計算思維在離散數學中的應用＊

馬艷芳，陳 亮

（1.淮北師范大學 計算機科學與技術學院，安徽 淮北235000；2.淮北師范大學 數學科學學院，安徽 淮北235000）

1 計算思維

2006年，卡內基梅隆大學計算機科學系主任周以真教授第一次提出了計算思維的概念［1］.這種嶄新的教育理念是近十年來最具有基礎性、長期性的重要思想［2］.周教授指出：“計算思維是運用計算機科學的基礎概念去求解問題、設計系統(tǒng)和理解人類的行為［1］.其本質是抽象（abstraction）和自動化（automation）.即按照計算機求解問題的基本方法去考慮問題的求解，以構建出相應的算法和基本程序.近年來，我國教育學者對培養(yǎng)學生的計算思維越來越重視，特別是針對計算機專業(yè)的人才培養(yǎng)，提出了新的人才培養(yǎng)方案及課程設置體系，以適應計算思維的培養(yǎng)模式.2010年，教育部發(fā)布了《高等學校計算機科學與技術專業(yè)人才專業(yè)能力構成與培養(yǎng)》，其中給出了計算思維的定義.定義中針對計算機專業(yè)人才的培養(yǎng)，將專業(yè)課程涉及的很多內容都歸結到計算思維能力范疇，如問題的符號表示、問題求解過程的推理、邏輯思維與抽象思維、形式化證明、類計算和模型計算等.同時很多教育學者強調在計算機專業(yè)的必修課和選修課程中都應加強“計算思維”的培養(yǎng).王亞東教授在報告《計算與計算思維》中對計算思維與計算專業(yè)課程之間的聯(lián)系進行了分析，并闡述了計算思維對計算機專業(yè)人才培養(yǎng)所產生的影響.針對計算思維培養(yǎng)問題，Hambrusch等介紹了普渡大學開設計算思維導論課程的經驗［3］.目前，很多高校的計算機專業(yè)為了加強低年級學生對計算機的認識，開設了計算機導論課程.在計算機導論課程中，主要分為以計算思維為基礎和以學科思想與方法為基礎的兩種教學模式.董榮勝對這兩種教學模式進行了分析比較［4］.近幾年來，一些高等院校已經將計算思維融入到一些課程的教學過程中.例如，在程序設計課程中應加強學生計算思維能力的培養(yǎng)［5］.在編譯原理課程、計算機組成原理、人工智能等計算機專業(yè)課程的教學過程中都注重培養(yǎng)學生的計算思維能力［6～7］.離散數學是計算機專業(yè)的必修課程之一，其中的很多內容都蘊含著計算思維的思想，因此常亮等提出在離散數學教學過程中應將計算思維與離散數學有機結合進行教學［8］.本文主要從實踐教學角度，對離散數學教學中存在的問題進行分析，改變傳統(tǒng)的教學方法，通過基礎性和綜合型實驗，將實踐教學融入教學進程中，培養(yǎng)學生的計算思維能力.

2 離散數學教學與計算思維

離散數學是數學科學的一個重要分支.該課程內容中，定義多、符號多、公式多、定理證明多、理論性強并且高度抽象.學生在學習過程中普遍認為該課程是一門難學的課程.主要原因有以下幾方面：

（1）離散數學主要包括四部分內容：數理邏輯篇、集合論篇、代數結構篇、圖論篇.這四部分內容彼此獨立，自成體系.學生在學習過程中很難發(fā)現他們之間的聯(lián)系，從而不明確學習該課程的目的.

（2）離散數學的一個重要特征是形式化和符號化.這種形式化模型中包含了大量的字母、符號、公式、圖形等.而在教學過程中，課程的課時較少，課堂上往往要講授很多定義、定理和證明，學生在短時間內無法理解這些抽象概念，只能死記硬背，認識不到這些抽象模型的實質含義.

（3）由于課程內容中的形式化模型較多、理論性強，學生在學習時往往將其作為一門數學課程學習，不清楚其與計算機科學之間的聯(lián)系，對這門課程在計算機專業(yè)中的地位和作用認識不夠.大部分內容沒有實驗環(huán)節(jié)，學生看不到這些形式模型的實際應用效果，因此不能體會該課程在計算機科學中的具體應用，缺乏相應的學習興趣.

