圓柱類工件圓柱度建模與公差分析*

袁世先，黃聞啟

（1.河南職業(yè)技術(shù)學院機電工程系，鄭州 450046；2.河南省礦業(yè)耐材有限公司，鄭州 450053）

圓柱類工件圓柱度建模與公差分析*

袁世先1，黃聞啟2

（1.河南職業(yè)技術(shù)學院機電工程系，鄭州 450046；2.河南省礦業(yè)耐材有限公司，鄭州 450053）

鑒于圓柱度誤差會影響圓柱形零件的裝配條件極其精密產(chǎn)品的性能，提出了一種用于圓柱類零件圓柱度建模及其誤差分析的方法，首先利用L-F方程和群粒子優(yōu)化算法分別對圓柱度誤差進行建模和評估，然后利用Monte Carlo模擬法對軸和孔的虛擬裝配發(fā)展而來的接觸法以確定其位置精度。圓柱度誤差和諧波次數(shù)（即諧波波瓣數(shù)）對零件位置精度的影響將會進行詳細的分析，并通過對已有文獻中的數(shù)據(jù)進行仿真試驗和比較。結(jié)果表明在兩個圓柱形工件間的圓柱度誤差對位置精度的影響比圓度誤差更為顯著，并且證明上述建模和評估方法的有效性；當通過測量獲得被加工零件的設(shè)計公差和幾何誤差后，該方法還能夠快速地預測出相應的位置精度。

圓柱度誤差；L-F方程；位置精度；公差分析

0 引言

在機械加工中，圓柱形零件的裝配條件受制于諸如配件圓柱度誤差等尺寸公差和幾何誤差，并對精密產(chǎn)品的性能有著顯著的影響。目前，裝配條件最主要的評估方式是利用通常被忽略的尺寸公差和幾何誤差，只有少數(shù)的研究人員致力于研究圓度誤差對二維裝配條件的影響［1-2］。為了確定兩個圓柱體零件間實際配合狀態(tài)，需要對零件的幾何誤差給予考慮。圓柱度誤差實質(zhì)上是由橫截面的圓度誤差引起的，而諸如軸向截面錐度、橢圓、棱圓和母線彎曲（凸形、凹形和鞍形）等形狀誤差則由圓柱正截面上直徑的變化引起的［3］。對于圓形和圓柱形零件形狀誤差的建模過程，大多數(shù)研究人員專注于圓度誤差的模型，并將該模型用作圓柱度誤差模型的基礎(chǔ)［4］。Mesay T.D.［5］等人提出一種能將圓形要素的總形狀誤差分解為系統(tǒng)和隨機分量兩部分的方法，傅里葉分量常用于表示由徑向波動引起的系統(tǒng)形狀誤差，并且仿真和實驗證明上述方法能描述很多種系統(tǒng)形狀誤差的特征。一些研究人員致力于如何建立圓柱度誤差模型［6］和分析其對產(chǎn)品性能的影響。Zhang等［7］致力于機械加工圓柱形工件的典型幾何誤差及相應的誤差源研究，并提出一種基于Legendre-Fourier（L-F）多項式的新方法以建立和描述典型幾何誤差的模型與特征。對于包括尺寸公差和幾何誤差在內(nèi)的所有零件誤差，均能夠分解為一系列的L-F方程，每一個L-F方程通常表示一個制造系統(tǒng)中的誤差源。因此在生產(chǎn)過程中，L-F方程可以消除已經(jīng)確定的誤差，從而使得加工過程可控。在本文中，使用L-F方程建立圓柱度誤差模型以及采用粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，簡稱PSO）算法評價圓柱度誤差，然后使用Monte Carlo模擬法對軸和孔進行虛擬裝配以確定其位置精度。通過對結(jié)果的比較，表明圓柱度誤差對圓柱形零件位置精度的影響比圓度誤差更為顯著。此外，圓柱度誤差和諧波數(shù)對位置精度的影響也進行詳細分析。

1 圓柱形部件的圓柱度建模

1.1 利用L-F多項式建立圓柱度誤差模型

工件經(jīng)過諸如車削和磨削的加工工序后，使用檢測裝置（如三坐標測量機，簡稱CMM）獲取以加工工件的幾何學數(shù)據(jù)組｛r，θ，z｝或｛x，y，z｝，這些幾何的數(shù)據(jù)組可以數(shù)學分解為L-F多項式方程，如公式（1）所示：

