考慮光伏和負荷相關性的概率潮流計算

任洲洋　顏　偉　項　波　趙　霞　王強鋼　余　娟

（1. 輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術國家重點實驗室（重慶大學）　重慶　400044

2. 國網(wǎng)重慶市電力公司萬州供電分公司　重慶　404160）

考慮光伏和負荷相關性的概率潮流計算

任洲洋1顏偉1項波2趙霞1王強鋼1余娟1

（1. 輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術國家重點實驗室（重慶大學）重慶400044

2. 國網(wǎng)重慶市電力公司萬州供電分公司重慶404160）

位于相鄰地區(qū)的光伏電源輸出功率和負荷之間存在較強的相關關系，而現(xiàn)有的概率潮流研究并未準確計及。通過結合參數(shù)和非參數(shù)概率建模理論，提出了一種光伏功率的綜合建模方法，該方法能夠準確反映光伏功率的隨機特性且無需任何參數(shù)分布的假設信息。利用等概率轉換原則和Cholesky分解技術處理多個光伏電源的輸出功率之間及其與負荷之間的相關關系。在此基礎上，進一步提出了一種能夠準確計及任意分布的光伏和負荷相關性的Monte Carlo概率潮流計算方法，并引入中值拉丁超立方抽樣技術以提高抽樣效率，降低計算復雜度。針對美國某光伏電站的實測數(shù)據(jù)和69節(jié)點配電系統(tǒng)進行仿真分析，驗證了所提方法的準確性和有效性。

光伏發(fā)電相關性蒙特卡洛概率潮流

0　引言

太陽能光伏發(fā)電具有綠色、環(huán)保和無污染等優(yōu)點，近年來得到了持續(xù)快速發(fā)展，截至2012年底，全球總裝機容量已達100GW[1]。但不容忽視，光伏發(fā)電屬于典型的間歇式能源，其輸出功率嚴重依賴于輻照、溫度等氣象條件，具有較強的隨機波動性。無疑，光伏的大規(guī)模接入將進一步加劇電力系統(tǒng)的不確定性。而概率潮流作為電力系統(tǒng)不確定性分析的重要工具，其能夠充分考慮系統(tǒng)中的隨機因素，為電力系統(tǒng)的經(jīng)濟運行、可靠性及安全穩(wěn)定分析等提供全面、重要的參考信息，因而近年來被廣泛用于含光伏等隨機因素的系統(tǒng)分析中[2-7]。可見，有必要對含光伏電力系統(tǒng)的概率計算方法展開深入研究。

國內(nèi)外的電力學者在該領域進行了大量的研究工作。文獻[8]采用Beta分布建立光伏功率的概率模型，并基于半不變量法與Gram-Charlier級數(shù)展開技術計算系統(tǒng)各節(jié)點電壓的概率分布。文獻[9,10]利用直接輻照和散射輻照的概率密度函數(shù)獲取光伏功率的概率分布，同樣結合半不變量和Gram-Charlier級數(shù)展開技術求解概率潮流。文獻[11,12]基于晴朗指數(shù)的概率分布[13]及其與光伏功率的函數(shù)關系建立了后者的概率模型，并采用Monte Carlo模擬技術進行概率潮流分析。上述文獻基于概率潮流深入分析了光伏功率隨機性對電力系統(tǒng)運行的影響，但未涉及光伏功率之間及與負荷之間的相關關系。然而實際上，對位于相鄰地區(qū)的多個光伏電源以及氣象條件敏感負荷（如空調(diào)負荷等）而言，其處于類似的氣象條件下，相互之間存在一定的相關關系，因此，需在概率潮流分析中充分考慮上述相關關系。

文獻[14]基于半不變量法提出了能夠考慮多個光伏電源輸出功率相關性的概率潮流計算方法，但存在以下問題：

（1）該方法所采用的光伏Beta模型適應性差，極有可能引入較大誤差。作者前期的研究表明光伏電源的輸出功率并不總是服從Beta、正態(tài)等常規(guī)參數(shù)分布[15]。

