基于多項(xiàng)式連續(xù)法的6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)正向位置分析

宋馬軍，汪先明，朱大昌

（1.江西理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江西贛州 341000；2.南昌大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，南昌 330031）

基于多項(xiàng)式連續(xù)法的6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)正向位置分析

宋馬軍1，汪先明2，朱大昌1

（1.江西理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江西贛州 341000；2.南昌大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，南昌 330031）

6自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)動(dòng)容易和控制算法成熟而廣泛應(yīng)用，典型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)就是Stewart平臺(tái)。文章針對(duì)6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)正向位置分析所構(gòu)造的非線性多項(xiàng)式方程組，結(jié)合多項(xiàng)式連續(xù)法和代數(shù)拓?fù)浞?，提出多?xiàng)式連續(xù)拓?fù)浞āＥc一般數(shù)值連續(xù)法相比，該方法可在無(wú)需初始值的情況下，利用多項(xiàng)式方程組的特殊屬性，得到各封閉支鏈所有的正向運(yùn)動(dòng)位置解，同時(shí)消除諸如散度和分叉等問(wèn)題，也被認(rèn)為是一種有效逼近一個(gè)給定的非線性問(wèn)題。對(duì)科學(xué)和工程應(yīng)用中一些復(fù)雜環(huán)境下的非線性問(wèn)題具有重要的借鑒意義。

6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)；多項(xiàng)式連續(xù)代數(shù)拓?fù)浞ǎ徽蜻\(yùn)動(dòng)位置解

0 引言

Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)想最早可追溯到1949年，Gough［1］提出用一種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)器（Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)）檢測(cè)輪胎。1965年英國(guó)高級(jí)工程師Stewart［2］在“A Platform with Six Degrees of Freedom”論文中提出了用于飛行模擬器的6自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)-Stewart平臺(tái)。自從1978年，澳大利亞著名機(jī)構(gòu)學(xué)教授Hunt［3］提出了把6自由度的Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)作為機(jī)器人機(jī)構(gòu)以來(lái)，并聯(lián)機(jī)器人技術(shù)得以廣泛推廣。由于Stewart平臺(tái)已被廣泛用于運(yùn)動(dòng)模擬器領(lǐng)域，運(yùn)動(dòng)模擬過(guò)程對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)態(tài)性能提出更高的要求，使得運(yùn)動(dòng)控制算法的研究更為深入［4］。

機(jī)構(gòu)的位置分析是求解機(jī)構(gòu)的輸入與輸出構(gòu)件之間的位置關(guān)系，是運(yùn)動(dòng)分析的最基本任務(wù)，也是機(jī)構(gòu)速度、加速度及其它的受力分析、誤差分析、工作空間分析、動(dòng)力學(xué)分析和機(jī)構(gòu)綜合等的基礎(chǔ)。Stewart平臺(tái)的并聯(lián)特性導(dǎo)致其運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解十分簡(jiǎn)單，但運(yùn)動(dòng)學(xué)正解總因包含多個(gè)未知參數(shù)的非線性方程組而變得十分復(fù)雜。目前，較為常見(jiàn)的位置正解由解析法、數(shù)值解法和封閉解法。對(duì)于解析法，由于位置正解的求解過(guò)程中涉及一組包含6個(gè)或9個(gè)位置參數(shù)的非線性方程組，在應(yīng)用中很難建立方程給出解析解。而數(shù)值方法求解，能迅速方便地對(duì)任何機(jī)型結(jié)構(gòu)求得實(shí)解，但一般得不得全部的解析，也不適合做理論上的研究。封閉解法雖得到解析表達(dá)式后理論上還有很大應(yīng)用，能得到方程全部解，但其難度很大。針對(duì)以上解法的問(wèn)題，基于多項(xiàng)式連續(xù)法和代數(shù)拓?fù)浞?，本文提出了基于多?xiàng)式連續(xù)拓?fù)浞▉?lái)求解Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正向位置解?；谶B續(xù)法、同倫學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)的理論相結(jié)合，構(gòu)造出具有非零輔助參數(shù)和嵌入變量的代數(shù)拓?fù)浜瘮?shù)。在嵌入變量在［0，1］的區(qū)間中，使非線性問(wèn)題的解通過(guò)代數(shù)拓?fù)浜瘮?shù)由初始猜測(cè)解逐步變化到原始方程的精確解。該方法最大的特點(diǎn)是不需要多項(xiàng)式方程組的初始值也能求得各封閉支鏈正向運(yùn)動(dòng)的所有位置解，對(duì)于科學(xué)和工程應(yīng)用中一些復(fù)雜環(huán)境下未知參數(shù)的非線性問(wèn)題具有借鑒意義。

