整體性：探究活動(dòng)設(shè)計(jì)的重要原則
——從“三角形的外角”的教學(xué)優(yōu)化說(shuō)起

☉江蘇省如皋市石莊鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)　蔡曉嚴(yán)

整體性：探究活動(dòng)設(shè)計(jì)的重要原則
——從“三角形的外角”的教學(xué)優(yōu)化說(shuō)起

☉江蘇省如皋市石莊鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)蔡曉嚴(yán)

課堂教學(xué)是由多個(gè)不同的探究活動(dòng)串聯(lián)而成，這些活動(dòng)一般會(huì)附著在學(xué)生的認(rèn)知主線之上，服務(wù)于舊知的提取應(yīng)用和新知的探究生成.所以，很多老師會(huì)從教學(xué)主線出發(fā)來(lái)設(shè)計(jì)課堂活動(dòng)，以期形成對(duì)教師教和學(xué)生學(xué)有利的“活動(dòng)串”.然而，在有些課堂上，一個(gè)接一個(gè)的探究活動(dòng)缺乏連續(xù)性，常會(huì)打斷學(xué)生的思維，將學(xué)生的知識(shí)獲得過(guò)程分成若干段，對(duì)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的整體性十分不利.以人教版八年級(jí)上學(xué)期“三角形的外角”一課為例，一位老師用5個(gè)問(wèn)題呈現(xiàn)了5個(gè)分散的探究活動(dòng)，學(xué)生雖然順利地獲得了新知，但新知的獲得是“間歇性”的，他們無(wú)法感知到數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，個(gè)體數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升幅度大打折扣.為此，筆者將這些活動(dòng)進(jìn)行了適當(dāng)調(diào)整，整合出一個(gè)完整的探究活動(dòng)，通過(guò)自主探究，學(xué)生不僅獲得了新知，還將其與已有“四基”緊密聯(lián)系在一起.現(xiàn)就呈現(xiàn)這兩則教學(xué)片斷并談一些思考，希望能給您的教學(xué)帶來(lái)一些啟示.

一、一則片斷及其優(yōu)化的分析

教學(xué)背景：本節(jié)課是人教版八年級(jí)上學(xué)期的“三角形”第2節(jié)的內(nèi)容，將要學(xué)習(xí)的“三角形的外角”是“與三角形有關(guān)的角”第2課時(shí)的內(nèi)容.上一節(jié)課，已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形的內(nèi)角”，學(xué)生具備了應(yīng)用三角形的內(nèi)角和定理求內(nèi)角，以及與內(nèi)角有關(guān)聯(lián)的角的度數(shù)的能力.本節(jié)課上，教師已經(jīng)結(jié)合圖形，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)了“三角形的外角”.下面的片斷中，將重點(diǎn)探究“由三角形內(nèi)角和定理推出的推論”，也就是三角形外角的性質(zhì).

圖1

1.原教學(xué)片斷

問(wèn)題1：如圖1，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.能由∠A、∠B求出∠ACD嗎？如果能，∠ACD與∠A、∠B有什么關(guān)系？

學(xué)生根據(jù)題目中所給出的數(shù)據(jù)，計(jì)算出∠ACD＝ 130°，∠A＋∠B＝130°，根據(jù)“數(shù)據(jù)相等”可以得出“∠ACD＝∠A＋∠B”的結(jié)論.

問(wèn)題2：如果∠A＝30°，∠B＝60°，∠ACD與∠A、∠B還有這樣的關(guān)系嗎？

學(xué)生沿用剛才的方法，很快算出∠ACD＝90°，結(jié)合“∠A＝30°，∠B＝60°”，歸納得出∠ACD＝∠A＋∠B.

問(wèn)題3：如果∠A＝130°，∠B＝30°，∠ACD與∠A、∠B還有這樣的關(guān)系嗎？

由于有了前面的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生迅速得出“∠ACD＝∠A＋∠B”這一結(jié)論.

教師追問(wèn)：為什么？

學(xué)生還是先求出了∠ACD和∠A＋∠B的度數(shù)，然后從“數(shù)據(jù)相等”的角度對(duì)這一關(guān)系進(jìn)行了證明.