其中，r是工件在（θ，z）點的半徑，r0為工件的平均半徑，Δr為工件在z截面處的形狀誤差，Pj（z）為Legendre方程，A和B是常數(shù)，并且正余弦函數(shù)是傅立葉級數(shù)的部分［8］。因此，公式（1）的每一個方程都是Legendre多項式和傅立葉級數(shù)的乘積，Pj（z）是完全正交于z坐標軸。同時傅立葉級數(shù)完全正交于截面坐標θ，傅立葉級數(shù)和Legendre多項式合理選擇有如下兩種方法：。由于圓柱形零件表面橫截面方向的幾何誤差通常具有周期性，故用傅立葉級數(shù)描述其橫截面方程。但是傅立葉級數(shù)并不適用于圓柱體截面，這是因為沿軸向的表面輪廓是不具有封閉性和周期性，反而其更適合用多項式表示。選取圓柱體的中心點作為軸坐標系的原點，在整個對稱的區(qū)間使用恒定的權(quán)重函數(shù)。Legendre多項式在實際生產(chǎn)制造中相當于特有的制造誤差［9］，故其適合于軸向表達式。

傅立葉級數(shù)的屬性常用于建立圓度誤差模型［10］，因此這里僅僅討論Legendre多項式的屬性。

前6階Legendre多項式如下：

由于L-F多項式函數(shù)正交，故其系數(shù)可由公式（4）和（5）得到：

其中，l和m為方位角的順序和總數(shù)，k和h分別為z方向上點的順序和總數(shù)。

表1列舉了圓柱形零件主要的制造誤差和相應的L-F多項式表示［7］。注意不同的誤差可能使用相同的多項式模型參數(shù)表示。例如，由刀具安裝和工件膨脹引起直徑誤差屬于相同類型的誤差，故均可用A00表示。

表1 典型制造誤差及相應的L-F多項式表示

1.2 圓柱度誤差仿真

為了模擬軸和孔的圓柱形輪廓，因此假設(shè)圓柱體的軸線是理想的直線以及所有橫截面的中心重合。文獻［1-2］中采用相同的軸孔裝配作為實例進行討論，示例的名義直徑254.00mm，且依據(jù)ASME B4.1確定尺寸公差，如圖1所示。

圖1 兩個含形狀誤差的配合零件實例

設(shè)定在橫截面上的點數(shù)i為180且橫截面的個數(shù)j也為180。圖2表示包含圓柱度誤差的軸和孔幾種典型輪廓，它們可利用圓柱坐標系中的數(shù)據(jù)點｛r，θ，z｝構(gòu)建獲得，當然這些輪廓通過CMMs獲取笛卡爾坐標系中的數(shù)據(jù)點｛x，y，z｝模擬得到。

從圖2a～圖2b中，輪廓在橫截面上分別具有3次、4次和5次諧波圓度誤差，一般情況下，從第2次到第50次諧波完全能夠描述圓度誤差，并且諧波次數(shù)（即波瓣數(shù)）越大，則與之對應圓柱度誤差就越小；換而言之，當諧波次數(shù)接近于無窮大時，零件的圓柱度誤差就無限接近于0。因此圖2d為利用文獻［1］中的諧波系數(shù)確定的截面輪廓。

圖2 圓柱形零件的徑向諧波誤差模擬

圖3 圓柱形零件的軸向誤差模擬

圖3描述圓柱體在軸向的形狀誤差，如錐形、香蕉形、桶形和漏斗形等。其中圖3a的軸向誤差為一次LF多項式，其他均高階L-F多項式。此外，圖3b的中心軸線為曲線，其他的軸線（即母線）均為直線；從圖中可以很明顯地看出，軸線的直線度對零件的圓柱度有很大的影響，因此在實際加工中要盡量避免。

2 評估模擬圓柱形零件的圓柱度誤差

在精密裝配過程中，合理選取圓柱形零部件的參數(shù)是非常重要的，尺寸公差和形狀誤差對裝配條件均有較大的影響，包括圓度誤差和圓柱度誤差等。將兩個零件軸線間所允許的最大位移定義為零件的位置精度，并且一個零件的軸線被看作另一個零件的基準。圓柱度誤差可通過兩個同軸圓柱形輪廓之間的最小區(qū)域來評價的。文獻［11］提出一種評價圓柱體尺寸的新方法，利用B-樣條曲線代替直線去描述圓柱體的軸線，但是樣本大小對結(jié)果有很大的影響。最小二乘圓柱、最大內(nèi)接圓柱、最小外接圓柱或最小區(qū)域圓柱（MZC）是普遍采用的方法，其中，由于MZC能夠得出最小圓柱度誤差而被廣泛應用，利用公式（6）確定理想圓柱體的軸線：

