浮動(dòng)平底推桿-盤(pán)形凸輪組合機(jī)構(gòu)的第Ⅰ類(lèi)機(jī)構(gòu)綜合問(wèn)題

?！∮隆×謽s富　李延平

集美大學(xué),廈門(mén),361021

浮動(dòng)平底推桿-盤(pán)形凸輪組合機(jī)構(gòu)的第Ⅰ類(lèi)機(jī)構(gòu)綜合問(wèn)題

常勇林榮富李延平

集美大學(xué),廈門(mén),361021

等距/網(wǎng)格/離散化;浮動(dòng)坐標(biāo)系;支撐函數(shù);瞬時(shí)區(qū)域套;經(jīng)濟(jì)搜索區(qū)域;脊點(diǎn)/脊線(xiàn)

0　引言

2010～2012年，筆者以德國(guó)進(jìn)口的高速印刷機(jī)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，提出浮動(dòng)滾子推桿-盤(pán)形凸輪組合機(jī)構(gòu)的Ⅰ、Ⅱ兩類(lèi)機(jī)構(gòu)綜合問(wèn)題,對(duì)后者通過(guò)引入“瞬時(shí)、整程區(qū)間(域)套”、“浮動(dòng)數(shù)軸、坐標(biāo)系”、“最經(jīng)濟(jì)搜索帶域”等一系列概念和“降維快速求解”的理論方法,取得了較系統(tǒng)的研究成果[1-3]?；剡^(guò)頭來(lái)看，關(guān)于Ⅰ類(lèi)機(jī)構(gòu)綜合問(wèn)題,早在1991年即通過(guò)引入“虛擬擺桿”的新概念得到較為圓滿(mǎn)的解決[4]。

隨著研究的自然引伸和拓展,筆者又產(chǎn)生了如下設(shè)想：若將前述機(jī)構(gòu)中的滾子以平底替代,對(duì)應(yīng)的Ⅰ、Ⅱ兩類(lèi)機(jī)構(gòu)綜合問(wèn)題的準(zhǔn)確描述該如何給出？如何解決？

平底較之滾子,在承載能力、潤(rùn)滑特性、工作壽命、傳動(dòng)和高速性能等諸多方面具有顯著優(yōu)越性，自然也可以應(yīng)用于高速印刷機(jī)機(jī)構(gòu)場(chǎng)合。不難推想，研究解決上述引伸拓展性課題，具有機(jī)構(gòu)學(xué)理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用兩方面的重要意義。

2013年,我們?cè)谶M(jìn)行Ⅱ類(lèi)綜合問(wèn)題準(zhǔn)確描述的基礎(chǔ)上,通過(guò)揭示出“瞬時(shí)一維直線(xiàn)區(qū)域”和“瞬時(shí)區(qū)間套”，提出求解平底方位線(xiàn)容許選擇區(qū)域、凸輪基圓半徑許用取值范圍的基本原理等,解決了浮動(dòng)平底推桿-盤(pán)形凸輪組合機(jī)構(gòu)的第Ⅱ類(lèi)機(jī)構(gòu)綜合問(wèn)題[5]。

國(guó)內(nèi)外已有許多學(xué)者以壓力角為評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)平面盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)進(jìn)行了尺寸綜合[6-10],對(duì)做平面運(yùn)動(dòng)的滾子從動(dòng)件凸輪機(jī)構(gòu)的綜合問(wèn)題也作了相應(yīng)研究[11-16]。

研究認(rèn)為,浮動(dòng)平底推桿-盤(pán)形凸輪組合機(jī)構(gòu)Ⅰ類(lèi)綜合問(wèn)題的準(zhǔn)確描述如下：已知從動(dòng)構(gòu)件系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)尺寸、輸出件推/回程始終位置和(角)位移規(guī)律,推/回程許用壓力角、平底位于連桿位置及與連桿夾角等條件，求解凸輪軸心許用區(qū)域、凸輪基圓半徑r0許用取值范圍等。

較之平底Ⅱ類(lèi)、滾子Ⅰ類(lèi)機(jī)構(gòu)綜合問(wèn)題,平底Ⅰ類(lèi)機(jī)構(gòu)綜合問(wèn)題困難、復(fù)雜得多。滾子情形時(shí),因任一瞬時(shí)滾子中心確定，故根據(jù)虛擬擺桿概念和類(lèi)速度圖原理,先求解任一瞬時(shí)凸輪軸心的位置區(qū)域,再通過(guò)求交得到整程凸輪軸心的位置區(qū)域,即可使綜合問(wèn)題得到解決。然而平底情形時(shí),雖然任一瞬時(shí)平底位置確定,但凸輪、平底接觸點(diǎn)即“瞬時(shí)滾子中心”不確定，導(dǎo)致任一瞬時(shí)的虛擬擺桿不確定，因此與類(lèi)速度圖原理無(wú)法順利實(shí)現(xiàn)“鏈接”,從而導(dǎo)致“整程”凸輪軸心的位置區(qū)域無(wú)法求解確定。