問(wèn)題4：如圖1，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，∠ACD與∠A、∠B有什么關(guān)系？

在稍作停頓后，教師引導(dǎo)學(xué)生從∠ACD與∠ACB的位置關(guān)系上發(fā)現(xiàn)了“∠ACD＋∠ACB＝180°”，然后根據(jù)內(nèi)角和得出“∠A＋∠B＋∠ACB＝180°”，進(jìn)而證得“∠ACD＝∠A＋∠B”的結(jié)論.

問(wèn)題5：任意一個(gè)三角形的一個(gè)外角與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角是否都有這種關(guān)系？

學(xué)生給出猜想，并結(jié)合圖1再度進(jìn)行了說(shuō)理.接下來(lái)，教師將“由三角形內(nèi)角和定理推出的推論”（即“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”）進(jìn)行了板書(shū).

簡(jiǎn)析：5個(gè)問(wèn)題串起了5個(gè)探究活動(dòng)，學(xué)生在這些小的活動(dòng)的引領(lǐng)下，圍繞三角形的外角展開(kāi)了深入探究.顯然，每一個(gè)問(wèn)題都是經(jīng)過(guò)教師精心設(shè)計(jì)的，活動(dòng)的要求清晰明了.前三個(gè)問(wèn)題是并列關(guān)系，通過(guò)探究三種不同三角形（銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形）中的外角和內(nèi)角的關(guān)系，為后兩問(wèn)的提升歸納做足了鋪墊.后兩個(gè)問(wèn)題將前三個(gè)問(wèn)題引向深入.在這5個(gè)探究活動(dòng)的鏈接上，教師起到的作用是巨大的.沒(méi)有了教師的“穿針引線”，后一個(gè)活動(dòng)是無(wú)法得到有效延續(xù)的.然而，正是教師的這種頻繁“干預(yù)”，“一問(wèn)，一解，一答”，學(xué)生在似懂非懂時(shí)，教師的介入讓他們前一輪的自主探究戛然而止.看似巧妙的過(guò)渡語(yǔ)與銜接語(yǔ)，卻成為了學(xué)生自主思維的“攔路虎”，想要在此時(shí)發(fā)展思維的深度和廣度變成了一件難事.細(xì)細(xì)分析這5個(gè)問(wèn)題，如果沒(méi)有了老師的引導(dǎo)，估計(jì)學(xué)生同樣能夠給出答案.所以，我們可以將這里的多個(gè)活動(dòng)串聯(lián)起來(lái)一并呈現(xiàn)，讓學(xué)生的新知探究在一個(gè)完整的知識(shí)體系中自動(dòng)進(jìn)行.

2.優(yōu)化教學(xué)片斷

學(xué)生活動(dòng)：先獨(dú)立思考下面的問(wèn)題，寫(xiě)下你的結(jié)論，然后在小組中交流.

思考：如圖1，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.

（1）說(shuō)說(shuō)圖中角的關(guān)系；

（2）如果∠A=70°，∠B=60°，求∠ACD的度數(shù)，并說(shuō)說(shuō)∠ACD與∠A、∠B的關(guān)系；

（3）改變∠A、∠B的度數(shù)，∠ACD與∠A、∠B還有（1）中你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系嗎？如果有，請(qǐng)說(shuō)明理由，并試著用語(yǔ)言歸納一下你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