其中，a和b是位置參數(shù)，u和q是方向參數(shù)，表面上任意點到軸線的距離可通過下面的公式獲得：

其中，i為方位角個數(shù)，j為截面?zhèn)€數(shù)，xij、yij、zij為輪廓上點的坐標。

利用MZC確定圓柱度誤差是找到包含實際圓柱的兩個同軸圓柱體，當這兩個圓柱體的半徑差最小時，圓柱體間的區(qū)域最小，且該半徑差就是圓柱度誤差。故評估圓柱度誤差實際上是軸線的優(yōu)化過程，目標函數(shù)為：

最近，用于圓柱度評估的最小區(qū)域可通過遺傳算法［12］、粒子群優(yōu)化算法［13］或解析幾何法獲得。由于PSO算法的高效性，因而在本文中用于評估圓柱度誤差以及確定軸的位置和方向，圖4為圓柱體輪廓仿真結(jié)果，從該圖中可以看出，圓柱度誤差為10μm。

圖4 基于PSO算法的圓柱度誤差評估

3 結(jié)果與討論

3.1 相關(guān)文獻中結(jié)果的比較

圖5是在與文獻相同條件下進行10000次迭代仿真后的結(jié)果。其中帶三角形的折線表示文獻［2］中的結(jié)果，圖中兩條曲線的對比顯示不同位置誤差具有相似的變化趨勢，但其中考慮到圓柱度誤差的位置誤差要小于僅僅考慮圓度誤差的情況。當沒有形狀誤差時，其平均位置誤差為25μm，而當圓柱度誤差增加到30μm時，位置誤差則下降到7μm，比僅僅考慮圓度誤差時要小12μm。形狀誤差越大，這兩種方法得到結(jié)果的偏差就越大，這表明輪廓誤差實際上提高了軸和孔的位置精度。在文獻［2］中，軸和孔被簡化為帶有形狀誤差的兩個圓環(huán)，例如當只在二維平面內(nèi)研究形狀誤差時。眾所周知，圓柱體零件的實際輪廓是三維的，不同零件即使具有相同的形狀誤差，其橫截面也可能是不同形狀，因此文獻［2］中的結(jié)果與實際情況有很大的出入。然而圓度誤差僅僅能夠處理不同橫截面間的相互作用，圓柱度誤差在徑向和軸向都具有復雜得多的情況，并且尺寸公差可以抵消位置的變化。結(jié)果表明圓柱度誤差對圓柱體零件間的位置精度的影響要大于圓度誤差。

圖5 形狀誤差與位置誤差的關(guān)系

3.2 諧波次數(shù)和圓柱度誤差對位置誤差的影響

諧波次數(shù)影響工件圓柱度誤差的主要因素，通過計算流體動力學仿真和試驗，發(fā)現(xiàn)圓度波瓣和形狀誤差對柴油機零部件燃料泄漏有較大的影響。假設(shè)裝配零部件間沒有軸向誤差，圖6和圖7表示當公稱配合間隙相同時橫截面的諧波次數(shù)和圓柱度誤差對位置誤差的影響。

圖7 圓柱度誤差對位置誤差的影響

圖6中的兩個裝配零件均有10μm的圓柱度誤差，當橫截面波瓣數(shù)增加時，位置誤差減小。如果零部件有兩個波瓣，則為橢圓形，當其長軸彼此相反時，其最大位置誤差為24μm。這種情況下，軸在與孔接觸之前其中心線沿長軸方向能夠移動最長的距離，當長軸與短軸相反時，其中心線則能夠移動最小位移。當軸的波瓣數(shù)增加到7時，其位置誤差分別減小到14和12μm?？椎牟ò甏螖?shù)越高，則位置誤差的值越小，這是因為波瓣間的相互作用阻礙了軸中心線的移動，即使當軸的波峰面對孔的波谷時。

圖7表示圓柱度誤差對位置誤差的影響，孔的圓柱度誤差為10μm，該圖表明軸無論是三次或四次諧波，位置誤差都隨圓柱度誤差的增加而減小。當軸的圓柱度誤差為30μm時，位置誤差為0，這意味著零部件間為過盈配合，原因在于零部件間的相互作用隨著形狀誤差的增加而增加，且其相互作用可以防止軸中心線的偏移。顯而易見，裝配零部件的諧波次數(shù)越大，它們之間的位置誤差就越小，如果其諧波次數(shù)無窮大，位置誤差將依賴于形狀誤差所允許的最大軸半徑和最小孔半徑。

4 結(jié)束語

利用L-F方程建立圓柱度誤差模型，采用PSO算法對其進行評估。通過對結(jié)果的仿真實驗及比較，表明裝配零部件的圓柱度誤差對位置誤差的影響要比圓度誤差顯著。圓柱度誤差和諧波次數(shù)對位置誤差將進行更為詳細的分析，利用提出的方法，在測量獲得尺寸誤差或分配設(shè)計公差后，能夠快速地預測零部件間的裝配位置精度。

［1］Cho N，Tu J.Quantitative circularity tolerance analysis and design for 2D precision assemblies［J］.International Journal of Machine Tools and Manufacture 2002，42（13）：1391-1401.

