可視化教學(xué)在高等數(shù)學(xué)教育中的創(chuàng)新性應(yīng)用

郭國(guó)安

可視化教學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)教育的一種重要方式，它能夠激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的自信心，訓(xùn)練和提高學(xué)生的直覺(jué)思維和創(chuàng)新思維能力，并有助于提高學(xué)生探究問(wèn)題的能力。本文基于此，闡述了可視化教學(xué)在高等數(shù)學(xué)教育中的意義、教學(xué)實(shí)踐中的具體操作和注意事項(xiàng)。

高等數(shù)學(xué)教育改革是工科高校新世紀(jì)課程教材改革的基礎(chǔ)與核心，它部分承載著培養(yǎng)高質(zhì)量、基礎(chǔ)寬、能適應(yīng)未來(lái)社會(huì)發(fā)展的復(fù)合型人才的基本任務(wù)。由于高等數(shù)學(xué)是一門(mén)課時(shí)不足兩百，以邏輯性、抽象性、推理性、嚴(yán)密性著稱(chēng)的課程，如何將諸多定理和定義、公式以及解法和技巧等知識(shí)有效傳授給學(xué)生，是每位大學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者必須積極思考的重要課題。

可視化方法（visual method）獨(dú)創(chuàng)性運(yùn)用在復(fù)分析教材中[1]。該方法獨(dú)特新穎，起點(diǎn)高，要求教師數(shù)學(xué)素質(zhì)和修養(yǎng)高，能夠大范圍地運(yùn)用代數(shù)、幾何、分析和物理等現(xiàn)代知識(shí)和工具來(lái)進(jìn)行比較直觀地講授。然而這種方法若不改進(jìn)，將不適合用來(lái)講授大一新生的高等數(shù)學(xué)課程。本文通過(guò)對(duì)可視化方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)馗倪M(jìn)和完善，提出了一種面向高等數(shù)學(xué)的教學(xué)方法——可視化教學(xué)法，它是借助物理、幾何和分析等工具，在教學(xué)中綜合應(yīng)用各種教學(xué)工具，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的各種感官，讓學(xué)生直接或間接地感知具體的事物和形象，然后再通過(guò)有效導(dǎo)入、融匯形象化和抽象化教學(xué)，讓學(xué)生由表及里、深入淺出地理解事物本質(zhì)的一種教學(xué)方法。這種教學(xué)方法是直觀化教學(xué)方法的延展[2-3]，是一種易被學(xué)生接受和理解的教學(xué)方法，如果教師能夠合理利用和發(fā)揮，它不僅能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)機(jī)、培養(yǎng)學(xué)生思維能力和提高教師教學(xué)質(zhì)量，而且能夠大力推動(dòng)高等數(shù)學(xué)教育不斷向前發(fā)展。

一 可視化教學(xué)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中的意義

1 提高教學(xué)效率和質(zhì)量、增強(qiáng)學(xué)生自信心和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

高等數(shù)學(xué)是一門(mén)抽象性、系統(tǒng)性、嚴(yán)謹(jǐn)性的晦澀難懂的課程，對(duì)于剛剛步入大學(xué)生活的新生而言，他們的學(xué)習(xí)方法還比較初級(jí)，認(rèn)識(shí)的對(duì)象主要限于能夠演示、能夠感知的“活靈活現(xiàn)”的事物，因此要理解這些抽象的理論和方法，必須要繼承和發(fā)展中學(xué)時(shí)的教學(xué)方法（比如數(shù)形結(jié)合法等），更加迫切需要直觀化的教學(xué)手段。通過(guò)可視化教學(xué)，學(xué)生腦海中能夠從視覺(jué)上直觀感知新鮮事物的外在特征（外延或表象），在教師的有效引導(dǎo)下加以抽象總結(jié)，逐步理解事物的共性特征（內(nèi)涵或本質(zhì)特征），最終不但能夠引發(fā)學(xué)生積極思考，發(fā)展學(xué)生思維能力，而且課堂教學(xué)能取得事半功倍的教學(xué)效果。比如借助直觀的幾何圖形、有趣的實(shí)物模型、幻燈片和現(xiàn)實(shí)生活中形象化的范例等感官認(rèn)識(shí)和理性分析，不僅能夠加強(qiáng)學(xué)生的認(rèn)知和記憶能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和興趣，有助于學(xué)生深刻理解高等數(shù)學(xué)中的抽象概念和思想方法，而且充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，增強(qiáng)了學(xué)生的自信心，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思維能力。

