基于Hertz接觸的滾珠絲杠副結(jié)合部剛度特性分析*

姬坤海，殷國富，王萬金

（四川大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院，成都610065）

基于Hertz接觸的滾珠絲杠副結(jié)合部剛度特性分析*

姬坤海，殷國富，王萬金

（四川大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院，成都610065）

滾珠絲杠副傳動時，螺母滾道和絲杠滾道與滾珠的接觸方式是一種典型的非線性接觸?；趶椥粤W(xué)中Hertz接觸理論，分析計算雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的軸向接觸剛度。以某型號預(yù)緊雙螺母滾珠絲杠副為例，建立其所受載荷與軸向接觸變形的函數(shù)映射關(guān)系，推導(dǎo)其結(jié)合部接觸剛度計算方法。針對其空載與承載兩種不同狀態(tài)，計算其結(jié)合部軸向接觸剛度，并著重討論了載荷對接觸剛度的影響規(guī)律。基于有限單元法，對接觸剛度計算結(jié)果進行數(shù)值驗證，結(jié)果表明所建立的結(jié)合部接觸理論模型能快速、準(zhǔn)確的計算雙螺母滾珠絲杠副的接觸剛度，具有一定的理論價值和工程意義。

非線性接觸；赫茲接觸理論；有限單元法

0 引言

雙螺母滾珠絲杠副采用預(yù)緊結(jié)構(gòu)，減小了滾珠絲杠副的軸向接觸間隙，從而使其軸向接觸剛度和定位精度得到了提升，在高檔數(shù)控機床進給系統(tǒng)［1-3］中得到了廣泛應(yīng)用。滾珠在絲杠滾道與螺母滾道之間的點接觸滾動是一種典型非線性接觸，這種接觸的特性對滾珠絲杠副的動態(tài)穩(wěn)定性和振動幅度有著重要的影響［4］。因此，研究滾珠絲杠副的接觸特性以及借助Hertz接觸理論建立軸向接觸剛度理論模型，可為提高滾珠絲杠副的傳動效率和工作性能提供理論依據(jù)。

近些年來很多學(xué)者運用赫茲接觸理論對滾珠絲杠副的動力學(xué)特性進行了研究，如王丹等［5］從滾珠絲杠副的結(jié)構(gòu)參數(shù)入手，基于Hertz接觸理論分析了接觸角、螺旋升角與接觸變形、接觸剛度之間的關(guān)系。Wei等［6］建立了滾珠絲杠副的動力學(xué)模型，分析了滾動體在運動時的傳動效率和滑滾比。李凌豐等［7］通過現(xiàn)有的單螺母滾珠絲杠副彈性變形理論，建立了改進后的軸向變形公式。本文在已有的研究基礎(chǔ)之上，基于Hertz接觸理論分析預(yù)緊墊片的作用，進而來構(gòu)造滾珠絲杠副的軸向接觸變形理論模型和軸向接觸剛度理論模型。建立雙螺母滾珠絲杠副的有限元模型，對其進行非線性接觸分析，然后觀察軸向接觸變形量隨工作載荷的變化曲線的誤差值來檢驗理論模型的正確性，也為分析計算其軸向接觸剛度提供了一種普遍的計算方法。

1 力學(xué)特性分析

由于雙螺母滾珠絲杠副具有墊片預(yù)緊結(jié)構(gòu)，從而減小了螺母副的軸向接觸間隙。圖1力學(xué)模型圖。墊片使螺母A和B、滾珠、絲杠緊密接觸，且接觸角方向恰好相反。

圖1 力學(xué)模型圖

螺母A、B與絲杠滾道面的法向壓力分別為PA、PB，墊片的預(yù)緊力Fp，法向預(yù)緊力Pp。滾珠數(shù)目z，螺旋升角λ，接觸角為β，則有：

無載荷時，即F=0時，PA=PB=PP。

承受工作載荷，即F≠0時，如圖1所示，在工作載荷F作用下，工作螺母A的實際受力為FA，相對于預(yù)緊力的增量為F1；螺母B的實際受力為FB，相對于預(yù)緊力減少量為F2。于是有：

由雙螺母滾珠絲杠的受力平衡條件可得：

計算螺母中所包含的工作滾珠個數(shù)，計算公式是：

滾珠絲杠副的螺旋角λ［8］可以表為

式（4）、（5）中：i是螺母中滾珠的圈數(shù)乘以列數(shù)；db是滾珠直徑；Ph是滾珠絲杠的導(dǎo)程；d0是絲杠副的公稱直徑。

2 軸向接觸變形理論模型

在準(zhǔn)確地構(gòu)造其軸向接觸變形理論模型過程中，需要以以下幾點假設(shè)為前提：①假定軸向工作載荷均勻地分配給每一個滾珠上；②相互接觸物體間只出現(xiàn)彈性變形，服從Hooke定律；③不計滾道表面與滾珠產(chǎn)生法向接觸時導(dǎo)致接觸角度的改變［9］，即假定接觸角恒為45°；④忽略接觸體之間的摩擦力；⑤接觸面的尺寸要遠(yuǎn)大于接觸物體表面的曲率半徑。