學(xué)生經(jīng)歷了8分鐘的獨(dú)立思考后，在小組中展開(kāi)交流.15分鐘后，小組交流結(jié)束.接下來(lái)，進(jìn)行了全班交流，各組同學(xué)先后將自己得出的結(jié)論或者組內(nèi)交流得出的結(jié)論進(jìn)行了展示.第（1）題，他們不僅給出了“∠A+∠B+∠ACB=180°”，“∠ACD和∠ACB是鄰補(bǔ)角”、“∠ACD+∠ACB=180°”等結(jié)論，還給出了“∠ACD=∠A+∠B”、“∠ACD＞∠A”、“∠ACD＞∠B”等結(jié)論.教師在肯定同學(xué)所給的結(jié)論的同時(shí)，還通過(guò)對(duì)結(jié)論“∠ACD=∠A+∠B”的即時(shí)追問(wèn)，讓學(xué)生的交流自然延伸到問(wèn)題（2）.在交流問(wèn)題（2）時(shí)，教師不僅讓學(xué)生給出猜想，還讓學(xué)生在黑板上給出了說(shuō)理的過(guò)程.接下來(lái)的追問(wèn)“這個(gè)結(jié)論具有一般性嗎”，直接過(guò)渡到問(wèn)題（3），多名學(xué)生用自己所選擇的角度進(jìn)行了說(shuō)理，除了較為常見(jiàn)的整數(shù)度外，還有學(xué)生選擇了“∠A=25.5°，∠B=31.2°”和“∠A=65°15′，∠B= 41°2′”進(jìn)行了驗(yàn)證.最后，在學(xué)生將一般情況下的證明過(guò)程交流后，教師將結(jié)論板書(shū).

簡(jiǎn)析：本節(jié)課的認(rèn)知基礎(chǔ)是三角形的內(nèi)角，有了上節(jié)課的鋪墊，加之前面學(xué)習(xí)的“鄰補(bǔ)角”，學(xué)生能從圖1中獲得眾多的關(guān)系式是正常的，而且他們所得出的這些結(jié)論都是較為膚淺的.以“∠ACD=∠A+∠B”為例，只有極少數(shù)學(xué)生能說(shuō)清其中的“道道”，所以，教者預(yù)設(shè)了問(wèn)題（2）.當(dāng)他們從問(wèn)題（1）中獲得了眾多的結(jié)論后，對(duì)圖1中角之間的關(guān)系（位置和數(shù)量）有了一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，這對(duì)問(wèn)題（2）、（3）的探究是非常有利的.問(wèn)題（1）給出了猜想，問(wèn)題（2）給出了方法，問(wèn)題（3）則給出了證明.在這個(gè)探究過(guò)程中，學(xué)生一旦獲得問(wèn)題（2）的解法，問(wèn)題（3）的解答就會(huì)十分快捷.所以，出現(xiàn)了很多同學(xué)別出心裁地選擇了一些“古怪”的數(shù)據(jù)說(shuō)理是不足為奇的.顯然，優(yōu)化后的探究活動(dòng)是一個(gè)整體，三個(gè)問(wèn)題具有明顯的遞進(jìn)關(guān)系，突出了數(shù)學(xué)認(rèn)知“由特殊到一般”的規(guī)律.在這種遞進(jìn)追問(wèn)中，隨著問(wèn)題的解決，學(xué)生的思維呈螺旋式上升，深度和廣度得到大幅拓展.接下來(lái)的小組和全班的交流，給了每一名學(xué)生發(fā)表自己見(jiàn)解的機(jī)會(huì)，不同結(jié)論、觀點(diǎn)和方法在交流過(guò)程中產(chǎn)生碰撞，新知隨之生成，個(gè)體的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也隨之提升.

二、幾點(diǎn)啟示

1.活動(dòng)湊零為整，發(fā)揮探究的集群效應(yīng)