（2）對不服從Beta分布或無法用常規(guī)參數(shù)分布建模的光伏而言，如何處理其相互之間以及與負荷之間的相關關系，文獻[14]并未考慮。

（3）該方法涉及到自半不變量和聯(lián)合半不變量的求解，其計算規(guī)模隨輸入變量數(shù)和階數(shù)的增加而急劇增長，計算量過大?，F(xiàn)有研究也?；诘雀怕兽D換原則處理服從參數(shù)分布的風電相關性[2,16]，但對于無法采用參數(shù)分布建模的情況，尚無文獻討論。因此，無法將該方法直接用于考慮光伏、負荷相關性的概率潮流分析中。

本文基于Monte Carlo模擬技術提出了一種能夠準確計及任意分布的光伏功率和負荷相關性的概率潮流計算方法：結合參數(shù)和非參數(shù)概率建模理論，提出一種光伏電源輸出功率的綜合建模方法；利用等概率轉換原則和Cholesky分解技術處理光伏功率之間及其與負荷之間的相關關系；基于Monte Carlo模擬和中值拉丁超立方抽樣技術實現(xiàn)概率潮流的快速求解。

1　光伏電源輸出功率的綜合概率建模方法

基于Beta分布的光伏概率模型具有簡單、易實現(xiàn)等優(yōu)點，并且對實測數(shù)據(jù)樣本的要求不高，但該模型并不具有普遍適用性，即采用光伏的Beta模型并不一定總能夠取得良好的模擬效果。光伏的非參數(shù)核密度估計模型雖然具有較強的適應性和較高的模擬準確度，但是該模型的表達式復雜，計算量相對較大，而且對實測數(shù)據(jù)樣本有著較高的要求。為了綜合利用上述兩種建模方法的優(yōu)點，本文提出了一種光伏功率的綜合概率建模方法。該方法不僅能夠準確模擬具有任意隨機分布特性的光伏功率，還具有較強的適應性和更寬的適用范圍，同時兼顧了光伏的Beta模型和非參數(shù)核密度估計模型的優(yōu)點。光伏綜合概率建模方法的流程圖和實現(xiàn)步驟如圖1所示。

圖1　光伏綜合概率建模方法的流程Fig.1　The flowchart of the comprehensive probabilisticmodeling method of photovoltaic generation

（1）基于χ2檢驗方法判斷是否可采用Beta分布。輸入光伏電源輸出功率p的實測數(shù)據(jù)樣本pv1, pv2,…, pvn，基于χ2檢驗方法[17]，判斷是否可用Beta分布描述p的概率分布，若可以，則根據(jù)下面的步驟（2）建立光伏的Beta概率模型；否則，根據(jù)下面的步驟（3）建立光伏的非參數(shù)核密度估計模型。

（2）基于Beta分布的光伏概率模型。根據(jù)Beta分布可估計光伏功率p的概率密度函數(shù)f (p)為[18]

式中，pmax為光伏功率的最大值；Г(*)為Gamma函數(shù)；d、q均為Beta分布的形狀參數(shù)。

（3）基于非參數(shù)核密度估計的光伏概率模型?；诜菂?shù)核密度估計理論，可近似估計f(p)為[15]

式中，n為光伏實測數(shù)據(jù)的樣本數(shù)；h為帶寬，可由經(jīng)驗算法計算得到[19]；K(·)為核函數(shù)，本文選擇常見的高斯函數(shù)作為核函數(shù)[19]。

2　考慮光伏負荷相關性的隨機抽樣方法

對于存在相關關系的光伏功率和負荷而言，其隨機樣本無法直接抽樣產(chǎn)生。為此，本文首先產(chǎn)生相互獨立的標準正態(tài)隨機樣本，然后，基于等概率轉換原則和Cholesky分解技術將其轉換為存在相關關系的光伏功率、負荷隨機樣本。轉換共分為兩步：①將相互獨立的標準正態(tài)隨機樣本轉換為相關的標準正態(tài)隨機樣本；②將相關的標準正態(tài)隨機樣本轉換為服從指定分布、具有給定相關系數(shù)的光伏、負荷隨機樣本。具體原理及抽樣步驟如下。