與滾子情形“虛擬擺桿+類(lèi)速度圖”的求解原理不同，本文提出一種新穎的“預(yù)設(shè)凸輪軸心O1+等距/網(wǎng)格/離散化+校核+取舍”的求解思路、原理和方法，較為圓滿(mǎn)地解決了浮動(dòng)平底推桿-盤(pán)形凸輪組合機(jī)構(gòu)的第Ⅰ類(lèi)機(jī)構(gòu)綜合問(wèn)題。

圍繞“預(yù)設(shè)凸輪軸心O1+等距/網(wǎng)格/離散化+校核+取舍”的求解路線(xiàn)，通過(guò)建立“固定、浮動(dòng)坐標(biāo)系”，特別是通過(guò)引入“支撐函數(shù)法”、“瞬時(shí)區(qū)域套理論”、“經(jīng)濟(jì)搜索區(qū)域”等新概念和“等距/網(wǎng)格/離散化”方法,循序漸進(jìn)地研究了滿(mǎn)足ρ>0、α≤[α]∩α≤[α]r及ρ>0∩α≤[α]∩α≤[α]r(ρ為凸輪輪廓曲率半徑,α為壓力角,“∩”表示同時(shí)滿(mǎn)足)等單純、組合條件下凸輪軸心O1的求解原理、解析表達(dá)、“位置區(qū)域Πρ、Π[α]和Πρ∩[α]”及其形態(tài)特征,提出了搜索求解的思路、原理和方法,最后提出平底工作段及其長(zhǎng)度、總長(zhǎng)度的求解確定方法。

1　高速印刷機(jī)機(jī)構(gòu)平底演化型第Ⅰ類(lèi)機(jī)構(gòu)綜合問(wèn)題的準(zhǔn)確表述

圖1所示為凸輪分別沿順時(shí)針、逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的浮動(dòng)平底推桿-盤(pán)形凸輪組合機(jī)構(gòu),由凸輪1、連桿2、搖塊3、搖桿4和機(jī)架0等組成,凸輪1、搖桿4分別為輸入件、輸出件。實(shí)質(zhì)上，該機(jī)構(gòu)可視為德國(guó)進(jìn)口高速印刷機(jī)機(jī)構(gòu)[1-3]的演化型式。

(a)凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

(b)凸輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)圖1　浮動(dòng)平底推桿-盤(pán)形凸輪組合機(jī)構(gòu)

圖1所示的兩機(jī)構(gòu)的差異是凸輪分別沿順時(shí)針、逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，其機(jī)構(gòu)綜合問(wèn)題準(zhǔn)確描述如下：

已知:機(jī)架和搖桿長(zhǎng)度分別為l0、l4，t-t垂直于OO2,OO2與t-t的交點(diǎn)為B，O2與t-t間的距離為b2，搖桿的初位角為θ40、行程角為βm，搖桿推/回程位移規(guī)律分別為β=β(θ1)、βr=βr(θ1)，推/回程運(yùn)動(dòng)角分別為Φ、Φr,推/回程許用壓力角分別為[α]、[α]r。

求解:滿(mǎn)足ρ>0、α≤[α]∩α≤[α]r條件的機(jī)構(gòu)解集，即凸輪軸心O1的容許選擇區(qū)域、凸輪基圓半徑r0的許用取值范圍等。

顯而易見(jiàn),上述機(jī)構(gòu)綜合問(wèn)題屬于第Ⅰ類(lèi)機(jī)構(gòu)綜合問(wèn)題。

2　預(yù)先準(zhǔn)備工作

2.1固定坐標(biāo)系建立和預(yù)備公式推導(dǎo)

建立固定直角坐標(biāo)系Oxy,如圖1所示。選取搖塊軸心與原點(diǎn)O重合，x軸正向與OA方向一致，θ2、θ4分別為任一瞬時(shí)連桿、搖桿位置角，即OO2、AO2與x軸正向夾角，θ1為凸輪轉(zhuǎn)角。

建立封閉矢量方程(略)，連桿2的時(shí)變長(zhǎng)度(s2、s20)、位置角(θ2、θ20)和類(lèi)角速度(dθ2/dθ1)分別為

(1)

(2)

θ2=arctan{l4sin(θ40-β)/[l0+l4cos(θ40-β)]}

(3)

θ20=arctan[l4sinθ40/(l0+l4cosθ40)]

(4)

(5)

(6)

式中,xO2、yO2為O2點(diǎn)的x、y坐標(biāo)。

據(jù)上可知,s2、θ2、dθ2/dθ1和xO2、yO2等皆為θ1的一元函數(shù)。

連桿2的絕對(duì)瞬心P20的坐標(biāo)為

(7)

連桿2的相對(duì)瞬心P21的坐標(biāo)為

(8)

式(8)中,“±”中的“+”表示適用于凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的推程前半?yún)^(qū)段和凸輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的推程后半?yún)^(qū)段,“-”則表示適用于凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的推程后半?yún)^(qū)段和凸輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的推程前半?yún)^(qū)段。