1 Stewart平臺(tái)正向位置分析及求解

Stewart平臺(tái)由一個(gè)定平臺(tái)，一個(gè)動(dòng)平臺(tái)和六條帶驅(qū)動(dòng)器并聯(lián)接定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)的支鏈組成，如圖1所示。每條支鏈由一個(gè)移動(dòng)副和一個(gè)聯(lián)接定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)的球副組成，每個(gè)移動(dòng)副作為其獨(dú)立的輸入位置。而一般幾何Stewart平臺(tái)的正向運(yùn)動(dòng)解值得考慮，該問(wèn)題闡述如下：給定六個(gè)移動(dòng)副的值去計(jì)算動(dòng)平臺(tái)的位置和方向。以6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例用多項(xiàng)式連續(xù)法拓?fù)浞椒ㄇ蠼庹蛭恢媒狻?/p>

1.1 正向位置多項(xiàng)式方程建立

如圖1所示，O-XYZ和O'-UVW分別是固定在定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)上的坐標(biāo)系，Ei和ei，i=1，2，…，6，分別是定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)上球副中點(diǎn)。

圖1 6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖

1.2 正向位置多項(xiàng)式方程求解

多項(xiàng)式連續(xù)法需一個(gè)服從合理的低-多齊次Bezout數(shù)的變量分布，該數(shù)是方程式組所有解的個(gè)數(shù)。通過(guò)選擇動(dòng)平臺(tái)上點(diǎn)e1作為動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)O'來(lái)簡(jiǎn)化方程組（7）不失一般性。

每組變量在9個(gè)方程中的次數(shù)見(jiàn)表1。

表1 每組變量中方程的次數(shù)表

該特定的變量組和Bezout數(shù)為960是通過(guò)反復(fù)的試驗(yàn)得到的，詳細(xì)解釋見(jiàn)2.3節(jié)。多項(xiàng)式連續(xù)法得益于構(gòu)造出具有相同次數(shù)的多項(xiàng)式方程組，如式（9）意味著在變量組中，初始系統(tǒng)多項(xiàng)式的次數(shù)與表1的相同。

2 基于代數(shù)拓?fù)涞亩囗?xiàng)式連續(xù)算法

多項(xiàng)式連續(xù)的目的是在未提供初始值的情況下找到多項(xiàng)式方程組的所有解，而確定多項(xiàng)式方程組解的個(gè)數(shù)是找到所有解的前提。一般的代數(shù)拓?fù)涠囗?xiàng)式連續(xù)法（也可稱數(shù)值連續(xù)法）拓?fù)渥儞Q（映射的連續(xù)變換）的基礎(chǔ)上由一個(gè)已知解的初始系統(tǒng)，一個(gè)將初始系統(tǒng)轉(zhuǎn)變到目標(biāo)系統(tǒng)的計(jì)劃表和一種追蹤解的路徑的方法所組成。而2.1～2.3節(jié)將描述如何開(kāi)展這些工作以致我們找到目標(biāo)系統(tǒng)的幾何孤立解并解釋任意正維解集的Bezout數(shù)。

2.1 初始系統(tǒng)

多齊次Bezout數(shù)的重要性是因它在多項(xiàng)式連續(xù)過(guò)程中須緊隨的路徑數(shù)，因此，是計(jì)算工作的一種測(cè)量方法。初始系統(tǒng)基本方法的三個(gè)條件是：它的所有解需已知、每個(gè)解需是非奇異和系統(tǒng)與目標(biāo)系統(tǒng)需有相同的多元齊次結(jié)構(gòu)。

當(dāng)式（13）中的每個(gè)方程為0時(shí)，每個(gè)方程至少有一個(gè)數(shù)被消去。因此，在式（14）中方程為0時(shí)，p1，m1，m3，m5須為+1或-1。所以，有16組（p1，m1，m3，m5）使式（14）中的方程消去。式（13）的第二至第六個(gè)方程中，因式分解后的第一項(xiàng)中，p2和p3是線性相關(guān)。消去這些方程的第一項(xiàng)，須有特定的（p2，p3）?？傻闷溆?0組不同的（p2，p3）。剩余的三項(xiàng)中，m2有3個(gè)不同取值可使第二項(xiàng)消除。同理，m4有2個(gè)不同取值，而m6只有一個(gè)取值，這樣就有60個(gè)不同解。從而，系統(tǒng)共有960個(gè)不同的零解。

2.2 代數(shù)拓?fù)浞?/p>

同倫（代數(shù)拓?fù)涞幕靖拍睿┗蜃冃蜗禂?shù)解是從初始系統(tǒng)轉(zhuǎn)換f（x0）到目標(biāo)系統(tǒng)f（x）的形式［7］，可構(gòu)造一個(gè)同倫函數(shù)H（x，t）為：