考慮以上條件，可以認(rèn)為滾道面與滾珠的彈性接觸形變是由絲杠副的軸向變形量來決定的，從而應(yīng)用赫茲彈性接觸理論進行計算。

2.1 計算兩彈性體間的相對位移量

如圖2所示，通過法向力P作用，滾珠和絲杠滾道面的接觸變形量［11］為δsp，滾珠和螺母滾道面接觸點接觸變形量為δnp，因為法向彈性接觸變形絲杠滾道面與螺母滾道面間所產(chǎn)生的法向彈性位移量δn為：

圖2 單個滾珠受力變形圖

圖3 接觸壓力空間位置圖

由于絲杠滾道面與螺母滾道面之間在法線方向的相互作用，致使螺母相對于絲杠在其軸向產(chǎn)生軸向彈性變形量δa，如圖3所示。

2.2 滾珠絲杠副軸向受力變形分析

2.2.1 無載荷受力變形分析

螺母A與螺母B中的滾珠受到法向力的作用而產(chǎn)生軸向接觸變形，根據(jù)力的相互作用原理，兩螺母受到的軸向預(yù)緊力大小相同、方向相反。因此雙螺母滾珠絲杠副在無載荷作用下產(chǎn)生的軸向接觸變形量為δp。

由式（17）可得：

2.2.2 承受載受力變形分析

在載荷F的作用下螺母A與螺母B產(chǎn)生的彈性接觸變形量分別為δa、δb。δA、δB為在載荷F和預(yù)緊力FP作用下螺母A和螺母B產(chǎn)生的軸向接觸變形量。在雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副中，主要考慮由工作載荷引起的軸向接觸變形量，也就是δa、δb。

3 軸向接觸剛度

按照變形相等原理，壓縮變形量之和與彈性恢復(fù)變形量之和相等［12］。假設(shè)墊片為剛性體，在工作載荷與預(yù)緊力作用下不產(chǎn)生彈性形變。則有：

又有式（17）得，兩彈性體的接觸變形量與其法向壓力2/3次方成正比［13］。聯(lián)合式（19）可得：

已知軸向工作載荷F和預(yù)緊力Fp時，可由式（3）和式（20）聯(lián)立求得FA、FB的值。

求得雙螺母滾珠絲杠副中單個滾珠的軸向力后，由赫茲接觸理論式（17）與式（18）求得工作螺母A以絲杠為參照所產(chǎn)生的軸向接觸變形量，即軸向載荷F作用下的軸向變形量δ。

從而求得螺母組件的軸向接觸剛度，即

由式（17）、（21）聯(lián)立得：

4 軸向接觸剛度計算結(jié)果分析

文中選取雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副型號為THK公司BNFN5010-5，使用本文推導(dǎo)的滾珠絲杠副軸向接觸變形和軸向接觸剛度理論模型進行分析，其相關(guān)幾何與物理參數(shù)如表1所示。

表1 BNFN5010-5滾珠絲杠設(shè)計參數(shù)

4.1 載荷與軸向接觸變形的關(guān)系

依據(jù)已經(jīng)構(gòu)造的軸向接觸變形理論模型式（17），如圖4所示，可得到雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的軸向接觸變形量隨工作載荷變化的變化曲線。

圖4 軸向接觸變形量與軸向工作載荷的關(guān)系

分析圖4可知，雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的軸向接觸變形量隨軸向工作載荷的增大而近似呈線性增大。由此也說明文中通過赫茲接觸理論得到的雙螺母滾珠絲杠副變形曲線接近線性的變化與文獻(xiàn)［11］的結(jié)論吻合。

4.2 軸向接觸剛度與載荷的關(guān)系

根據(jù)式（21）建立的軸向接觸剛度K與載荷的關(guān)系如圖5所示。

分析圖5可知：軸向接觸剛度K隨工作載荷的增大而減小，在載荷較小時比較穩(wěn)定。同時，雙螺母滾珠絲杠副軸向接觸剛度在工作載荷為500～8000N時，其總體變化相比單螺母滾珠絲杠副的軸向接觸剛度要小，穩(wěn)定性好［14］。這也是雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副廣泛應(yīng)用于高速、高精密數(shù)控機床及各種自動化設(shè)備的主要原因之一。

圖5 軸向接觸剛度與軸向工作載荷的關(guān)系

5 有限元分析

使用有限元軟件對雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副軸向變形進行有限元分析。滾珠與螺母和絲杠之間的接觸是一種高度非線性關(guān)系［15］。通過有限元分析方法，借助有限元分析軟件來仿真非線性接觸問題是目前常用的一種分析求解方法。把已經(jīng)簡化處理的有限元模型導(dǎo)入有限元分析軟件，基于軟件自身所帶的有限元方法分析計算雙螺母滾珠絲杠副在負(fù)載作用下的軸向接觸變形。

5.1 簡化有限元模型

BNFN5010-5型號雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的材料是軸承鋼，查閱手冊可知，密度ρ= 7.84mg/mm3，泊松比μ=0.3，彈性模量E= 2.01e11Pa，圖6為經(jīng)過簡化處理的雙螺母滾珠絲杠副有限元模型的二維［16］模型，這樣的簡化處理可以提高有限元分析軟件的計算速度，使用PLANRE182為有限元單元。