2 培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力和鍛煉創(chuàng)新思維

著名數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要”，這句名言啟發(fā)我們：要想學(xué)好數(shù)學(xué)，就必須有一雙敏銳的眼睛，需要觀察、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，探索問(wèn)題的規(guī)律性東西。而可視化教學(xué)法正是結(jié)合直觀化教學(xué)和抽象化教學(xué)，在數(shù)學(xué)問(wèn)題創(chuàng)造過(guò)程中，先提供與問(wèn)題相關(guān)聯(lián)的物理或幾何模型、現(xiàn)實(shí)生活中的案例等熟悉的素材，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)觀察發(fā)現(xiàn)事物表象特征，加工信息，挖掘出事物的內(nèi)在的、本質(zhì)的或規(guī)律性的東西。這種探究問(wèn)題的過(guò)程能夠培養(yǎng)學(xué)生的洞察力，鍛煉學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的直覺(jué)思維和邏輯思維。

二 可視化教學(xué)方法在高等數(shù)學(xué)教育中的實(shí)踐應(yīng)用與探索

1 有效運(yùn)用直觀教學(xué)與抽象教學(xué)

（1）加強(qiáng)直觀教學(xué)在學(xué)生認(rèn)知初級(jí)階段的應(yīng)用

直觀化教學(xué)是可視化教學(xué)的一種表現(xiàn)方式，是指在教學(xué)中通過(guò)學(xué)生觀察所學(xué)事物，或通過(guò)教師語(yǔ)言的形象描述，引導(dǎo)學(xué)生形成對(duì)所學(xué)事物、過(guò)程的清晰表象，豐富他們的感性知識(shí)，從而使他們能夠正確理解書(shū)本知識(shí)，發(fā)展認(rèn)識(shí)能力。教學(xué)直觀性可分為實(shí)物直觀、模像直觀和語(yǔ)言直觀。高等數(shù)學(xué)授課對(duì)象為大一新生，他們正處于大學(xué)學(xué)習(xí)起步的初級(jí)階段，對(duì)許多問(wèn)題的認(rèn)知還限于感官認(rèn)知，采用直觀教學(xué)，符合他們對(duì)事物認(rèn)識(shí)的基本規(guī)律，有利于他們對(duì)高等數(shù)學(xué)的入門(mén)學(xué)習(xí)。比如在講授重積分概念時(shí)，通過(guò)制作幻燈片形象地演示事物的變化過(guò)程，讓難以想象的立體事物變得形象直觀，讓概念更加清晰易于理解，達(dá)到擴(kuò)大學(xué)生視野，發(fā)展學(xué)生思維能力的目的。再比如在講授“極限”等抽象概念時(shí)，通過(guò)寓言“龜兔賽跑”問(wèn)題，提出芝諾悖論“追龜”等有趣現(xiàn)象，通過(guò)動(dòng)態(tài)化的演示，不但能激發(fā)學(xué)生的求知欲和興趣，從物理直觀上讓學(xué)生明白極限過(guò)程是人們通過(guò)有限認(rèn)識(shí)事物特征來(lái)揭示無(wú)限過(guò)程的本質(zhì)，這正是人們探索宇宙運(yùn)動(dòng)和規(guī)律的基本思想和方法，而且還能解釋幾何上諸如“窮竭”“無(wú)限循環(huán)”許多類(lèi)似現(xiàn)象和規(guī)律，使學(xué)生初步理解了極限思想，為后續(xù)的學(xué)習(xí)和理解高等數(shù)學(xué)諸如“微元法”的許多內(nèi)容打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