如圖2所示,P21、P20兩點(diǎn)和P21、O1(P10)兩點(diǎn)間距離分別為

(9)

lP21P20、lP21O1皆是θ1的一元函數(shù)。下面將lP21P20簡(jiǎn)記為l21。

如圖1所示,點(diǎn)B的坐標(biāo)為

(10)

點(diǎn)B0的坐標(biāo)為

(11)

s20、θ20可據(jù)式(2)和式(4)解得。

任一瞬時(shí),t-t的方程為

cotθ2x+y-cotθ2xB-yB=0

(12)

推程起始瞬時(shí),t0-t0的方程為

cotθ20x+y-cotθ20xB0-yB0=0

(13)

點(diǎn)(xk,yk)至t0-t0的距離為

d=|cotθ20xk+yk-cotθ20xB0-yB0|sinθ20

(14)

(a)推程

(b)回程圖2　推程和回程前/后半?yún)^(qū)段劃分和滿(mǎn)足α≤[α]∩α≤[α]r條件的凸輪軸心O1的求解原理(凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)情形)

2.2浮動(dòng)坐標(biāo)系O2u v的建立[2]

浮動(dòng)坐標(biāo)系指固連于連桿平面Σ2上,以O(shè)2為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系O2uv。機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,O2uv隨連桿平面Σ2做平面運(yùn)動(dòng)即“浮動(dòng)”，如圖1所示。2.3推程前半/后半?yún)^(qū)段劃分

如圖2所示,P20、P21分別為推程時(shí)連桿2的絕對(duì)瞬心和相對(duì)瞬心,P10為凸輪1的絕對(duì)瞬心。

推程前半?yún)^(qū)段，搖桿4位于O20A、O2bA之間,P20位于OO2上方;推程后半?yún)^(qū)段,搖桿4位于O2bA、O2mA之間,P20位于OO2下方。分界點(diǎn)O2b滿(mǎn)足O2bA⊥O2bO。此時(shí),P20位于垂直于OO2的無(wú)窮遠(yuǎn)處。有

cos(180°-θ40+β*)=l4/l0

(15)

β*=arccos(l4/l0)+θ40-180°

(16)

2.4支撐函數(shù)法的預(yù)備知識(shí)[17]

2.4.1凸集的支撐線(xiàn)、支撐函數(shù)和方向角

設(shè)N為有界閉凸集,邊界?N為閉凸曲線(xiàn),如圖3所示。任選坐標(biāo)系O1x′y′,自原點(diǎn)O1引射線(xiàn)O1R,且與x′軸正向夾角為φ(逆時(shí)針為正),作垂直于O1R且與N相交的任一直線(xiàn)G1(p1,φ),集合p1的上確界記為p,即

圖3　支撐線(xiàn)、支撐函數(shù)與方向角

定義1與p對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)G(p,φ)稱(chēng)作凸集N沿φ方向的支撐線(xiàn)。

定義2與p對(duì)應(yīng)的函數(shù)p(φ)稱(chēng)作凸集N沿φ方向的支撐函數(shù)。

定義3與p對(duì)應(yīng)的角度φ稱(chēng)作支撐線(xiàn)G(p,φ)的方向角。

2.4.2凸集的充要條件

在邊界曲線(xiàn)?N適當(dāng)定向下,凸集成立的充要條件是曲率半徑ρ恒為正,即

ρ=p(φ)+p″(φ)>00≤φ<2π

(17)

3　滿(mǎn)足ρ>0∩α≤[α]∩α≤[α]r條件的凸輪軸心O1的求解原理和解析表達(dá)

探索、建立滿(mǎn)足ρ>0∩α≤[α]∩α≤[α]r條件的凸輪軸心O1的求解原理和解析表達(dá),是本文的一個(gè)核心和難點(diǎn)所在。

3.1滿(mǎn)足ρ>0條件的凸輪軸心O1的求解原理和解析表達(dá)

本文擬采用支撐函數(shù)法[7-8]來(lái)解決凸輪輪廓全部外凸即運(yùn)動(dòng)保真性問(wèn)題。

3.1.1凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

3.1.1.1推程

如圖4所示,OBO2A、OB0O20A分別為機(jī)構(gòu)任一瞬時(shí)位置、推程起始瞬時(shí)位置,T、T0為對(duì)應(yīng)的凸輪、平底接觸點(diǎn)。

(a)凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

(b)凸輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)圖4　支撐函數(shù)、方向角的分析和提取

根據(jù)解析幾何,點(diǎn)O1到t-t的距離為

O1T′=|cotθ2xO1+yO1-cotθ2xB-yB|sinθ2

(18)

支撐函數(shù)為

p(φ)=p(θ1)=O1T′=|cotθ2xO1+

yO1-cotθ2xB-yB|sinθ2

(19)

方向角為

φ=θ1+λ(θ2-θ20)

(20)