整體性，是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)設(shè)計(jì)的一個(gè)重要原則.在學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)中，分散的探究，容易分散學(xué)生的注意力，不僅不利于學(xué)生獲得數(shù)學(xué)“四基”，還不利于學(xué)生養(yǎng)成良好是思維品質(zhì).因此，我們?cè)O(shè)計(jì)探究活動(dòng)時(shí)，應(yīng)盡可能將有關(guān)聯(lián)的活動(dòng)用問(wèn)題組的形式串在起來(lái)，通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)讓學(xué)生自主探究.這種有意識(shí)的“捆綁”，會(huì)讓多個(gè)探究活動(dòng)發(fā)揮出集群效應(yīng)，形成教學(xué)合力，達(dá)到“1+1＞2”的教學(xué)效果.以本文中的案例為例，筆者對(duì)原本單列的5個(gè)探究活動(dòng)進(jìn)行了調(diào)整.充分利用教材，把教材中的“思考”（即問(wèn)題1）保留下來(lái)；為了將定義獲得的過(guò)程與性質(zhì)探究的過(guò)程準(zhǔn)確對(duì)接，在原問(wèn)題1前增加了“說(shuō)說(shuō)圖中角的關(guān)系”的探究；“改變∠A、∠B的度數(shù)”，讓“∠ACD與∠A、∠B”的關(guān)系探究繼續(xù)，“說(shuō)明理由”，“并試著用語(yǔ)言歸納結(jié)論”，探究由感性上升到理性.三個(gè)要求明確的問(wèn)題一次性呈現(xiàn)，學(xué)生在問(wèn)題的引領(lǐng)下化壓力為動(dòng)力，8分鐘的時(shí)間，每一名學(xué)生都在努力思考，在自己的思維空間中找尋著問(wèn)題的答案.密集的、不受干擾的思維活動(dòng)，讓學(xué)生的生成朝著教師期待的方向前進(jìn)著，零散的活動(dòng)在聚集后發(fā)揮出了巨大的教學(xué)效應(yīng).

2.探究一氣呵成，強(qiáng)化過(guò)程的整體感知

課堂上，零散的探究活動(dòng)在教師的“穿針引線”下方能發(fā)揮其教學(xué)價(jià)值.為了“穿針引線”，教師會(huì)為上下兩個(gè)單一活動(dòng)設(shè)計(jì)能讓彼此關(guān)聯(lián)的過(guò)渡語(yǔ).這些過(guò)渡語(yǔ)重在承上啟下，與知識(shí)、技能關(guān)聯(lián)不大.顯然，那些對(duì)教學(xué)成果影響不大的過(guò)渡語(yǔ)，過(guò)多地呈現(xiàn)反而會(huì)打亂學(xué)生的思維，分散他們的注意力.所以，為了提升教學(xué)語(yǔ)言的“含金量”，我們可以將這些可有可無(wú)的過(guò)渡棄之不用，將活動(dòng)直接整合在一起.沒(méi)有了頻繁干擾，學(xué)生的主體地位凸顯出來(lái)，每一個(gè)人都是探究活動(dòng)的主體，他們沒(méi)有依靠與依賴，問(wèn)題解決不得不一氣呵成，活動(dòng)過(guò)程的體驗(yàn)充分而自然.在上面的“優(yōu)化設(shè)計(jì)”中，“思考”是一個(gè)整體，個(gè)體的探究熱情隨著問(wèn)題的拋出迅速被激活，沒(méi)有了認(rèn)知替代，每一個(gè)人都必須認(rèn)真梳理自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，從中調(diào)動(dòng)出對(duì)問(wèn)題解決可能產(chǎn)生作用的基礎(chǔ)知識(shí)，比如三角形的內(nèi)角和定理、鄰補(bǔ)角的定義等；為找到問(wèn)題解決的通道，他們還要努力提取出解讀圖形和幾何說(shuō)理的經(jīng)驗(yàn)，在已知與未知之間搭建橋梁；問(wèn)題解決離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想的參與，轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想自主探究中“或隱或現(xiàn)”，促進(jìn)了個(gè)體對(duì)這些思想應(yīng)用價(jià)值的體驗(yàn).應(yīng)該說(shuō)，沒(méi)有了教師的干預(yù)，學(xué)生的思維得以充分舒展，探究歷程個(gè)性色彩濃郁，一氣呵成.在這一過(guò)程中，經(jīng)驗(yàn)的積累、知識(shí)的獲得和思想的感悟都是到位的，基于整體的活動(dòng)設(shè)計(jì)起到了應(yīng)有的成效.