圖6 雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副有限元模型

5.2 有限元分析前處理

非線性接觸分析中需要合理的設(shè)置接觸對，否則會影響到接觸分析的結(jié)果。根據(jù)雙螺母滾珠絲杠接觸狀態(tài)，分別在滾珠與螺母、絲杠之間建立二維面面接觸單元。由圖6可知，共有四處接觸點需要建立四組接觸對。

雙螺母滾珠絲杠副在無載荷作用下只受到預(yù)緊力作用時，如圖6所示，在有限元模型中對邊1施加全約束即：工作螺母與預(yù)緊螺母在X、Y方向上約束；邊4施加Y方向約束即：絲杠軸只能進行軸向（X方向）：對邊2施加2890N預(yù)緊力即：預(yù)緊螺母施加的預(yù)緊力為2890N。然后雙螺母滾珠絲杠副在無載荷作用下進行分析。在雙螺母滾珠絲杠副受到工作載荷作用時，約束狀態(tài)與無載荷作用時相同，需要在邊3即：絲杠上加上向右的軸向力。然后對有限元模型進行加載，之后檢查模型并設(shè)置相關(guān)參數(shù)進行求解。

5.3 結(jié)果分析

當(dāng)雙螺母滾珠絲杠副受到軸向工作載荷（1000N）與預(yù)緊力時，通過有限元分析軟件得到的應(yīng)力分布圖，如圖7所示。圖中三角形形狀為接觸點的應(yīng)力，且應(yīng)力最大值在滾珠與滾道的接觸點附近。圖8為經(jīng)過有限元分析得到的軸向位移圖。

圖7 滾珠絲杠副接觸狀態(tài)應(yīng)力分布圖

圖8 雙螺母滾珠絲杠副軸向變形云圖

在對其進行有限元分析時，為了簡化模型將雙螺母滾珠絲杠副的螺旋角假設(shè)為零，即λ=0。若考慮到螺旋升角的因素，根據(jù)式（12）的關(guān)系式，需要將得到的有限元結(jié)果與螺旋升角的余弦值相乘。

表2為分別對雙螺母滾珠絲杠副的軸向接觸變形理論模型和軸向接觸有限元模型施加500～8000N范圍內(nèi)的16個工作載荷，得到兩種模型下的軸向變形量。

分析圖9可知，兩種分析方法的誤差較??；進而說明了文中構(gòu)造的軸向接觸變形理論模型與軸向接觸剛度理論模型的合理性。因此，雙螺母滾珠絲杠副軸向接觸變形理論模型為工程中快速計算雙螺母滾珠絲杠副的軸向接觸剛度提供了一種方法。

6 結(jié)束語

（1）運用彈性力學(xué)中的赫茲接觸理論知識，依據(jù)雙螺母滾珠絲杠副的結(jié)構(gòu)特點，分析計算了其軸向接觸變形理論模型，并進一步得出了其的軸向接觸剛度理論模型。

（2）以BNFN5010-5型號雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副為例，分析計算了滾珠與絲杠、螺母結(jié)合部的彈性變形量和接觸剛度隨工作載荷的變化規(guī)律。

（3）對其有限元模型進行仿真分［參考文獻(xiàn)］

析，通過圖9雙螺母滾珠絲杠副軸向變形對比圖可知兩種分析方法的誤差較??；進而說明了文中構(gòu)造的雙螺母滾珠絲杠副軸向接觸剛度理論模型的合理性。研究的結(jié)果對于雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠副的設(shè)計和理論計算都有很好的參考價值。

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（編輯 趙蓉）

Study on Contact Stiffness Characteristics of Ball Screw by the Hertz Contact Theory

JIKun-hai，YIN Guo-fu，WANGWan-jin
（School of Manufacturing Science and Engineering，Sichuan University，Chengdu 610065，China）

The contactbetween ballsand nut races or screw races is a kind of typicalnon-linear contact.The axial stiffness of a double-nut ball screw was analysed and calculated by using the Hertz Contact Theory of elasticmechanics.A double-nut ball screw is selected as an example，the function of the axial contact deformation and the cutting load was built，and the contact stiffnessmodelwas developed.Under the situation w ith and w ithout the cutting load，the axial stiffness of joint partwas investigated，and the effect of cutting load was focused on.Finally，the finite elementmodelwas employed to verified the theoreticalmodel.The analytical results show that it can not only calculate the contact stiffness quickly and exactly，but also offer theoretical support and engineering meaning.

non-linear contact；Hertz contact theory；finite elementmethod

TH132.1；TG506

A

1001-2265（2015）08-0001-04 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.08.001

2014-07-22；

2014-12-19

國家科技重大專項課題“高檔數(shù)控機床與基礎(chǔ)制造裝備”（2013ZX04005-012）；四川省科技支撐計劃課題（2011CGZ0050）

姬坤海（1988-），男，河南溫縣人，四川大學(xué)碩士研究生，研究方向為機床典型結(jié)合面動力學(xué)，（E-mail）jikunhai@126.com。