式中，λ為轉(zhuǎn)向系數(shù)，凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)λ=1,逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)λ=-1。

將p(φ)對(duì)φ求一階導(dǎo)數(shù):

p′(φ)=dp(φ)/dφ=(dp(φ)/dθ1)/(dφ/dθ1)

(21)

令

D=dp(φ)/dθ1=d(O1T′)/dθ1=

(22)

其中

|A|′=d|A|/dθ1=AA′/|A|

(23)

A=cotθ2xO1+yO1-cotθ2xB-yB

(24)

A′=(xB-xO1)θ2′csc2θ2-yB′-xB′cotθ2

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

據(jù)式(21)～式(30),有

(31)

再將p(φ)對(duì)φ求二階導(dǎo)數(shù):

p″(φ)=d2p(φ)/dφ2=dp′(φ)/dφ=

(dp′(φ)/dθ1)/(dφ/dθ1)

(32)

(33)

|A|″=d|A|′/dθ1=AA″/|A|

(34)

csc2θ2-y″B-x″Bcotθ2

(35)

(36)

(37)

(38)

據(jù)上，有

p″(φ)=dp′(φ)/dφ=

(39)

根據(jù)文獻(xiàn)[18],對(duì)p(φ)和p″(φ)求和:

ρ=p(φ)+p″(φ)=|cotθ2xO1+yO1-

(40)

式(40)為預(yù)設(shè)凸輪軸心O1(xO1，yO1)時(shí)，凸輪輪廓曲率半徑的通用解析計(jì)算公式。

據(jù)凸輪輪廓全部外凸的條件ρ>0,得

|cotθ2xO1+yO1-cotθ2xB-yB|sinθ2+

(41)

式(41)為預(yù)設(shè)凸輪軸心O1(xO1，yO1)時(shí)，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)保真條件。

3.1.1.2回程

對(duì)于回程,式(18)～式(41)通用,不再贅述。

3.1.2凸輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

與3.1.1同理，從略。

3.2滿(mǎn)足α≤[α]∩α≤[α]r條件的凸輪軸心O1的求解原理和解析表達(dá)

3.2.1凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)(圖2)

3.2.1.1推程(圖2a)

將整個(gè)推程劃分為推程前半?yún)^(qū)段、后半?yún)^(qū)段[1-2]進(jìn)行分析。

如圖2a所示,任一瞬時(shí)位置,在連桿平面Σ2上,以P20P21為弦、朝O2v軸負(fù)向作優(yōu)弧{Cma}、劣弧{Cmi},使其滿(mǎn)足

∠P20CmajorP21=90°-[α]

(42)

∠P20CminorP21=90°+[α]

(43)

根據(jù)文獻(xiàn)[2],浮動(dòng)滾子推桿機(jī)構(gòu)在該瞬時(shí)滿(mǎn)足α≤[α]條件的滾子中心點(diǎn)的全集為“瞬時(shí)區(qū)域套”Γ(u,v),即由{Cma}、{Cmi}合作圍成的“盈月形”二維平面區(qū)域(圖2陰影部分)。

過(guò)P21引t-t的垂線(xiàn)P21G,得垂足G,G即為該瞬時(shí)凸輪、平底接觸點(diǎn)，同時(shí)可能得到與{Cmi}、{Cma}的交點(diǎn)E和F。分別選取P21G、P21P20為∠GP21P20的始邊、終邊，則有

∠GP21P20=∠x(chóng)P21P20-∠x(chóng)P21G

(44)

式中,∠x(chóng)P21G和∠x(chóng)P21P20分別為始邊P21G、終邊P21P20的傾斜角,即有向線(xiàn)段P21G、P21P20沿逆時(shí)針與x軸正向的夾角。

特別規(guī)定:∠GP21P20沿逆時(shí)針?lè)较蛄咳∮?jì)算,恒為正。理論上,∠GP21P20取值域?yàn)?/p>

∠GP21P20∈[0，360°)

(45)

根據(jù)對(duì)象機(jī)構(gòu)的特殊性,恒有

∠x(chóng)P21G=θ2<90°

(46)

即∠x(chóng)P21G恒為銳角。

設(shè)

ζ=arctan((yP20-yP21)/(xP20-xP21))

(47)

其取值域?yàn)棣啤?-90°，90°)。對(duì)應(yīng)地,∠x(chóng)P21P20的計(jì)算方法有如下3種情況：①xP20-xP21>0、yP20-yP21≥0時(shí),若ζ≥θ2,則∠x(chóng)P21P20=ζ；若ζ<θ2，則∠x(chóng)P21P20=360°+ζ;②xP20-xP21<0、yP20-yP21>0時(shí)和xP20-xP21<0、yP20-yP21<0時(shí),∠x(chóng)P21P20=180°+ζ;③xP20-xP21>0、yP20-yP21<0時(shí)∠x(chóng)P21P20=360°+ζ。