式中，t是嵌入變量；λi是非零輔助參數(shù)，這里為任意非零復(fù)數(shù)。為了避免數(shù)值上的困難，常取-19+12i，1-5i，14-2i，47-2i，7-11i，27+12i，-19+1i，17+ 7i，3+23i。H（x，t）=0在t的連續(xù)取值下有連續(xù)解x（t），表示一條兩端分別為x0=x（0）和x（1）的空間曲線。當(dāng)H=0和f（x）=0時(shí)，僅有非奇異解。此時(shí)，H-1（0）在 t∈ （0，1）由光滑的單調(diào)增長(zhǎng)路徑和f（x）=0的每個(gè)解與f（xi）=0的解相關(guān)聯(lián)的路徑所組成，該路徑僅在嵌入變量t→1時(shí)趨于無(wú)窮遠(yuǎn)。

為了易于追蹤路線趨于無(wú)窮大，引入4個(gè)齊次變量μ1、μ2、μ3、μ4，賦值如下：

將這些數(shù)代入到方程組（9）中，消去方程的分母。通過(guò)引入每組一個(gè)額外非齊次方程組的形式來(lái)消除這些方程的μ1、μ2、μ3、μ4。

在式（17）中，c11，…，c43是隨機(jī)復(fù)數(shù)。方程組（17）通常依據(jù)剩下的變量求出μ1、μ2、μ3和μ4。這些表達(dá)式常用以消除先前推導(dǎo)出的方程組的齊次系統(tǒng)中的μ1、μ2、μ3和μ4。系數(shù)c11，…，c43的取值常為：

此時(shí)，當(dāng)H=0在t=h（一般h取0.5）并用傳統(tǒng)的迭代法如牛頓迭代法可找到f（x）=0的每個(gè)解。然后，將這些解作為初始值，再用傳統(tǒng)的迭代法得出H=0在t=0時(shí)的解，該解也同為f（x）的解。這樣便可求得相應(yīng)的p1，p2，p3，mi，i=1，2，…，6的值。

2.3 路徑追蹤

路徑追蹤是嵌入變量 t∈ ［0，1］中，追蹤H（ x，t）=0的解的過(guò)程，這些解構(gòu)成了S條連續(xù)的路徑。對(duì)于m階齊次系統(tǒng)，H（ x，t）在任意給出的t值中是個(gè)由n+m個(gè)未知數(shù)的n個(gè)方程組成的系統(tǒng)。我們?yōu)槊總€(gè)齊次組引入一個(gè)非齊次線性方程［8］：

3 實(shí)例分析

對(duì)于6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，基于多項(xiàng)式連續(xù)拓?fù)浞ㄇ蟛⒙?lián)機(jī)構(gòu)的正向運(yùn)動(dòng)解，即給定的動(dòng)平臺(tái)尺寸和驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)度di等參數(shù)，求p1、p2、p3、m1、m2、m3、m4、m5和m6的值（求出的值均保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）。在復(fù)域中已知各球鉸中心在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)和驅(qū)動(dòng)桿di的長(zhǎng)度：

運(yùn)用多項(xiàng)式連續(xù)拓?fù)浞ㄇ笃湔蜻\(yùn)動(dòng)解，步驟詳見(jiàn)1.1～1.3節(jié)。求得6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)中一個(gè)以復(fù)域解（因并聯(lián)機(jī)構(gòu)正向運(yùn)動(dòng)解不是唯一解，該解不唯一）為：

即求得6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正向運(yùn)動(dòng)解。

4 結(jié)論

本文利用一種新式解法，結(jié)合多項(xiàng)式連續(xù)法和代數(shù)拓?fù)浞▽?duì)Steward平臺(tái)的正向運(yùn)動(dòng)解作了分析計(jì)算，并舉實(shí)例加以說(shuō)明。應(yīng)用多項(xiàng)式連續(xù)法的好處在于可通過(guò)代數(shù)拓?fù)涞姆椒ǐ@得單變量輸入-輸出多項(xiàng)式產(chǎn)生高次的中間多項(xiàng)式。類似于Tsai和Morgan的數(shù)值實(shí)驗(yàn)創(chuàng)造出Lee和Liang的代數(shù)操作目標(biāo)［9］。多項(xiàng)式連續(xù)法彌補(bǔ)了數(shù)值方法不能求得連續(xù)點(diǎn)的解和解析法只適用于簡(jiǎn)單計(jì)算區(qū)域問(wèn)題的缺陷。本文提出的多項(xiàng)式連續(xù)拓?fù)浞ǖ幕舅枷?，為解決復(fù)雜環(huán)境及高階非線性問(wèn)題的超越攝動(dòng)方法等提供理論基礎(chǔ)。同時(shí)，該方法對(duì)許多類型的非線性常、偏微分方程等一些典型非線性問(wèn)題體現(xiàn)出了有效性和靈活性。在科學(xué)和工程中的運(yùn)用具有借鑒意義。

［1］黃真，趙永生，趙鐵石.高等空間機(jī)構(gòu)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［2］黃真，孔令富，方躍法.并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)理論及控制［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1997.

