(shí)現(xiàn)了知識(shí)間的遷移，又在此過(guò)程中提升了學(xué)生思維的縝密性、廣闊性.

案例3：P56的第11題與第13題結(jié)合起來(lái)教學(xué).

首先出示第11題：如圖5，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分別是△ABC與△A′B′C′的對(duì)應(yīng)邊上的中線，AD與A′D′有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論.

圖5

教學(xué)設(shè)計(jì)如下所示.

程序1：學(xué)生猜想關(guān)系并證明（AD=A′D′.通過(guò)SAS可證△ABD≌△A′B′D′，進(jìn)一步得AD=A′D′）.

程序2：（引導(dǎo)學(xué)生水平變式）請(qǐng)同學(xué)們仿照原題目做一猜想，并給出自己的猜想.

猜想（1）：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高線相等.

猜想（2）：全等三角形對(duì)應(yīng)角的平分線相等.

完成猜想的真假識(shí)別、驗(yàn)證與證明.

程序3：進(jìn)行垂直變式：構(gòu)造逆命題，以呼應(yīng)第13題.

猜想（3）：有兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

猜想（4）：有兩邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

完成猜想的真假識(shí)別、驗(yàn)證與證明

說(shuō)明：兩個(gè)猜想均為真命題，（4）的證明有較大難度，可通過(guò)前面研究過(guò)的“測(cè)池塘的寬度”的例題，啟迪學(xué)生思維，從例題給定的具體測(cè)量方案中獲得發(fā)現(xiàn)，構(gòu)想出輔助線：把中線延長(zhǎng)，構(gòu)造新的全等三角形，把分散的條件集中，如圖6.

圖6

程序4：（師）仿上你能提出相關(guān)的問(wèn)題嗎？

（5）有兩邊和其中一邊上的高線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

（6）有兩邊和第三邊上的高線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

（7）有兩角和其中一角的角平分線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

（8）有兩角和第三個(gè)角的角平分線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

程序5：判斷以上4個(gè)命題的真假，并給出證明.

說(shuō)明：命題（6）是個(gè)假命題，它具有一定的欺騙性，大部分同學(xué)易受蒙蔽，實(shí)際上是對(duì)“SSA”認(rèn)識(shí)不夠而出現(xiàn)的必然結(jié)果，其他均為真命題，其證明的關(guān)鍵在于語(yǔ)言的轉(zhuǎn)譯，由于前面的幾次實(shí)踐，自己寫出已知、求證已經(jīng)比較順利，推證阻力不大.

點(diǎn)評(píng)：如此教學(xué)除了充分利用教材資源外，更關(guān)鍵的是把三角形的“三線”（中線、高線、角平分線）來(lái)了個(gè)大盤點(diǎn)，形成一個(gè)有豐富內(nèi)涵的問(wèn)題組，有助于學(xué)生對(duì)它們的全面認(rèn)識(shí)與系統(tǒng)把握.另外，全等三角形的判定方法不斷輪回，在實(shí)踐中得以熟練，尤其是關(guān)涉輔助線，具有較強(qiáng)的挑戰(zhàn)性，拉大了學(xué)生的思維空間，對(duì)學(xué)生思維的歷練大有裨益.

案例4：P78的例2.

求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.

教學(xué)設(shè)計(jì)如下所示.

程序1：直接出示問(wèn)題，要求學(xué)生獨(dú)立嘗試解答.

已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.

求證：AB=AC.

證明：由AD∥BC，得∠1=∠B，∠2=∠C.

又∠1=∠2，則∠B=∠C.

圖7

則AB=AC.

程序2：（師）根據(jù)上題的符號(hào)語(yǔ)言，你能寫出這個(gè)命題的逆命題嗎？

命題（1）：若AB=AC，AD∥BC，則∠1=∠2.命題（2）：若AB=AC，∠1=∠2，則AD∥BC.程序3：判斷兩個(gè)逆命題的真假并證明.

通過(guò)識(shí)別及證明發(fā)現(xiàn)它們都是真命題后，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：這三個(gè)論斷中，任取兩個(gè)一定能推出第3個(gè)，進(jìn)而獲得一類重要的模型（如圖7），可簡(jiǎn)記為：角分線+平行線?等腰三角形；等腰三角形+平行線?角平分線；等腰三角形+角平分線?平行線.