2.1基于等概率轉換原則的非標準正態(tài)分布轉換

假設系統(tǒng)中共有m個相關的隨機變量p1, p2,…, pm，并將之表示為向量P=(p1, p2,…, pm)。其中，p1, p2,…, pa分別表示a個光伏電源的輸出功率，均服從Beta分布；pa+1, pa+2,…, pa+b分別表示b個光伏電源的輸出功率，其概率模型均為非參數(shù)核密度估計模型；pa+b+1, pa+b+2,…, pa+b+c分別表示c個服從正態(tài)分布的負荷。ρij為變量pi與pj間的相關系數(shù)；f(pi)、F(pi)分別為變量pi的概率密度函數(shù)和累積概率密度函數(shù)，其中，i=1, 2,…, m。根據(jù)下式所示的等概率轉換原則[20]可將向量P轉換為標準正態(tài)隨機向量Y= (y1, y2,…, ym)，其中yi與yj間的相關系數(shù)為ρyij(i, j=1, 2,…, m)。

式中，Φ (yi)為yi的標準正態(tài)累積分布函數(shù)；Fi-1為累積分布函數(shù)F的反函數(shù)。

根據(jù)上式及相關系數(shù)的定義[21]，可得到ρij和ρyij之間的函數(shù)關系為

式中，φyij表示標準二元正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，φyij的相關系數(shù)參數(shù)為ρyij。采用二分法即可求解得到ρyij，詳細求解步驟參見文獻[22]。

根據(jù)式（5），可以得到Y的協(xié)方差矩陣Cy為

2.2基于Cholesky分解的相關標準正態(tài)分布轉換

接下來需要將Y進一步轉換為相互獨立的標準正態(tài)隨機向量H，具體原理及步驟如下。

存在下三角矩陣L將Y= (y1, y2,…, ym) 轉換為相互獨立的標準正態(tài)隨機向量H= (h1, h2,…, hm)

式中，L可通過對Y的協(xié)方差矩陣Cy進行Cholesky分解得到[2]

2.3光伏負荷相關隨機樣本的抽樣步驟

2.1和2.2節(jié)介紹了如何將光伏、負荷等相關隨機向量P轉換為相互獨立的標準正態(tài)隨機向量H，那么，根據(jù)其逆過程即可由獨立的標準正態(tài)隨機樣本產(chǎn)生光伏、負荷的相關隨機樣本。另外，為進一步提高抽樣效率，本文還引入了中值拉丁超立方抽樣技術[23]以實現(xiàn)對標準正態(tài)隨機樣本的抽樣。綜上所述，光伏、負荷相關隨機樣本的抽樣步驟如下所示：

（1）讀入光伏、負荷的概率模型信息（分布類型及參數(shù)）、存在相關關系的變量數(shù)m和相關系數(shù)ρij（i, j= 1, 2,…, m），并設定采樣規(guī)模s。

（2）根據(jù)式（4）、式（5）由ρij（i, j= 1, 2,…, m）計算得到Y的協(xié)方差矩陣Cy，并對Cy進行Cholesky分解，得到下三角矩陣L。

（3）基于中值拉丁超立方抽樣技術產(chǎn)生m×s維的標準正態(tài)隨機樣本矩陣H。

（4）根據(jù)Y=LH求取矩陣Y，此時Y的協(xié)方差矩陣即為Cy。

（5）根據(jù)式（3）依次轉換Y中各元素，得到P，此時P即為光伏和負荷的相關隨機樣本。

3　基于Monte Carlo模擬的概率潮流計算方法

結合第2節(jié)提出的相關隨機樣本抽樣方法，采用Monte Carlo模擬技術求解含光伏電力系統(tǒng)的概率潮流，具體計算步驟如下：

（1）輸入網(wǎng)絡結構參數(shù)、光伏和負荷的概率模型信息（分布類型、參數(shù)）及相關系數(shù)，并設定中值拉丁超立方采樣規(guī)模s。

