基于冪函數(shù)的修形齒輪建模與仿真*

馬元節(jié)，周金宇，丁前進，王禮明，李樸義

（1.江蘇理工學院裝備再制造工程高技術(shù)重點實驗室，江蘇常州 213001；2.同濟大學軟件學院，上海 200092）

基于冪函數(shù)的修形齒輪建模與仿真*

馬元節(jié)1，周金宇1，丁前進2，王禮明1，李樸義1

（1.江蘇理工學院裝備再制造工程高技術(shù)重點實驗室，江蘇常州 213001；2.同濟大學軟件學院，上海 200092）

近年來齒輪傳動機構(gòu)朝著高速、重載、高效的方向發(fā)展，這一趨勢對齒輪提出了高穩(wěn)定性、高可靠性、低噪音等要求。針對該要求提出基于冪函數(shù)的齒廓修形方法并完成基于冪函數(shù)的齒廓修形齒輪的參數(shù)化幾何建模。為提高齒輪傳動的仿真分析效率和精度，聯(lián)合運用MATLAB與腳本語言Python在ABAQUS環(huán)境下對齒輪傳動有限元分析模型進行二次開發(fā)，實現(xiàn)齒輪動態(tài)嚙合分析從建模到后處理的參數(shù)化流程。通過實例分析相同轉(zhuǎn)速下修形前后齒輪傳動的動態(tài)嚙合性能，結(jié)合理論分析驗證了分析流程的準確性與高效性，為齒輪傳動的動態(tài)設(shè)計奠定理論基礎(chǔ)、提供可行方法。

輪齒修形；參數(shù)化；冪函數(shù)；Matlab；Abaqus

0 引言

齒輪傳動機構(gòu)是機械傳動中應(yīng)用最為廣泛的傳動機構(gòu)之一，具有傳動平穩(wěn)、可靠、效率高、壽命長等優(yōu)點。目前齒輪傳動正在朝高速、重載、高效的方向發(fā)展，這一發(fā)展趨勢對齒輪本身的穩(wěn)定性、可靠性等提出嚴格要求。大量的理論研究與實踐論證表明：正確合理的齒廓修形能夠改善齒輪的載荷分布，降低振動與噪聲，提高齒輪的承載能力以及疲勞壽命。因此，齒廓修形對于高速重載齒輪而言是不可或缺的技術(shù)之一。

近年來，隨著虛擬樣機技術(shù)和有限元方法的不斷發(fā)展，其在齒輪設(shè)計和分析領(lǐng)域得到了較為廣泛的應(yīng)用。齒輪動態(tài)嚙合問題是一個邊界條件高度非線性的接觸動力學問題。ABAQUS作為國際上最為先進的有限元分析軟件之一，為齒輪動態(tài)嚙合分析提供了必要的軟件條件。然而目前通過有限元方法分析齒輪接觸性能大多采用靜態(tài)接觸分析的方法，由于該方法忽略了結(jié)構(gòu)本身的慣性，所以對齒輪嚙合過程仿真并不十分準確［1-2］。同時，對于齒輪的嚙合分析大多采用傳統(tǒng)的CAE界面，更多的步驟是通過手工操作來實現(xiàn)，繁瑣的手工操作大大降低了分析效率。在結(jié)果處理上，傳統(tǒng)分析往往不能夠滿足需求或者結(jié)果數(shù)據(jù)量太大，并且容易造成數(shù)據(jù)丟失。因此，有必要借助ABAQUS的腳本語言Python對齒輪動態(tài)接觸分析模型進行二次開發(fā)。本文聯(lián)合數(shù)據(jù)處理能力非常強大的數(shù)學軟件MATLAB和能夠操縱ABAQUS內(nèi)核的腳本語言Python對齒輪動態(tài)嚙合分析有限元模型進行二次開發(fā)，開發(fā)出了齒輪動態(tài)嚙合仿真平臺，實現(xiàn)了從建模到后處理的自動化流程，大大地提高了分析效率。