程序4：跟進(jìn)練習(xí).（1）P79的練習(xí)2.

（2）P82復(fù)習(xí)鞏固的第2題.

在學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)后，提出問(wèn)題：這兩個(gè)題目與例題有聯(lián)系嗎？以此突出強(qiáng)化發(fā)現(xiàn)的另一基本模型（如圖8）.

程序5：深度應(yīng)用.

P83綜合運(yùn)用第10題：已知：如圖9，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，與AD、AC相交于點(diǎn)M、N，且MN//BC．求證：△AMN的周長(zhǎng)等于AB+AC．

求解本題的關(guān)鍵就是圖中模型的發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而得△BMO與△CNO均為等腰三角形，求證的結(jié)論自然化解.

點(diǎn)評(píng)：如此的全程展現(xiàn)，把教材的例題、課后的練習(xí)、習(xí)題凝聚成組，形成了例題、練習(xí)、習(xí)題的銜接與貫通，集中凸顯模型的作用，對(duì)學(xué)生形成強(qiáng)刺激，有助于學(xué)生沉淀技法、構(gòu)筑模型，積累起基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).例題、練習(xí)、習(xí)題三類題的前后呼應(yīng)，浸透著教材專家們的良苦用心.

案例5：P83之綜合運(yùn)用第12題.

如圖10，△ABD、△AEC都是等邊三角形，求證：BE= DC.

圖8

圖9

圖10

圖11

教學(xué)設(shè)計(jì)如下所示.

程序1：先退至點(diǎn)A在BC上，其他條件不變，如圖11，提出問(wèn)題：在圖11中你能發(fā)現(xiàn)哪些正確的結(jié)論？并證明.

結(jié)論：△ADC≌△ABE，BE=DC，∠DOB=60°等.

把兩個(gè)等邊三角形改成分居線段BC的異側(cè)，如圖12，你能發(fā)現(xiàn)哪些正確的結(jié)論？并證明.

結(jié)論：△ADC≌△ABE，BE=DC等.

程序2：出示圖10及條件，隱蔽求證的結(jié)論，提出上述同樣的問(wèn)題.

圖12

圖13

結(jié)論：△ADC≌△ABE，BE=DC，∠DOB=60°等.

程序3：把正三角形改成等腰直角三角形（如圖13、圖14），重復(fù)以上教學(xué).

發(fā)現(xiàn)：△ADC≌△ABE，BE= DC，仍然成立，但BE與DC的夾角變成90°

程序4：集體交流，認(rèn)識(shí)變化中的不變，強(qiáng)化模型認(rèn)識(shí).

點(diǎn)評(píng)：為了突出題目之間的內(nèi)在本質(zhì)和發(fā)展變化，便于讓學(xué)生感悟“特殊到一般、一般到特殊”的思想方法，把母題退至點(diǎn)A在線段BC上，以此為起點(diǎn)組織教學(xué)，在變式中把脈，形成這類問(wèn)題的探索思路，然后把向外作等邊三角形改成作等腰直角三角形，使之更具有層層遞進(jìn)式的邏輯關(guān)系，在一脈體系中發(fā)現(xiàn)變化中的不變.

案例6：P102的練習(xí)2.

計(jì)算：（1）（x+2）（x+3）；（2）（x-4）（x+1）；（3）（y+4）（y-2）；（4）（y-5）（y-3）.由上面計(jì)算的結(jié)果找規(guī)律，觀察圖15，填空：

（x+p）（x+q）=（）2+（）x+（）.

教學(xué)設(shè)計(jì)如下所示.

程序1：學(xué)生獨(dú)立完成，借助圖示增強(qiáng)學(xué)生的認(rèn)同感，獲得認(rèn)識(shí)：（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq.

程序2：學(xué)生仿照練習(xí)2，自編4道計(jì)算題目，同桌之間互做互評(píng)，體會(huì)剛獲得的規(guī)律的作用.