（2）運(yùn)用直觀教學(xué)和抽象教學(xué)，揭示事物的內(nèi)在規(guī)律

直觀教學(xué)通過(guò)模型、模具、圖表、幻燈片、計(jì)算機(jī)模擬等形式，將物體形象地呈現(xiàn)在學(xué)習(xí)者面前。這種教學(xué)適合于感性認(rèn)知能力強(qiáng)的學(xué)生，它具備諸如能夠激發(fā)學(xué)生的求知欲望和興趣、鍛煉學(xué)生的觀察力、課堂氣氛好等優(yōu)點(diǎn)。但它也有缺點(diǎn)，譬如占用課堂時(shí)間多，易延誤教學(xué)進(jìn)度和目標(biāo)，削弱了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，易使學(xué)生被直觀的形象吸引了注意力，感官?zèng)_擊力震撼，覺(jué)得很好“玩”，缺乏了主動(dòng)加工信息的過(guò)程。而抽象教學(xué)法，需要教師具備較高素養(yǎng)，可以不借助各種教學(xué)工具、生動(dòng)語(yǔ)言等將事物直觀地展現(xiàn)出來(lái)，只需要通過(guò)邏輯性強(qiáng)的語(yǔ)言交流向?qū)W生傳授知識(shí)。這種教學(xué)法是建立在師生具備良好的素養(yǎng)和理解力的基礎(chǔ)上，適合于講授給層次較高的學(xué)生。因此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，我們要在充分調(diào)研的基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生的感官認(rèn)識(shí)能力和思維能力，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容的難易程度，合理選擇直觀教學(xué)和抽象教學(xué)法。比如，如果課堂教學(xué)內(nèi)容容易理解，容易在腦海中呈現(xiàn)出相應(yīng)內(nèi)容的外在表象特征，那么我們就不需要直觀教學(xué)法;如果學(xué)生對(duì)課堂教學(xué)中的概念、定理證明思路等內(nèi)容，我們可以選擇直觀和抽象教學(xué)的有效結(jié)合，先使用直觀教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)事物有了感官認(rèn)知后，再通過(guò)教師有效地啟發(fā)和引導(dǎo)、抽象和總結(jié)，一起發(fā)現(xiàn)和挖掘這類(lèi)事物的內(nèi)在的規(guī)律和本質(zhì)特征。總之，無(wú)論何種教學(xué)形式，都不可能適合于所有教學(xué)情境，直觀并不是最終目的，而是手段。我們應(yīng)該在實(shí)踐教學(xué)中，將形象直觀和抽象概括有效結(jié)合，幫助學(xué)生牢固地掌握所學(xué)的知識(shí)，使抽象的概念具體化、鮮明化，同時(shí)鍛煉學(xué)生的觀察力，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力，最終達(dá)到全面提高學(xué)生綜合能力的目的。

