基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的概念教學(xué)

吳建華

本人曾作為廣州市名師應(yīng)邀在“廣州市名師、特級教師教學(xué)思想推介研討會”上執(zhí)教課例《方程的意義》。

《方程的意義》一課屬于概念教學(xué)。概念是思維的基本形式，是事物的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。數(shù)學(xué)概念是一切數(shù)學(xué)知識和數(shù)序思維的基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)幫助學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)概念，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。

對于《方程的意義》一課，我們該怎樣把握數(shù)學(xué)本質(zhì)？在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，方程是這樣定義的：含有未知數(shù)的等式叫做方程。實(shí)質(zhì)上，方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系。如此理解，方程的定義是一個發(fā)生式定義，刻畫的是方程形成或產(chǎn)生的過程。這樣的方程本質(zhì)體現(xiàn)了方程的核心價值，那么在教學(xué)中如何基于這一“方程”本質(zhì)進(jìn)行教學(xué)？

一、概念引入：在已知數(shù)與未知數(shù)之間建立關(guān)系，經(jīng)歷概念發(fā)生的過程

方程是含有未知數(shù)的等式，是為了解決實(shí)際問題，建立已知數(shù)和未知數(shù)之間的一種等量關(guān)系。而讓學(xué)生學(xué)會找等量關(guān)系是學(xué)生學(xué)習(xí)方程解決問題的重點(diǎn)和難點(diǎn)。這方面應(yīng)該貫穿于本單元教學(xué)的全過程。本節(jié)課是學(xué)生初次建立方程的概念，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會找等量關(guān)系是本節(jié)課的難點(diǎn)，因此，本課中我從從天平引入，提供了兩邊可以一起操作的直觀模型，引導(dǎo)孩子感悟天平的平衡實(shí)質(zhì)是等式的原型，并在此過程中，引導(dǎo)學(xué)生感悟分類的數(shù)學(xué)思想和方法。

通過觀察天平圖，得到各式各樣的式子，采用自然分類的方法：學(xué)生將相關(guān)的數(shù)學(xué)式子寫出來后，將它放在相應(yīng)的位置（等式或不等式）。然后再引導(dǎo)學(xué)生觀察這些式子的特點(diǎn)，得出方程的定義。在這過程中，分類的標(biāo)準(zhǔn)是在學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上自然形成的，從而感悟到分類在學(xué)習(xí)中的作用。

二、概念探究：在構(gòu)建模型中揭示概念內(nèi)涵，經(jīng)歷概念形成的過程

2011版小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義，這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識?！斗匠痰囊饬x》一課的教學(xué)是引導(dǎo)學(xué)生感悟模型思想的重要載體。

如何更好地使學(xué)生感悟模型的思想，促進(jìn)孩子對“方程”的認(rèn)識從表征走向本質(zhì)？我以“天平”為主線，構(gòu)造模型。

實(shí)物天平——各種狀態(tài)的天平圖——平衡狀態(tài)的天平圖——心中的天平——解釋方程在生活中的應(yīng)用。

從實(shí)物天平中，引發(fā)問題：天平的這種平衡與不平衡的現(xiàn)象和數(shù)學(xué)有什么聯(lián)系呢？一下將學(xué)生的思維從現(xiàn)實(shí)生活中的天平引發(fā)到數(shù)學(xué)思考上來。

提供各種不同狀態(tài)的天平圖，讓學(xué)生從觀察中，用數(shù)學(xué)的式子表示出天平的狀態(tài)，從天平的狀態(tài)抽象出數(shù)學(xué)問題，然后再用數(shù)學(xué)的符號建立起等式、不等式，再建立起方程的概念。

平衡狀態(tài)的天平圖：這是學(xué)生從“稱物體質(zhì)量相等”的活動轉(zhuǎn)入到“等量關(guān)系”的重要一環(huán)。怎樣引導(dǎo)學(xué)生尋找“等量關(guān)系”呢？我出具了各種各樣的平衡的天平圖，如立體圖形質(zhì)量平衡、水果質(zhì)量平衡……引導(dǎo)學(xué)生找到左右兩邊相等的數(shù)量關(guān)系，感悟等量關(guān)系的建立是列方程的依據(jù)。

心中的天平：心中的天平的建立，不是那么容易的事情，它應(yīng)該在學(xué)生讀懂題意的基礎(chǔ)上建立起來。我以紅花和黃花圖（如圖）切入，找到左右兩邊相等的數(shù)量關(guān)系從而建立心中的天平。通過多種圖例，引導(dǎo)學(xué)生感悟心中的天平既可以是質(zhì)量相等，也可以是數(shù)量相等、路程相等、總價相等……。

最后，方程在生活中的應(yīng)用，我設(shè)計了一個情景：老師和學(xué)生站在一起，有方程嗎？當(dāng)只有師生兩個信息時，不存在方程，因?yàn)槿绷恕瓣P(guān)系”。然后我提供“三種關(guān)系”的信息，讓學(xué)生選擇信息，找到等量關(guān)系，從而感受方程就在身邊。最后通過講方程中的“故事”，進(jìn)一步解釋了方程的應(yīng)用和意義。