程序3：呈現(xiàn)教材P106的拓廣探索15，學(xué)生獨(dú)立解答并從正反兩面感知規(guī)律，強(qiáng)化公式的雙向性，既為后續(xù)的乘法公式鋪墊，又為十字相乘蓄勢(shì).

圖14

圖15

點(diǎn)評(píng)：四個(gè)計(jì)算展現(xiàn)了四個(gè)狀態(tài).（1）是兩數(shù)和乘以兩數(shù)和，（2）是兩數(shù)差乘以兩數(shù)和，（3）是兩數(shù)和乘以兩數(shù)差，（4）是兩數(shù)差乘以兩數(shù)差，從不同的側(cè)面突出了結(jié)果的規(guī)律性.然后借圖形面積之力，在數(shù)形結(jié)合中把運(yùn)算規(guī)律揭示出來(lái)！而后在學(xué)生自編自演、反向應(yīng)用中加深認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步熟悉獲得的規(guī)律，同時(shí)通過(guò)正反對(duì)照滲透系數(shù)為1的十字相乘法，使規(guī)律得以深化.

案例7：習(xí)題14.2拓廣探索第7題.

（母題）已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值.

教學(xué)設(shè)計(jì)如下所示.

以母題為基，編擬出題組展開(kāi)教學(xué)，從變式中揭示規(guī)律.

（1）若a+b=5，ab=3，求a2+b2、a-b的值.

（2）若a2+b2=19，a+b=5，求ab、a-b的值.

（3）若a2+b2=19，ab=3，求a+b、a-b的值.

（4）若a+b=3，a-b=5，求ab、a2+b2的值.

（5）若ab=3，a-b=5，求a+b、a2+b2的值.

（6）若a2+b2=19，a-b=5，求a+b、ab的值.

學(xué)生獨(dú)立解答完成（1）、（2）、（3）后，引導(dǎo)學(xué)生提出后三個(gè)小問(wèn)題（4）、（5）、（6），以完善從4個(gè)條件中選2個(gè)條件推算另外2個(gè)的基本模型.若不順利就通過(guò)小組交流編擬問(wèn)題.而后讓學(xué)生仿照已經(jīng)解答過(guò)的問(wèn)題再次嘗試編題，在編題中進(jìn)一步體悟規(guī)律，進(jìn)而加深對(duì)這一規(guī)律的認(rèn)識(shí).

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)這一組題目幫助學(xué)生提煉出這一類問(wèn)題的一般思路（基本量意識(shí)）：“兩數(shù)和、兩數(shù)差、兩數(shù)積、兩數(shù)的平方和”，這四組量，給出任何“兩組”都能求出其他各組.有了這樣的認(rèn)識(shí)，編擬問(wèn)題就會(huì)不在話下.

以上僅是選取的一部分教學(xué)微型案例，就這星星點(diǎn)點(diǎn)也足以折射出現(xiàn)行教材中題組資源的豐富.“處處留心皆學(xué)問(wèn)”，細(xì)研教材可以發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)行教材的練習(xí)、習(xí)題或復(fù)習(xí)題為了凸顯知識(shí)、技能、方法等的一脈體系，有的直接編擬成了題組的形式，有的通過(guò)三級(jí)題目遞次呈現(xiàn)，前后呼應(yīng)，構(gòu)成隱形的整體，有的題目有開(kāi)放的潛能，可借“他山之石”成組助陣.另外，所有的教學(xué)設(shè)計(jì)均定位于學(xué)生提出問(wèn)題的教學(xué)，意在引領(lǐng)課堂的價(jià)值取向.作為課堂的組織者、引導(dǎo)者，要通透地讀懂教材，挖掘出隱匿其中或直接可用的題組，發(fā)揮它們的凝聚作用，探尋出基于教材的題組更大的教學(xué)價(jià)值與功能，是我們教師一直在思考、實(shí)踐和探索的課題.

1.人民教育出版社課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)（上冊(cè)）［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.邢成云.一道跨越“時(shí)空”的教材習(xí)題探析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2011（4）.Z

*本文系山東省教學(xué)研究課題《基于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的課堂教學(xué)研究》（課題編號(hào)：2014YB0239）的階段性成果：基于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的教學(xué)片段設(shè)計(jì)研究，主持人：邢成云.