2 借助幾何、分析等工具，重視數(shù)形結(jié)合和類(lèi)比、聯(lián)想等思想方法的運(yùn)用

高等數(shù)學(xué)中有些問(wèn)題，如果僅局限于數(shù)的方面考慮，雖然能解決問(wèn)題，但過(guò)程繁瑣，甚至較為困難。若根據(jù)問(wèn)題的條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，既分析數(shù)式特征，又揭示幾何意義，使數(shù)量關(guān)系與空間形式巧妙而和諧地結(jié)合起來(lái)，往往能化繁為簡(jiǎn)。這就要求教師在教學(xué)中，從概念的幾何背景入手，借助直觀的幾何圖形引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生觀察、分析，由具體逐步過(guò)渡到抽象，這將有助于學(xué)生理解抽象的概念。此外，高等數(shù)學(xué)的許多內(nèi)容具有相似的結(jié)構(gòu)和處理方法，教學(xué)中運(yùn)用類(lèi)比和聯(lián)想能夠讓學(xué)生自主發(fā)揮能動(dòng)性、鍛煉分析和解決問(wèn)題的能力。 比如講授一元函數(shù)的積分和多元函數(shù)的重積分的定義時(shí)，都使用“分割、近似、求和、取極限”的微元法思想。再比如在微分學(xué)中值定理教學(xué)中，我們可以通過(guò)幾何和物理兩模型直觀闡述各個(gè)中值定理的關(guān)系，然后通過(guò)抽象總結(jié)，挖掘出這些中值定理的內(nèi)在規(guī)律是刻畫(huà)端點(diǎn)弦和切線的一種“弦切”平行關(guān)系。

3 提高教師綜合素養(yǎng)

可視化教學(xué)作為一種重要的教學(xué)手段，它既需要教師熟悉與高等數(shù)學(xué)相聯(lián)系的許多幾何、 代數(shù)、物理等較為寬廣的理論知識(shí)，同時(shí)還需要教師及時(shí)掌握學(xué)生的認(rèn)知和理解能力，熟悉一些數(shù)學(xué)軟件的操作，并懂得如何利用現(xiàn)代化的教學(xué)手段精心設(shè)計(jì)課件。為了便于開(kāi)展直觀化和抽象化相結(jié)合教學(xué)，還要求教師會(huì)根據(jù)授課內(nèi)容懂得如何選取一些趣味性和應(yīng)用性強(qiáng)的幾何素材或物理模型，會(huì)創(chuàng)設(shè)情境教學(xué)[4]。因此，只有教師課外不斷學(xué)習(xí)和完善課件，才能從真正意義上開(kāi)展可視化教學(xué)方法。

三實(shí)施可視化教學(xué)應(yīng)注意的事項(xiàng)

第一，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)源、動(dòng)機(jī)介紹，促進(jìn)數(shù)學(xué)的趣味性和應(yīng)用性。高等數(shù)學(xué)教材內(nèi)容是通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)完美呈現(xiàn)出來(lái)，它展現(xiàn)精煉、簡(jiǎn)潔，省去了數(shù)學(xué)知識(shí)的背景描述和探索猜想思維過(guò)程，省去了數(shù)學(xué)知識(shí)隱含在內(nèi)的數(shù)學(xué)思想方法的揭示。因此，教學(xué)中要求老師向?qū)W生展現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識(shí)的教育形態(tài)，通過(guò)直觀手段展現(xiàn)、講解數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)實(shí)踐應(yīng)用，啟迪學(xué)生抽象總結(jié)、發(fā)現(xiàn)和探究數(shù)學(xué)知識(shí)的本源。

第二，合理利用形象化與抽象化教學(xué)。高等數(shù)學(xué)課時(shí)緊湊，運(yùn)用形象化教學(xué)時(shí)，需要教師利用多種教學(xué)資源和教學(xué)工具進(jìn)行有序、有理地引導(dǎo)和展現(xiàn)，同時(shí)又不能影響教學(xué)的主要目標(biāo)，這需要教師根據(jù)學(xué)生及時(shí)反饋的信息和認(rèn)知能力，合理、酌情選擇教學(xué)手段。

總之，可視化教學(xué)方法對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的創(chuàng)新意義， 它的運(yùn)用使高等數(shù)學(xué)枯燥的成分減少， 教學(xué)難度降低， 學(xué)生樂(lè)于接受，教學(xué)效果良好。從體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)的嚴(yán)格公理化體系和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的角度考慮， 應(yīng)將形象的知識(shí)作為教學(xué)的切入點(diǎn)， 而將建立抽象的概念體系作為著眼點(diǎn)， 有效結(jié)合直觀和抽象教學(xué)，這才是教學(xué)要實(shí)現(xiàn)的最終目標(biāo)。

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