三、概念運(yùn)用：豐富概念的外延，經(jīng)歷數(shù)學(xué)應(yīng)用的過程

本課的重點(diǎn)是“理解方程的意義”。我引導(dǎo)學(xué)生在“感知方程的多樣性”上豐富概念的外延。這“多樣性”包括形式上的多樣性和數(shù)量關(guān)系上的多樣性兩方面。

形式上的“多樣性”：引導(dǎo)學(xué)生觀察小朋友寫出的各式各樣方程，有含加、減、乘、除法運(yùn)算的，有一步計算的，兩步計算的，有含小括號的，還有的含兩個未知數(shù)的；在辨一辨、議一議中，感知方程中未知數(shù)可以用不同的字母表示，未知數(shù)可以參與多種運(yùn)算……

數(shù)量關(guān)系表達(dá)方式上的“多樣性”：因?yàn)橥瑯拥那榫?，有不同的?shù)量關(guān)系的表達(dá)方式，因此用方程表示的形式也不同。

對課堂的練習(xí)，我始終堅持立足教材，有效開發(fā)，以教材為主、課外習(xí)題為輔的原則。教材習(xí)題的使用有三種方式：一是有效整合，二是變式應(yīng)用，三是適當(dāng)補(bǔ)充。

有效整合：教材習(xí)題怎么呈現(xiàn)，怎么整合使用？天平圖、各式各樣的方程、辨析題、天平平衡圖、建立心中天平的相關(guān)練習(xí)都是教材的原型，怎樣有效整合是呈現(xiàn)方式的問題。如觀察各式各樣的方程中，凸顯一些特別形式上的方程；辨析中凸顯未知數(shù)的多樣性等……

變式應(yīng)用：如本課中，天平平衡圖的第二幅圖（圖2）是課本練習(xí)的變式，目的在于引導(dǎo)學(xué)生尋找等量關(guān)系列出方程，這個方程含兩個未知數(shù)，分別放在兩邊，這是一種特殊的方程。對于師生自由創(chuàng)編的環(huán)節(jié)，也是教材（如圖1）的變式。

適當(dāng)補(bǔ)充：如本課中，我增加了回顧看圖寫方程的過程，引導(dǎo)學(xué)生明確方程的本質(zhì)意義，增加力度研學(xué)課本62頁的四幅情境圖，目的在于體現(xiàn)怎樣處理、用好教材，又如適當(dāng)補(bǔ)充各種圖形圖和水果圖的天平圖，目的在于讓學(xué)生更好地體會不管天平左右兩邊放什么、有已知還是未知，只要兩邊質(zhì)量相等，都可以寫出等式。在認(rèn)識方程環(huán)節(jié)，補(bǔ)充“議一議”。在自由創(chuàng)編環(huán)節(jié)，補(bǔ)充各種關(guān)系“老師比學(xué)生大28歲，老師和學(xué)生的年齡和是48歲，老師的年齡是學(xué)生的3.8倍”，補(bǔ)充多種生活中的情景，結(jié)合方程“x+5=18”講故事，目的在于更好地體現(xiàn)方程就在生活中，賦予方程更多的在生活中的應(yīng)用。

四、教學(xué)的核心：數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)精神的培育

2011版小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的總目標(biāo)定為“四基”——基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)課堂的魅力上，一是體現(xiàn)在教師本身的人格魅力上，二是體現(xiàn)在數(shù)學(xué)本身的魅力，數(shù)學(xué)本身的魅力在于其內(nèi)含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)精神。

在《方程的意義》一課中，不斷創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生“可觸的標(biāo)高”，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。在實(shí)物天平中，溝通天平與“數(shù)學(xué)”的關(guān)系；“分類”活動中，不管怎樣分，都可以找到同樣的式子——“方程”。什么是方程？在平衡的天平圖中，可以找到怎樣的“等量關(guān)系”？如何建立心中的天平？心中的天平可以表示哪些數(shù)量相等的關(guān)系？光有老師和學(xué)生的信息，能找到方程嗎？同一情境中，為什么會列出不同的方程？同一方程，怎么表示不同的情境？在這過程中都可以不斷滲透“分類”“變與不變”等數(shù)學(xué)思想。

在數(shù)學(xué)精神的培育上，從上課伊始的猜謎語中“抓住特征、學(xué)會分析”；書寫“=”的要求上體現(xiàn)認(rèn)真、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度；了解方程發(fā)展史，體現(xiàn)人類的智慧；感悟方程在數(shù)學(xué)上的重要地位，在學(xué)習(xí)“簡單”知識中體現(xiàn)的“不簡單”；在感知方程的多樣性中體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣；在自由創(chuàng)編中的“舉一反三”……這些無一不是數(shù)學(xué)精神的教育，而這種教育應(yīng)該是無痕的，應(yīng)該貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程。