（2）根據(jù)2.3節(jié)中的步驟（1）～步驟（5）產(chǎn)生存在相關關系的光伏、負荷隨機樣本。

（3）對相互獨立的光伏、負荷隨機變量，直接采用中值拉丁超立方技術產(chǎn)生隨機樣本。

（4）采用牛頓-拉夫遜法依次進行s次確定性的潮流計算。

（5）統(tǒng)計節(jié)點電壓、線路傳輸功率及線損率等指標的樣本信息，并利用非參數(shù)核密度估計理論繪制各指標的概率密度曲線。

4　算例分析

4.1測試網(wǎng)絡及數(shù)據(jù)

采用69節(jié)點配電系統(tǒng)[24]，進行仿真分析，該系統(tǒng)共有負荷3 802.19+j2 694.6kV·A，網(wǎng)絡接線圖如下所示，其中，編號帶下劃線的節(jié)點為負荷節(jié)點。

圖2　69節(jié)點配電系統(tǒng)Fig.2　The 69-node distribution network

假設系統(tǒng)共接入三個光伏電源P1、P2和P3，其中P1額定容量為200kW，服從形狀參數(shù)為2.06和2.50的Beta分布；P2額定容量為400kW，服從形狀參數(shù)為2.12和2.80的Beta分布；P3額定容量為200kW，輸出功率樣本為美國某光伏電站的實測數(shù)據(jù)[25]，經(jīng)χ2檢驗知，光伏功率的隨機變化不服從Beta分布，故建立P3的非參數(shù)核密度估計模型。將P1、P2和P3依次接在節(jié)點39、50和53處，并假設P1、P2和P3之間及其與節(jié)點11、12和38上的有功負荷L11、L12和L38之間存在關聯(lián)關系，相關系數(shù)均為0.5。另外，假設所有的負荷都服從正態(tài)分布，均值為節(jié)點負荷的穩(wěn)態(tài)值，標準差為均值的5%。

4.2所提概率潮流計算方法的驗證

針對69節(jié)點配電系統(tǒng)，基于本文方法進行概率潮流分析，其中，中值拉丁超立方的采樣規(guī)模為500次。同時，利用直接抽樣法進行采樣規(guī)模為3萬次的Monte Carlo概率潮流計算，并認為該方法所得計算結果是準確無誤的，可作為驗證本文方法的標準。

表1所示為兩種方法計算所得節(jié)點50的電壓均值σv、標準差μv；線路38、39視在功率的均值μt、標準差σt；系統(tǒng)線損的均值μl、標準差σl?？芍?，兩種方法所得結果基本一致，即本文所提出概率潮流計算方法能夠準確獲取電壓、線路傳輸功率和線損的概率統(tǒng)計信息，具有較高的計算準確度。另外，與直接抽樣法相比，本文方法具有較高的抽樣效率，計算復雜度降低。

表1　69節(jié)點系統(tǒng)的概率潮流計算結果Tab.1　The probabilistic power flow results of 69-node distribution network

4.3光伏負荷相關性對配網(wǎng)運行的影響分析

為分析光伏和負荷相關性對配網(wǎng)運行的影響，將P1、P2、P3、L11、L12、L38之間相關系數(shù)分別設定為0、0.3、0.6和0.9，并采用本文方法依次計算概率潮流。

不同相關系數(shù)情況下，系統(tǒng)各節(jié)點電壓的均值和標準差變化曲線如圖3、圖4所示。圖5為節(jié)點50電壓的概率密度曲線。由圖3、圖4可知，光伏和負荷之間的相關程度對各節(jié)點電壓的均值影響極小，但對節(jié)點電壓的標準差影響較大，尤其是光伏接入節(jié)點及其附近節(jié)點，這也意味著光伏負荷相關程度的增強將會進一步加劇節(jié)點電壓的波動性。這是因為隨著光伏負荷相關程度的提高，其功率變化的同步性逐步增強，從而節(jié)點電壓的波動性也隨之增加。由圖5可知，在不同的相關系數(shù)情況下，節(jié)點電壓的概率分布是有差別的，但未呈現(xiàn)出規(guī)律的變化趨勢。