［2］Cho N，Tu J.Roundnessmodeling ofmachined parts for tolerance analysis［J］.Precision engineering 2001，25（1）：35-47.

［3］黃祥.基于最小區(qū)域法的圓柱度幾何誤差評定［J］.組合機床與自動化加工技術(shù)，2013（6）：27-29.

［4］寧會峰，馬廣龍，龔俊.琦磨加工中圓柱度誤差的評定方法研究［J］.機械設(shè)計與制造，2013（10）：224-226.

［5］Desta MT，F(xiàn)eng H-Y，OuYang D.Characterization of general systematic form errors for circular features［J］.International Journal ofMachine Toolsand Manufacture2003，43（11）：1069-1078.

［6］鄭鵬，張琳娜，陳明儀.最小條件下零件圓柱度誤差數(shù)學模型及其計量實現(xiàn)［J］.計量學報，2009，30（3）：197-200.

［7］Zhang X，Zhang C，Wang B，F(xiàn)eng S.Unified functional tolerancing approach for precision cylindrical components［J］.International journal of production research 2005；43（1）：25-47.

［8］周加喜，鄧子辰，侯秀慧.夾層圓柱殼在移動內(nèi)壓作用下的臨界速度研究［J］.應用數(shù)學和力學，2008，29（12）：1426-1434.

［9］陳一鳴，孫慧，劉樂春，等.Legendre多項式求解變系數(shù)的分數(shù)階Fredholm積分微分方程［J］.山東大學學報（理學版），2013，48（6）：80-86.

［10］李英松，夏平，何東璠.基于傅立葉級數(shù)的立銑刀銑削力模型［J］.機械設(shè)計與制造，2012（7）：256-258.

［11］Zhang X，Zhang C，Wang B，F(xiàn)eng S.Unified functional tolerancing approach for precision cylindrical components［J］.International journal of production research 2005；43（1）：25-47.

［12］RamaswamiH，Anand S.Accurate size evaluation of cylindrical components［J］.The International Journal of Advanced Manufacturing Technology 2010；49（9-12）：1079-1092.

［13］張英堂，張光，李志寧，等.基于改進遺傳算法的三軸磁場傳感器校正方法研究［J］.現(xiàn)代制造工程，2013（4）：122-125.

［14］Changcai Cui，Shiwei Fu，F(xiàn)ugui Huang.Research on the uncertainties from different form error evaluation methods by CMM sampling［J］.International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2009，43（1-2）：136-145.

（編輯 趙蓉）

Cylindricity M odeling and Tolerance Analysis for Cylindrical Components

YUAN Shi-xian1，HUANGWen-qi2
（1.Department of Electrical and Mechanical Engineering，Henan Polytechnic，Zhengzhou 450046，China；2. Henan Mining and Refractories Co.，LTD，Zhengzhou 450053，China）

The circular and cylindrical features are fundamental geometric features inmachines.Cylindricity error affects the fitting conditions of cylindrical components and impacts the performance of the precision products.In this paper，the cylindricity error was modeled using L-F functions and evaluated by particle swarm optim ization algorithm.Then the contact method is developed to determ ine the position accuracy through the virtual assembling of the bore and shaftusing themonte carlo simulation.The effects of the cylindricity error and the number of lobes on the position errorwere analyzed in detail.The results indicate that the cylindricity error hasmore significant influence on the position accuracy between the cylindrical parts than the roundness error.Using the suggested method in the paper，the position accuracy can be rapidly predicted after the design tolerances are allocated or the geometrical errors aremeasured onmanufactured parts.

cylindricity error；L-F functions；position accuracy；tolerance analysis

TH16；TG506

A

1001-2265（2015）08-0024-04 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.08.006

2014-11-03

河南省教育廳自然科學研究計劃項目（2011c460007）

袁世先（1966-），女，貴陽人，河南職業(yè)技術(shù)學院副教授，研究方向為機械設(shè)計與制造，（E-mail）yuansx1966@126.com。