［3］Saeed B Niku.Introduction to Robotics Analysis［M］.Systems，Applications，Person Education，Inc.Publishing as Prentice Hall，and Publishing House of Electromics Industry，Beijing，2004.

［4］Lee SH，Song JB.Position control of a Stewart platform using inverse dynamics control with approximate dynamics［J］.Mechatronics，2002，13（6）：605-619.

［5］Wampler C，Morgan A，Sommese A.NumericalContinuation-Methods for Solving Polynomial Systems Arising in Kinematics［J］.ASME JOURNALOF MECHANICAL DESIGN，1990，112（3）：59-68.

［6］鈕群.解非線性的最小二乘法擬合曲線的數(shù)值延拓法［J］.河海大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，31（5）：597-600.

［6］Morgan A P，Sommese A J.Computing All Solutions to Polynomial Systems Using Homotopy Continuation［J］.Math. Compul，1987，24（4）：115-138.

［7］Hunt K H.Kinematic Geometry ofMechanisms［M］.Oxford：Claredon Press，1978.

［8］黃真，趙永生，趙鐵石.高等空間機(jī)構(gòu)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［9］Lee H，Liang C.Displacement Analysis of the General Spatial 7-Link 7RMechanism［J］.Mechanism and Machine Theory，1988，23（3）：219-226.

［10］黃真，曲義遠(yuǎn).空間并聯(lián)多環(huán)機(jī)構(gòu)的特殊位形分析［C］.廬山：全國(guó)第五屆機(jī)構(gòu)學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議，1987.

［11］曹惟慶.連桿機(jī)構(gòu)的分析與綜合［M］.2版.北京：科學(xué)出版社，2002.

［12］Ma O，Angeles J.Architecture Singularity of Platform Manipulators.IEEE Int［C］.USA，Sacramento：Conf on Robotics and Automation，1991.

［13］Lee Jae Jong，Choi Kee Bong，Kim Gee Hong.Design and analysis of the single-step nanoim printing lithography equipment for sub-100 nm linewidth［J］.Current App lied Physics，2006（6）：1007-1011.

［14］Lee Jae Jong，Choi Kee Bong，Kim Gee Hong，et al.The UV-nanoim print lithography withmulti-head nanoim printing unit for sub-50nm half patterns［C］.Korea：SICEICASE International Joint Conference，2006.

［15］劉宏偉.基于螺旋理論的少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析［J］.制造業(yè)自動(dòng)化，2009，31（7）：101-103.

（編輯 趙蓉）

Forward Position Analysis of 6-SPS Parallel M anipulator Via Polynom ial Continuous M ethod

SONG Ma-jun1，WANG Xian-ming2，ZHU Da-chang1
（1.School of Mechanical&Electrical Engineering，Jiangxi University of Science and Technology，Ganzhou 341000，China；2.School of Mechanical&Electrical Engineering，Nanchang University，Nanchang 330031，China）

6-DOF parallelmanipulators has a wide range of application due to its simple structure、easilymotion andmature controlalgorithm，A representative sample belongs to Stewartplatform.Analyzed the forward kinematics analysis of 6-SPS parallelmechanism which constructing the non-linear polynomial equations in this paper，combined w ith polynom ial continuousmethod and algebraic topology method，proposed polynom ial continuationmethod.Compared w ith the General numerical continuationmethod，thismethod can apply special properties of polynom ial equations under w ithouting initial parameters，achieved the forward kinematics position solutions of each closed branched-chain.Meanwhile，eliminated the numerical problems such as divergence and bifurcation，which had regarded as a Effective approach in a given nonlinear problem.It makes important sense on the nonlinear problem under some complex surroundings in scientific and engineering applications.

6-SPS parallelmechanism；polynom ial continuous and algebraic topology method；forward kinematic position problem

TH166；TG659

A

1001-2265（2015）08-0015-04 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.08.004

2014-11-30；

2014-12-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51165009，51105077）；中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2013M541874）；江西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（GJJ14422）

宋馬軍（1990-），男，浙江紹興人，江西理工大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)槿犴槻⒙?lián)機(jī)構(gòu)學(xué)，（E-mail）smj1990dwayne@gmail.com。