1 基于冪函數(shù)的修形齒輪幾何建模

齒輪在進入和退出嚙合過程中，由于主動齒輪實際基節(jié)與從動齒輪實際基節(jié)不相等的原因，造成了齒輪在嚙入或嚙出時出現(xiàn)沖擊現(xiàn)象。針對這一現(xiàn)象，本文提出以滿足冪函數(shù)規(guī)律的修形曲線代替標準漸開線齒輪齒頂部位的局部齒形線，形成由漸開線與滿足冪函數(shù)規(guī)律的修形曲線組合而成的新齒廓曲線，進而形成一種全新的修形齒輪。

考慮到齒輪建模過程中繪制公式曲線必須在直角坐標系下進行，因此建模的關(guān)鍵在于確定齒輪齒廓曲線上每一點的坐標值。

如圖1所示，完整的齒廓曲線由標準漸開線BO'和修形曲線O'D兩部分組成，其中B為基圓上某一點，O'為修形起點，而基于冪函數(shù)的修形曲線是在給定修形指數(shù)n、修形長度L和最大修形量Δ（即圖1中圓弧AD）的情況下所確定的修形曲線，并且修形曲線所滿足的冪函數(shù)規(guī)律如下：

因此，確定未知的修形系數(shù)a就成為了解決問題的核心所在。

圖1 修形坐標示意圖

1.1 直角坐標系下漸開線方程

如圖1所示，以齒輪中心為原點O，過漸開線起點B與原點O的直線為橫軸建立如圖所示的全局直角坐標系XOY。漸開線上任意一點K在直角坐標系XOY中的坐標［3］表達式為：

式中xk-漸開線上任意一點K在直角坐標系XOY下的橫坐標；

yk-漸開線上任意一點K在直角坐標系XOY下的縱坐標；

φk-漸開線上任意一點K處的滾動角；

φ'k-漸開線上任意一點K處的滾動角所對應(yīng)弧度值。

考慮到該方程中的滾動角在齒輪設(shè)計過程中不便引用，因此結(jié)合標準漸開線極坐標方程，建立以漸開線上任意一點處壓力角為參數(shù)的漸開線方程：

1.2 修形系數(shù)推導

由于修形參數(shù)數(shù)值大小無法與齒輪整體尺寸相比擬，為了使計算出修形系數(shù)a的數(shù)值大小可觀，因此以修形起點O'為原點，過O'且與齒輪基圓相切于N'點的直線為縱軸建立如圖所示的局部直角坐標系X'O' Y'，其中AB為漸開線，O'D為修形曲線，L為修形長度，圓弧AD為最大修形量。

由于修形曲線函數(shù)上的點均是針對局部坐標系X'O'Y'而言，因此需要在全局坐標系XOY中，將A點繞齒輪中心O點旋轉(zhuǎn)以最大修形量為弧長的圓弧AD所對應(yīng)的圓心角θ至D點，再將D點全局坐標通過坐標變換變換至局部坐標系X'O'Y'中得出D點的局部坐標。

式中D-D點局部坐標矩陣；

x'D-修形曲線終點D在局部直角坐標系X'O'Y'下橫坐標；

y'D-修形曲線終點D在局部直角坐標系X'O'Y'下縱坐標；

A-A點全局坐標矩陣；

xA-漸開線上A點在全局坐標系XOY中的橫坐標；

yA-漸開線上A點在全局坐標系XOY中的縱坐標；

M-全局坐標系XOY下A點旋轉(zhuǎn)至D點的變換矩陣；

N-全局坐標系XOY下D點變換至局部坐標系X'O'Y'下的D'點的變換矩陣；

θ-齒頂圓弧上弧長為最大修形量時所對應(yīng)圓弧的圓心角；

α-局部坐標系X'O'Y'相對于全局坐標系XOY的旋轉(zhuǎn)角度；

x'0-局部坐標系原點O'在全局坐標中的橫坐標；

y'0-局部坐標系原點O'在全局坐標中的縱坐標。

修形系數(shù)a求解公式：

至此，修形曲線上每一點局部坐標被完全確定，再將修形曲線上每一點局部坐標變換至全局坐標系下，即可確定完整齒廓曲線上每一點全局坐標。

2 齒輪動態(tài)嚙合二次開發(fā)