（4）在實際教學過程中，大多數教師按照傳統(tǒng)的教學方法進行教學，首先介紹符號、定義、定理、證明等基礎理論，然后利用例題加深學生對基礎知識的理解，最后布置課后作業(yè)進行課外強化.然而這種教學方式對培養(yǎng)學生的計算思維能力存在很大弊端，其沒有結合計算機專業(yè)注重應用能力培養(yǎng)，從而學生在學習過程中不能很好地將理論知識和計算機的實際應用聯(lián)系起來.

計算思維為我們提供了一種嶄新的教學方法.盡管離散數學中的內容獨立性強，但從抽象角度分析，這些內容之間存在一定的聯(lián)系.同時這些內容的教學目的都是訓練學生的抽象思維能力，讓學生利用離散結構建立實際問題的抽象模型，并在此基礎上建立解決問題的算法.這正體現了計算思維中的抽象和自動化兩個核心內容，因此在離散數學課程中應加強計算思維能力的培養(yǎng).在教學過程中從計算思維的角度組織課程的教學內容.例如，在歐拉圖和哈密爾頓圖的講解過程中，我們可以按照下述步驟進行教學：

（1）介紹圖論的起源，引出著名的哥尼斯堡七橋問題.

（2）講解歐拉為什么將橋的寬度、距離等因素去掉.

（3）構建出該問題的抽象模型——歐拉圖.

（4）分析歐拉所建立的歐拉圖的判定規(guī)則，給出解決該問題的充分必要條件.

（5）列舉現實生活中的一些實例，讓學生體會如何判定給定的圖是歐拉圖.

（6）引導學生利用所學習的程序設計語言編寫程序實現：輸入一個圖，輸出該圖是否是歐拉圖.

在這個分析問題的過程中體現了進行問題求解時采用的一般方法，同時也包含了計算思維的抽象和自動實現的核心思想.我們可以使用同樣的方法來講解哈密爾頓圖及其判定條件.最后，對于這兩類特殊圖，引導學生從問題的起源、抽象模型及判定方法等方面進行比較和總結.

3 離散數學的內容體系

離散數學的教學內容中每一部分都各成體系，學生在學習過程中很難發(fā)現各個部分之間的聯(lián)系，進而學生不清楚學習該課程的目的.雖然離散數學包含的內容多，但其各個知識點都蘊含了這個計算思維中的核心思想.我們可以將離散數學各個部分中的基本定義、性質和定理抽象出來，觀察其各個部分之間的內在聯(lián)系和區(qū)別.圖1給出了離散數學整個教學內容的知識網絡，體現出數理邏輯、集合論、代數系統(tǒng)和圖論四個部分之間的內在聯(lián)系.實際上，集合論、數理邏輯和圖論從抽象角度都可以看成是一種具體的代數系統(tǒng).基于這個思想，在每一章內容的課程引入和教學內容過程中，都要將該知識網絡呈現給學生，使得學生時刻牢記其中的聯(lián)系，有利于學生更好地體會各個內容之間的聯(lián)系，從而能夠對教學內容中的由字母、符號、公式、圖形等組成的形式化概念有更深的體會，有利用培養(yǎng)學生對問題的抽象思維能力，進一步提高計算思維能力.

4 基于實踐教學的計算思維培養(yǎng)

自動實現是計算思維中另一個關鍵內容，即將復雜問題轉化為通過逐步“計算”求解，從而找到解決問題的算法，利用計算機實現.而在傳統(tǒng)的離散數學教學中很少設置實踐課程，學生對理論知識的理解只停留在抽象階段，很難將理論知識與實際應用聯(lián)系起來，使學生在學習過程中很難體會到該課程與計算機科學之間的聯(lián)系，特別是與實踐應用的聯(lián)系.為了增加學生的實際應用能力，必須改變傳統(tǒng)的教學模式.在理論講授之后，適當地增加實踐教學內容，有利于學生對理論知識的掌握和認識.在實踐教學過程中可以基于任務驅動的教學模式，以問題為載體，培養(yǎng)學生發(fā)現問題、分析問題和解決問題的能力.根據理論課程的教學內容，將知識點融入到實踐教學中設計不同的實驗任務，然后將這些實驗任務分配給學生，讓學生自己進行資料的收集、問題的分析以及信息的處理，使得學生能夠實際感受和體驗到知識的產生過程.這一過程正是自動化思想的體現.在離散數學的教學過程中增加實驗教學環(huán)節(jié)，將理論知識與計算機程序設計課程有機集合，進而建立一個較完善的離散數學實踐課程體系，有利于培養(yǎng)學生的綜合應用能力，將所學知識綜合起來找到解決問題的方法.