(1)推程前半?yún)^(qū)段(圖2a)。推程前半?yún)^(qū)段，P21f位于P20f、O1(P10)之間,如圖2a所示，此時(shí)垂足Gf與瞬時(shí)區(qū)域套Γf(u，v)的相對(duì)位置存在下述三種可能情況(圖5)：

①0°≤∠GfP21fP20f<90°-[α](圖5a),即Ef、Ff(Ef、Ff為Gf與瞬時(shí)區(qū)域套Γf(u,v)的兩交點(diǎn))皆存在。在ΔGfP21fP20f中，據(jù)正弦定理,有

P21fEf=f1(θ1)=

l21|cos([α]+η∠GfP21fP20f)|/cos[α]

(48)

P21fFf=f2(θ1)=

l21|cos([α]-η∠GfP21fP20f)|/cos[α]

(49)

式中,η為區(qū)段系數(shù),推程前半?yún)^(qū)段η=1,后半?yún)^(qū)段η=-1。

根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式[5],任一瞬時(shí)P21f到tf-tf的距離為

P21fGf=f3(θ1)=

|cotθ2xP21+yP21-cotθ2xB-yB|sinθ2

(50)

據(jù)式(48)～式(50)知,P21fEf、P21fFf和P21fGf即f1(θ1)、f2(θ1)和f3(θ1)皆為θ1的一元函數(shù)。

上述情況又分為兩種情況：

a.P21fEf≤P21fGf≤P21fFf即f1(θ1)≤f3(θ1)≤f2(θ1),此時(shí)Gf位于Γf(u,v)內(nèi)部,滿(mǎn)足α≤[α]條件。該情況下,若P21fEf

b.P21fGfP21fFf,即f3(θ1)f2(θ1)，此時(shí)Gf位于Γf(u，v)外部，不滿(mǎn)足

②90°-[α]≤∠GfP21fP20f≤90°+[α](圖5b)，即Ff存在、Ef不存在,此時(shí)式(50)通用。此情況又分為兩種情況：

a.P21fGf≤P21fFf即f3(θ1)≤f2(θ1)，此時(shí)Gf位于Γf(u,v)內(nèi)部,滿(mǎn)足α≤[α]條件。該種情況下，若P21fGf

b.P21fGf>P21fFf即f3(θ1)>f2(θ1),此時(shí)Gf位于Γf(u，v)外部，不滿(mǎn)足α≤[α]條件。

③90°+[α]<∠GfP21fP20f<360°(圖5c)，即Ef、Ff皆不存在，此時(shí)G位于Γ(u，v)外部，不滿(mǎn)足

(a)Ff存在,Ef存在

(b)Ff存在,Ef不存在

(c)Ff不存在,Ef不存在圖5　推程前半?yún)^(qū)段Gf與Γf(u,v)相對(duì)位置

α≤[α]條件。

(2)推程后半?yún)^(qū)段(圖2b)。推程后半?yún)^(qū)段,P21r位于P20r、O1(P10)延長(zhǎng)線(xiàn)上,如圖2b所示。此時(shí)Gr與Γr(u,v)的相對(duì)位置亦存在三種可能情況(圖6)：

(a)Fr存在,Er存在

(b)Fr存在,Er不存在

(c)Fr不存在,Er不存在圖6　推程后半?yún)^(qū)段Gf與Γf(u,v)相對(duì)位置

①270°+[α]<∠GrP21rP20r≤360°(圖6a)，此時(shí)Er、Fr(Er、Fr為Gr與瞬時(shí)區(qū)域套Γr(u，v)的兩交點(diǎn))皆存在，式(48)～式(50)通用,不過(guò),式(48)和式(49)中，η=-1。該情況又分為兩種情況：

a.P21rEr≤P21rGr≤P21rFr,此時(shí)Gr位于Γr(u,v)內(nèi)部或{Cmi}r、{Cma}r上,滿(mǎn)足f1(θ1)≤f3(θ1)≤f2(θ1)，該瞬時(shí)滿(mǎn)足α≤[α]條件。

b.P21rGrP21rFr,此時(shí)Gr位于Γr(u，v)外部，滿(mǎn)足f3(θ1)f2(θ1)，該瞬時(shí)不滿(mǎn)足α≤[α]條件。

②270°-[α]≤∠GrP21rP20r≤270°+[α](圖6b)，即Fr存在、Er不存在，式(50)通用。該情況又分為兩種情況：

a.P21rGr≤P21rFr，即Gr位于Γr(u,v)內(nèi)部或{Cma}r上，滿(mǎn)足f3(θ1)≤f2(θ1)，該瞬時(shí)滿(mǎn)足α≤[α]條件。

b.P21rGr>P21rFr,即Gr位于Γr(u,v)外部,滿(mǎn)足f3(θ1)>f2(θ1)，該瞬時(shí)不滿(mǎn)足α≤[α]條件。

③0°<∠GrP21rP20r<270°-[α](圖6c),即Er、Fr皆不存在,此時(shí)Gr位于Γr(u,v)外部,不滿(mǎn)足α≤[α]條件。

綜上所述,得到重要結(jié)論：推程任一瞬時(shí),若屬于①a情況或②a情況,則該瞬時(shí)滿(mǎn)足α≤[α]條件;反之,該瞬時(shí)不滿(mǎn)足α≤[α]條件。