齒輪動態(tài)嚙合的二次開發(fā)是建立在MATLAB所具有的強大的函數(shù)編寫功能、數(shù)值處理和文件處理能力之上，以文本文件為媒介，依據(jù)上述推導表達式在MATLAB中編寫計算齒廓曲線上每一點坐標值的函數(shù)，根據(jù)齒輪參數(shù)計算齒廓曲線上每一點的坐標值并存入文本文件。同時，使用ABAQUS腳本接口語言Python直接讀入已經(jīng)存入文本文件的齒廓曲線上點的坐標，繞過ABAQUS/CAE的圖形用戶界面GUI［4］，直接對ABAQUS內(nèi)核進行操作，進而實現(xiàn)齒輪從建模、定義材料屬性、加載、網(wǎng)格劃分、求解查看結(jié)果的處理。實際建模過程中，將齒廓曲線離散成若干節(jié)點，再由點生成線生成面生成體。利用MATLAB中system命令直接在MATLAB界面中驅(qū)動整個分析任務(wù)開始至結(jié)束，整個分析過程完全在MATLAB界面中完成，避免手動切換軟件的繁瑣過程［5］，詳細的程序流程圖如圖2所示。其中接觸建模前處理過程中，將主從動齒輪齒面集合定義為接觸對，約束主從動齒輪除軸向轉(zhuǎn)動外的所有自由度，同時主動齒輪施加恒定轉(zhuǎn)速，從動齒輪施加負載轉(zhuǎn)矩［6-8］。單元選取能夠承受扭曲變形的線性減縮積分六面體單元C3D8R，對輪齒接觸部分進行網(wǎng)格局部細化。后處理過程中，由于接觸計算所有的結(jié)果數(shù)據(jù)都保存在輸出數(shù)據(jù)庫文件中，用戶可根據(jù)自身需求提取其中的結(jié)果數(shù)據(jù)，并以文本文件的形式輸出。

圖2 程序流程圖

3 修形齒輪動態(tài)嚙合實例分析

通過所開發(fā)的程序?qū)σ粚X輪副進行不同轉(zhuǎn)速下的齒輪嚙合傳動性能分析，齒輪副的具體參數(shù)如表1所示。

表1 嚙合齒輪副基本參數(shù)

3.1 不同轉(zhuǎn)速下嚙合性能分析

齒輪傳動經(jīng)常使用于不同轉(zhuǎn)速下的工作場合，因此通過轉(zhuǎn)速建立對比模型，研究轉(zhuǎn)速對齒輪動態(tài)嚙合性能的影響。

為了避免強烈的初始嚙合沖擊，在前處理中給主動輪1.5ms的加速時間，只研究1.5ms以后的齒輪動態(tài)性能［9］。分別給主動輪施加轉(zhuǎn)速70rad/s、80rad/s，從動齒輪施加恒定負載轉(zhuǎn)矩120N·m。為了說明不同轉(zhuǎn)速下齒廓節(jié)點應(yīng)力變化情況，選取主動齒輪分度圓處兩臨近單元的質(zhì)心處應(yīng)力的平均值作為主動齒輪分度圓處應(yīng)力，如圖3所示。主動齒輪分度圓處點的應(yīng)力情況如圖4所示，可以看出隨著轉(zhuǎn)速增大，由于動載荷的增大的緣故，接觸應(yīng)力也隨之增大。

圖3 主動齒輪分度圓處單元

圖4 主動齒輪分度圓處應(yīng)力變化曲線

3.2 修形前后嚙合性能分析

為研究修形對齒輪嚙合性能的影響，對主動齒輪齒頂區(qū)域按表1參數(shù)進行齒頂修形。對主動輪施加恒定轉(zhuǎn)速80rad/s，從動齒輪施加恒定負載轉(zhuǎn)矩120 N·m。選取靠近齒頂?shù)牧鶄€連續(xù)單元，并取這六個單元質(zhì)心處應(yīng)力的平均值作為齒頂區(qū)域的應(yīng)力指標，齒頂區(qū)域應(yīng)力變化情況如圖5所示。由圖5可以看出，標準齒輪在3.3ms以后開始逐漸退出嚙合，在退出嚙合過程中會出現(xiàn)強烈的嚙出沖擊現(xiàn)象。在齒輪退出嚙合過程中，按表1所示的修形齒輪可以緩和嚙出沖擊，使齒輪在退出嚙合過程中的應(yīng)力變化相對平緩。