任務驅動教學模式改變了傳統(tǒng)的教與學的結構，使學生成為學習的主體.將理論課程上的知識點融入到一個總體任務或多個子任務中.每節(jié)課上課時，教師首先要把這堂課的任務布置給學生.學生通過對任務進行分析、討論，明確任務所涉及的知識點，然后進行自主探索、相互學習，利用有利的學習資源，找到解決問題的方法，進而完成指定的任務.為了達到實踐教學的目的，在離散數學教學過程中，可以分別從基礎性實驗和綜合實驗兩個方面來開展實踐教學.為了加強學生對基本定義、基本性質及計算方法的掌握，可以將這些知識點融入到基礎性實驗中，使學生加深對抽象概念的理解和認識.在基礎性實驗教學過程中，可以采用學生個人獨立完成的形式，教師給每個學生分配一個任務，學生在教師的指導下，在規(guī)定的時間節(jié)點內提交任務，完成相關的實驗.對于綜合性實驗需要多人合作才能完成，可以采用學生小組合作的方式來進行，教師通過創(chuàng)設一定的情境將任務呈現給小組學生，小組學生根據自身的學習特點和對知識的掌握程度進行合理分工，小組學生通過團結合作，對任務進行分析、資料收集、實驗的實施等過程，最終在規(guī)定時間節(jié)點提交任務.在實踐教學過程中，要始終保持學生處于學習的主體地位，通過學生的自主學習和積極探究，提高學生對學習的興趣，增加自主學習的能力和知識的綜合運用能力.

基于離散數學中的理論教學內容，我們選取了離散數學中的一些知識點，設計了基礎性實驗，詳細內容見表2.對于教學中一些較難的知識點，與其他計算機專業(yè)的必修課程相結合，設計為綜合性實驗.例如旅行商問題、最小前綴碼問題等.綜合性實驗對學生的綜合素質要求較高，實驗結果需要經過一段時間的實驗和研究才能得到.但在實驗的過程中，學生通過任務的分析、資料的收集，以及親手進行實驗等實踐操作，對任務有了進一步的認識，同時通過對實驗結果的分析、評價，找到產出結果的原因，為得到正確結果提供一定的研究基礎，為以后的學習和研究打下了良好的基礎.

表1 離散數學基礎性實驗Table 1 Basic experiments of discrete mathematics

5 總 結

計算思維能力的培養(yǎng)已成為指導計算機專業(yè)及其相關學科教學改革和人才培養(yǎng)的重要任務.將離散數學教學與計算思維培養(yǎng)結合起來，有利于從計算思維的角度重新組織離散數學的課堂教學，能取得更好的教學效果.另一方面，通過實踐教學，能夠加強學生應用計算思維來解決問題的能力.

本文雖然對離散數學中計算思維能力的培養(yǎng)提出了一些解決方案，但還有很多細節(jié)需要進一步研究，如綜合實驗的設計、實驗結果的評價等.總的來說，在專業(yè)課程的教學中加強對計算思維能力的培養(yǎng)，能夠加強學生的綜合能力的培養(yǎng)，為計算機專業(yè)的人才培養(yǎng)提供很好的途徑.

［1］Wing J M.Computational thinking［J］.Communications of the ACM，2006，49（3）：33－35.

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［5］陳杰華.程序設計課程中強化計算思維訓練的實踐探索［J］.計算機教育，2009（20）：84－85.

［6］王挺，李夢君，周會平.對編譯原理課程教學中計算思維培養(yǎng)的探討［J］.計算機教育，2009（21）：11－13.

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［8］常亮，徐周波，古天龍，等.離散數學教學中的計算思維培養(yǎng)［J］.計算機教育，2011，7（14）：90－93.