推延、歸納之,得到重要結(jié)論：整個(gè)推程所有瞬時(shí),無(wú)論前半?yún)^(qū)段還是后半?yún)^(qū)段,若皆屬①a情況或②a情況,則為滿(mǎn)足α≤[α]條件的凸輪軸心O1;反之，為不滿(mǎn)足α≤[α]條件的凸輪軸心O1。上述“反之”表示“只要某一瞬時(shí)不屬于①a情況或②a情況”之意。

3.2.1.2回程

絕大多數(shù)情況下,因?yàn)閇α]r∈(70°,80°),回程時(shí)α≤[α]r條件通?？色@得自然滿(mǎn)足,故回程一般可免予考慮。

3.2.2凸輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)(圖4b)

與3.2.1節(jié)類(lèi)似，從略。

4　凸輪軸心O1的位置區(qū)域及其形態(tài)特征

如何在“漫無(wú)邊界”的機(jī)架平面Σ0上挖掘、揭示出滿(mǎn)足ρ>0∩α≤[α]∩α≤[α]r條件的凸輪軸心O1的位置區(qū)域,是本文的另外一個(gè)關(guān)鍵和難點(diǎn)所在。

4.1“經(jīng)濟(jì)搜索區(qū)域”的概念及其等距/網(wǎng)格/離散化

顯然,t0-t0將整個(gè)機(jī)架平面Σ0劃分為左半平面Σ0L和右半平面Σ0R。因凸輪推平底運(yùn)動(dòng),故凸輪軸心O1僅可能位于t0-t0為邊界的平面Σ0L上,不可能位于t0-t0為邊界的平面Σ0R上。

如圖7所示,絕對(duì)瞬心線(xiàn){P20}由{P20}up和{P20}un上下兩分支構(gòu)成，分別對(duì)應(yīng)推程前半?yún)^(qū)段和后半?yún)^(qū)段。

圖7　滿(mǎn)足ρ>0條件的凸輪軸心O1的位置區(qū)域

研究發(fā)現(xiàn),與推程始點(diǎn)、終點(diǎn)瞬時(shí)對(duì)應(yīng)的絕對(duì)瞬心P20S、P20E分別位于{P20}up、{P20}un的最低點(diǎn)、最高點(diǎn),即

(51)

根據(jù)上述分析,提出并認(rèn)定凸輪軸心O1必位于如下“經(jīng)濟(jì)搜索區(qū)域Ω”內(nèi):

(52)

式中,xt0為t0-t0上點(diǎn)的x坐標(biāo)；yP20S、yP20E分別為P20S和P20E的y坐標(biāo)。

式(52)的隱性涵義是：t0-t0為邊界的左半平面Σ0L的y=yP20S以下、y=yP20E以上兩子區(qū)域的所有點(diǎn)，皆屬3.2節(jié)的情況①b、②b或情況③。證明從略。

不言而喻,經(jīng)濟(jì)搜索區(qū)域Ω是有限區(qū)域,左半平面是無(wú)限區(qū)域，前者是后者的子區(qū)域。顯而易見(jiàn),經(jīng)濟(jì)搜索區(qū)域Ω呈現(xiàn)梯形的形態(tài)特征。

經(jīng)濟(jì)搜索區(qū)域Ω的提出,在確保O1位置區(qū)域完整、無(wú)缺失前提下，大大縮小了搜索范圍，顯著提高了求解效率。

現(xiàn)在，對(duì)經(jīng)濟(jì)搜索區(qū)域Ω進(jìn)行等距、網(wǎng)格、離散化處理，具體步驟如下：

(1)以y=0(橫軸)為基準(zhǔn)，分別朝上、朝下作等距、離散平行的直線(xiàn)族{yj},其方程為

y=yj=jΔyj=jmin,…,-1,0,1,…,jmax

(53)

且有

jmax=ent(yP20S/Δy)

(54)

jmin=ent(yP20S/Δy)

(55)

式中,Δy為相鄰兩直線(xiàn)y=yj、y=yj+1間的距離。

(2)以x=0(縱軸)為基準(zhǔn)，分別朝左、朝右作等距、離散平行直線(xiàn)族{xi},其方程為

x=xi=iΔxi=imin,…,-1,0,1,…,imax

(56)

且有

imax=ent(xt0/Δx)

(57)

imin=ent(-l0/Δx)

(58)

式中,Δx為相鄰兩直線(xiàn)x=xi、x=xi+1間距離。

(3)正交單元網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為

Δx=Δy=10-p(mm)

(59)