圖5 主動齒輪齒頂區(qū)域應(yīng)力變化曲線

4 結(jié)論

（1）聯(lián)合商業(yè)軟件MATLAB與Python腳本語言進行二次開發(fā)，實現(xiàn)了修形齒輪的參數(shù)化建模，以及動態(tài)分析的CAE流程自動化，可為齒輪的動態(tài)設(shè)計提供可行途徑。

（2）對比分析相同轉(zhuǎn)速下漸開線［參考文獻］

直齒圓柱輪副與基于冪函數(shù)的修形齒輪副的動態(tài)接觸性能，發(fā)現(xiàn)通過選取合適的修形參數(shù)可緩和輪齒在退出嚙合過程中由于主動齒輪與從動齒輪基節(jié)不相等所造成的嚙合沖擊，提高齒輪的接觸穩(wěn)定性，分析結(jié)果對于研究齒輪傳動提供了重要的參考價值。

［1］趙騰倫.ABAQUS6.6在機械工程中的應(yīng)用［M］.北京：中國水利水電出版社，2007.

［2］王亮.漸開線圓柱齒輪齒廓修形設(shè)計及動態(tài)接觸分析［D］.山西：太原理工大學，2012.

［3］田培棠.圓柱齒輪幾何計算原理及實用算法［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2012.

［4］曹金鳳.Python語言在Abaqus中的應(yīng)用［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2007.

［5］楊艷.修形齒輪數(shù)字化設(shè)計方法與技術(shù)［D］.山西：太原理工大學，2012.

［6］Simulia.ABAQUS scripting referencemanual［z］.2008

［7］Giorgio Bonori，Marco Barbieri，F(xiàn)rancesco Pellicano.Optimum profilemodifications of spur gears bymeans of gen-etic algorithms［J］.Journal of Sound and Vibration.2008，313（3 -5）：603-616.

［8］Conry T F，Seireg A.Amathematical programming techni-que for the evaluation of load distribution and optimalmodi-fication for gear systems［J］.A-SME Journal of Engineering for Industry.1973，35（2）：1115-1122.

［9］LIUYang.Parametric Modelingand Contact Analysis of Involute Spur Gears based on APDL［J］.Machinery-Design& Manufaeture，2014-（3）：65-78.

（編輯 趙蓉）

M odeling and Simulating of M odification Gear Based on Power Function

MA Yuan-jie1，ZHOU Jin-yu1，DING Qian-jin2，WANG Li-ming1，LIPu-yi1
（1.Hi-tech Key Laboratory of Equipment Remanufacture，Jiangsu University of Technology，Changzhou Jiangsu 213001，China；2.School of Software，TONGJIUniversity，Shanghai200092，China）

Recently，gear transmissionmechanism develops towards the tendency of high-speed，overloading and efficiency，this tendency puts forward high stability，high reliability，low noise on gears.Tomeet these design requirements，this article comes up w ith the method of tooth profile modification gears which are based on power function.Besides，it completes geometricalmodel building of the gears.In order to improve the efficiency and precision of the gear transm ission simulation，it brings in MATLAB and script language Python and conducts a secondary development in the environment of ABAQUS.As a result，it comes true parameterization process from modeling to the post-processing.At last，it analyses dynam ic meshing performance of gear transmission before and aftermodification under the same rotational speed.The accuracy and efficiency of this analytical process is verified by a practical example.Besides，it lays the foundation for dynam ic design of gear transm ission and provides a feasiblemethod.

gear tooth modification；parameterization；power function；Matlab；Abaqus

TH132.41；TG506

A

1001-2265（2015）08-0063-03 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.08.016

2014-11-03

國家自然科學基金項目（51275221）；江蘇省產(chǎn)學研聯(lián)合創(chuàng)新資金項目（BY2014038-04）；江蘇省"333工程"培養(yǎng)資金資助項目

馬元節(jié)（1988-），男，江蘇淮安人，江蘇理工學院碩士研究生，研究方向為齒輪傳動系統(tǒng)，（E-mail）myj1040471049@163.com。