3.問(wèn)題開(kāi)放設(shè)置，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維

在探究活動(dòng)中，問(wèn)題的設(shè)計(jì)是很有講究的.不同的教學(xué)需求，對(duì)問(wèn)題的要求也不同.當(dāng)需要唯一答案時(shí)，我們就應(yīng)設(shè)計(jì)指向明確的問(wèn)題，讓學(xué)生沿著唯一的路徑給出教者期待的答案；當(dāng)需要的結(jié)果有多種可能時(shí)，問(wèn)題的指向就應(yīng)含糊一些，只要在題干之下的合理生成都應(yīng)得到表?yè)P(yáng).事實(shí)上，很多時(shí)候，我們沒(méi)有必要讓學(xué)生“一條道走到黑”，問(wèn)題設(shè)計(jì)要靈活一些，用開(kāi)放的問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生對(duì)現(xiàn)有基礎(chǔ)充分梳理，也許會(huì)出現(xiàn)意想不到的收獲呢！“說(shuō)說(shuō)圖中角的關(guān)系”，優(yōu)化后的問(wèn)題指向“含糊不清”，學(xué)生“開(kāi)足了馬力”盡情思考，生成了包括預(yù)期的“∠ACD＝∠A＋∠B”在內(nèi)的6種結(jié)果.接下來(lái)，“改變∠A、∠B的度數(shù)”，讓原先“教師給數(shù)據(jù)探究”轉(zhuǎn)化為了“學(xué)生給數(shù)據(jù)自己探究”，探究更為靈活，結(jié)果更為可信.在學(xué)生經(jīng)歷的很多探究中，學(xué)生都是被動(dòng)地應(yīng)用著老師給出的數(shù)據(jù)，對(duì)所獲得的結(jié)果產(chǎn)生懷疑是難免的，比如本文中優(yōu)化前的探究就是如此.“自己給數(shù)據(jù)探究”的閘門(mén)打開(kāi)后，一些“古怪”的數(shù)據(jù)隨之產(chǎn)生，這種情形下的探究結(jié)果更容易為學(xué)生所接受.問(wèn)題是開(kāi)放的，但結(jié)果是“收斂”的，教者用開(kāi)放的問(wèn)題激活了學(xué)生的創(chuàng)新欲望.開(kāi)放的問(wèn)題如同一張“大網(wǎng)”，多樣的生成如同“網(wǎng)中之魚(yú)”，教師問(wèn)題設(shè)置的指向還是課時(shí)“四基”，學(xué)生應(yīng)得的“四基”必在這張“大網(wǎng)”之中.顯見(jiàn)，開(kāi)放設(shè)問(wèn)是一種外在形式上的開(kāi)放，我們的堅(jiān)守會(huì)讓學(xué)生不僅獲得既定的知識(shí)與技能，還會(huì)發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ).

三、寫(xiě)在最后

探究活動(dòng)是數(shù)學(xué)課堂的重要組成部分，它是課時(shí)“四基”的載體，是學(xué)生獲取這些“四基”的最主要的抓手.為此，我們應(yīng)該為學(xué)生設(shè)計(jì)與教學(xué)內(nèi)容匹配的探究活動(dòng)，確保呈現(xiàn)在教學(xué)過(guò)程中的探究合理而有效.單一活動(dòng)的容量小，易于操作，用到的知識(shí)和獲得的知識(shí)都比較少；組合探究的活動(dòng)多，操作有難度，涉及的舊知與生成的知識(shí)都比較多.所以，我們?cè)诮虒W(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要根據(jù)學(xué)情、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)合理選擇探究活動(dòng)的呈現(xiàn)方式，讓知識(shí)與技能有效融入到探究之中去，當(dāng)然讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的整體性則是所有活動(dòng)都必須關(guān)注的，無(wú)論是單一活動(dòng)還是組合探究，都應(yīng)是一個(gè)學(xué)生能夠自主經(jīng)歷的、完整的歷程.當(dāng)我們能夠從整體的角度審視自己設(shè)計(jì)的活動(dòng)時(shí)，我們就已經(jīng)將學(xué)生置于學(xué)習(xí)的主體地位之上了.此時(shí)，我們不再只關(guān)注于知識(shí)和技能，更多地將會(huì)關(guān)注“學(xué)生能否不受干擾地學(xué)習(xí)，能否快樂(lè)地自主學(xué)習(xí)”，他們成為了課堂的主人，這不正是我們所期待的生本課堂嗎？

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.印冬建.突出核心主線追求有效教學(xué)——談初中數(shù)學(xué)有效備課的做法和思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（1）.