式中,p=1，2,…,根據(jù)精度要求確定。

通過(guò)等距、網(wǎng)格、離散化處理后，Ω由連續(xù)、無(wú)數(shù)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為離散、有限點(diǎn)的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)族{(xi，yj)}，如圖7所示。(xi,yj)即表示兩直線(xiàn)x=xi、y=yj相交得到的任一網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)。

4.2滿(mǎn)足ρ>0條件的凸輪軸心O1的位置區(qū)域及其形態(tài)特征

4.2.1凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

對(duì)于網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)族{(xi，yj)}，自y=yjmin到y(tǒng)=yjmax逐層、各層自x=ximax到x=ximin逐節(jié)點(diǎn)作遍歷性計(jì)算，校核推程、回程是否皆滿(mǎn)足運(yùn)動(dòng)保真條件，若滿(mǎn)足，則將點(diǎn){(xi，yj)}保存，否則舍棄。于是,可得到滿(mǎn)足ρ>0條件的凸輪軸心O1的位置區(qū)域Πρ即網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)集合{(xi,yj)}ρ>0。

大量案例計(jì)算表明:位置區(qū)域Πρ為有一條朝

左開(kāi)放邊界?Πρ的解區(qū)域，如圖7所示。

4.2.2凸輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

同理,從略。

4.3滿(mǎn)足α≤[α]∩α≤[α]r條件的凸輪軸心O1的位置區(qū)域及其形態(tài)特征

4.3.1凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

同4.2.1節(jié),自y=yjmin到y(tǒng)=yjmax逐層、各層自x=ximax到x=ximin逐節(jié)點(diǎn)作遍歷性計(jì)算,校核整個(gè)推程是否皆滿(mǎn)足運(yùn)動(dòng)保真條件,若皆滿(mǎn)足運(yùn)動(dòng)保真條件則保存{(xi,yj)}；否則舍棄之。于是,得到滿(mǎn)足α≤[α]∩α≤[α]r條件的凸輪軸心O1的位置區(qū)域Π[α]即網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)集合{(xi,yj)}α≤[α]。

根據(jù)大量案例的求解計(jì)算,得到如下重要結(jié)論：

(1)位置區(qū)域Π[α]的形態(tài)特性。Π[α]具有類(lèi)似等腰三角形的形態(tài)特征。上下兩腰HI、HJ和底邊IJ(在t0-t0上)構(gòu)成邊界?Π[α],如圖8所示。

圖8　滿(mǎn)足α≤[α]∩α≤[α]r條件的凸輪軸心O1的位置區(qū)域

若記頂點(diǎn)為H[α](x[α]a,y[α]a),則有x[α]a=min{xi}Π[α]，min{xi}Π[α]為Π[α]中所有網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)x坐標(biāo)的最小者。

對(duì)于兩腰HI、HJ上的點(diǎn)，有α=[α]；而對(duì)于底邊IJ上的點(diǎn),有α≠[α]。對(duì)于上腰HI,從H到I諸點(diǎn)，基圓半徑r0呈單調(diào)遞減變化，在I處取得最小值。對(duì)于下腰HJ，從H到J諸點(diǎn),基圓半徑r0亦呈單調(diào)遞減變化，在J處取得最小值。

根據(jù)圖8,有r0I>r0J,故滿(mǎn)足α=[α]條件時(shí)有r0J=min{r0[α]}，min{r0[α]}為滿(mǎn)足α=[α]條件的所有凸輪軸心O1的凸輪基圓半徑。

(2)Π[α]、?Π[α]的收縮聚斂特性。取不同[α]值,對(duì)應(yīng)得到Π[α]1、Π[α]2和Π[α]3，若[α]3≤[α]2≤[α]1,則Π[α]1?Π[α]2?Π[α]3,?Π[α]1??Π[α]2??Π[α]3,表明：隨[α]值減小，Π[α]、?Π[α]不斷收縮，[α]小者恒嵌套于大者內(nèi)部。

cotθ20x+y-cotθ20xB0-yB0+cscθ20kΔt=0

(60)

k=1,2,…,kmax

其中,Δt為相鄰兩直線(xiàn)tk-tk、tk+1-tk+1間距離,考慮到與前面Δx、Δy匹配,亦取Δt=10-p(mm)且有kmax=ent(yP20S/Δt)。

取直線(xiàn)tk-tk上任一點(diǎn)為凸輪軸心O1,則其具有相同的基圓半徑r0k,且有

r0k=lk=kΔtk=1,2,…,kmax

(61)

在直線(xiàn)族{tk-tk}(k=1,2,…,kmax)中任取一條直線(xiàn)tk-tk,分別與?Π[α]1、?Π[α]2截交各得兩個(gè)交點(diǎn)D[α]1up、D[α]1un和D[α]2up、D[α]2un,顯然[D[α]2un，D[α]2up]?[D[α]1un，D[α]1up]。

(62)

以[α]為變量進(jìn)行一維搜索,直至得到[α]k，若記與之對(duì)應(yīng)的Π[α]k的頂點(diǎn)為H[α]k(x[α]ka，y[α]ka),則據(jù)式(14),滿(mǎn)足

|cotθ20x[α]ka+y[α]ka-cotθ20xB0-yB0|sinθ20-kΔt=0

(63)

4.3.2凸輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

同理，從略。

4.4滿(mǎn)足ρ>0∩α≤[α]∩α≤[α]r條件的凸輪軸心O1的位置區(qū)域及其形態(tài)特征

4.4.1凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

4.4.1.1位置區(qū)域Πρ∩[α]的形態(tài)特征

基于4.2節(jié)和4.3節(jié)，得到交集

{(xi，yj)}ρ>0∩α≤[α]=

{(xi,yj)}ρ>0∩{(xi，yj)}α≤[α]

(64)

該交集即是滿(mǎn)足ρ>0∩α≤[α]∩α≤[α]r條件的位置區(qū)域Πρ∩[α]。

如圖9所示，位置區(qū)域Πρ∩[α]呈現(xiàn)組合、封閉的形態(tài)特征。

圖9　滿(mǎn)足ρ>0∩α≤[α]∩α≤[α]r條件的凸輪軸心O1的位置區(qū)域

具體說(shuō)來(lái),凸輪軸心O1的位置區(qū)域仍具有類(lèi)三角形的區(qū)域形態(tài)特征。三個(gè)頂點(diǎn)分別是H[α]、I∩和J∩。I∩和J∩就是?Πρ與?Π[α]截交得到的兩個(gè)交點(diǎn)。

4.4.1.2凸輪軸心O1的優(yōu)選(非劣)解集

證明從略。

值得指出的是,4.4.1.2～4.4.1.4節(jié)選擇凸輪軸心O1僅考慮了r0和α兩個(gè)性能參數(shù),存在片面、偏頗之處。工程實(shí)際中，除考慮r0和α外,還須兼顧考慮平底工作段分布，以及機(jī)構(gòu)橫向、縱向尺寸的合理分配等。不難想象,后兩者對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性、動(dòng)力學(xué)特性以及運(yùn)動(dòng)空間等皆會(huì)產(chǎn)生重要影響。

4.4.2凸輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

求解方法與凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)情形類(lèi)似,不再贅述。

5　浮動(dòng)平底工作段及其長(zhǎng)度、總長(zhǎng)度的求解確定

5.1浮動(dòng)平底工作段的求解確定

平底工作段指機(jī)構(gòu)整程中浮動(dòng)平底與凸輪輪廓實(shí)際接觸的區(qū)段。

5.1.1凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

如圖2a所示,OBO2A為機(jī)構(gòu)處于任一瞬時(shí)的位置。P21G的方程為y-yP21=tanθ2(x-xP21)，xP21、yP21可據(jù)式(7)、式(8)算得。

將P21G的方程y-yP21=tanθ2(x-xP21)與式(18)聯(lián)立，解得凸輪、平底接觸點(diǎn)G在固定系Oxy中的坐標(biāo)為

(65)

xB、yB可據(jù)式(11)算得。

根據(jù)坐標(biāo)變換原理,得G在浮動(dòng)系O2uv中的坐標(biāo):

(66)

xO2、yO2可據(jù)式(6)算得。

由式(66)可知,uG是θ1的一元函數(shù)，vG是常值。

綜合考慮推程、回程，一維搜索解得uG的最大和最小值分別為uGmax和uGmin，從而解得平底工作段uG∈[uGmin，uGmax]。

5.1.2凸輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

同理，從略。

5.2浮動(dòng)平底工作段長(zhǎng)度、總長(zhǎng)度的求解確定

5.2.1凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

平底工作段長(zhǎng)度為l=uGmax-uGmin，平底總長(zhǎng)度為L(zhǎng)=l+(5～7)mm。

5.2.2凸輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)

同理，從略。

6　機(jī)構(gòu)綜合示例

解：

(1)據(jù)已知條件特別是第3、第4章求解理論方法,取p=2,通過(guò)編程搜索求解,解得凸輪軸心位置區(qū)域Πρ∩[α],如圖9所示。也就是說(shuō),圖9是據(jù)例題已知條件數(shù)據(jù)，通過(guò)計(jì)算機(jī)搜索求解自動(dòng)生成的。

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(編輯蘇衛(wèi)國(guó))

Class Ⅰ Synthesis of Cam Mechanism with Floating Flat Faced Pushrod

Chang YongLin RongfuLi Yanping

Jimei University,Xiamen,Fujian,361021

equidistant/grid/discretization;floating coordinate system;support function;instantaneous area set;economic searching area;ridge point/ridge line

2013-11-14

2015-04-15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175224);福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2010J01302,2006J0169)

TH112.2DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.12.004

常勇,男,1964年生。集美大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授。研究方向?yàn)橥馆喤c連桿機(jī)構(gòu)學(xué)、機(jī)構(gòu)的起源與進(jìn)化理論等。發(fā)表論文160篇。林榮富,男,1987年生。集美大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院助教。李延平(通信作者),女,1963年生。集美大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授。