圖3　節(jié)點電壓的均值Fig.3　The mean values of bus voltage magnitudes

圖4　節(jié)點電壓的標準差Fig.4　The standard deviation values of bus voltage magnitudes

圖5　節(jié)點50電壓的概率密度曲線Fig.5　The probability density curves of voltage magnitude at bus 50

不同相關系數(shù)情況下，各線路視在功率的均值及標準差變化曲線如圖6和圖7所示。線路50，51視在功率的概率密度曲線如圖8所示。可見，線路視在功率的均值基本不受光伏、負荷相關水平的影響，但不同相關系數(shù)下，線路視在功率的標準差則相差較大，尤其是光伏接入點以及根節(jié)點附近的支路。原因在于，隨著相關系數(shù)的增加，光伏和負荷功率變化的同步性增強，相應的，線路傳輸功率的波動性也逐步增強。從圖8可知，線路傳輸功率的概率分布同樣受到光伏和負荷相關程度的影響，但是隨著相關程度的增強，線路傳輸功率概率分布的變化并未呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性。

圖6　線路視在功率的均值Fig.6　The mean values of line flows

圖7　線路視在功率的標準差Fig.7　The standard deviation values of line flows

圖8　線路50和51視在功率的概率密度曲線Fig.8　The probability density curves of the line flow through bus 50 and 51

不同相關系數(shù)情況下，69節(jié)點配電系統(tǒng)的線損率均值和標準差見表2。線損率的概率密度曲線如圖9所示。不難看出，隨著相關程度的增強，線損率的均值基本沒有變化，但標準差卻逐漸增大。而線損率的概率分布同樣會受到光伏、負荷相關程度的影響，因此，低估或忽略光伏和負荷之間的相關關系將無法準確獲取線損率的概率分布信息。

表2　線損率的均值和標準差Tab.2　The mean and standard deviation values of network loss rate

圖9　線損率的概率密度曲線Fig.9　The probability density curves of network loss rate

5　結論

本文提出了一種能夠準確計及任意分布的光伏功率和負荷相關性的Monte Carlo概率潮流計算方法，并采用69節(jié)點配電系統(tǒng)進行仿真分析，驗證了本文方法的準確性和有效性。研究表明：

（1）光伏、負荷之間的相關關系對節(jié)點電壓、線路傳輸功率及線損率等指標的均值影響不大，但是會對上述指標的標準差及概率分布產(chǎn)生較大影響。

（2）隨光伏、負荷相關程度的增強，節(jié)點電壓、線路傳輸功率和線損率等指標的波動性將會進一步增強，另外，上述指標的概率分布同樣受光伏、負荷相關水平的影響。

（3）忽略或錯誤估計光伏、負荷之間的相關關系將無法得到準確的概率潮流分析結果。

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Probabilistic Power Flow Analysis Incorporating the Correlations between PV Power Outputs and Loads

Ren Zhouyang1Yan Wei1Xiang Bo2Zhao Xia1Wang Qianggang1Yu Juan1
（1. State Key Laboratory of Power Transmission Equipment & System Security and New Technology Chongqing UniversityChongqing400044China
2. Wanzhou Power Supply Company of State Grid Chongqing Electric Power Corporation Chongqing404160China）

The correlations between power outputs of photovoltaic (PV) generators and loads at adjacent locations actually exist and are not accurately considered in the current research on the probabilistic power flow analysis. Based on the parametric and nonparametric probabilistic modeling theories, the comprehensive model of PV generation is proposed and the randomness of PV outputs can be accurately reflected without any assumption of theoretical distributions. The correlations between the PV outputs and loads are considered by combining the marginal transformation and Cholesky decomposition techniques. Furthermore, the Monte Carlo based probabilistic power flow analysis method is developed, which can capture the correlations between PV outputs and loads obeying different probability distributions. The Latin Hypercube Sampling method, an efficient sampling method, is also introduced to decrease the computation burden. The measured power data of PV generator in USA and the 69-node distribution network are used to demonstrate the correctness and effectiveness of the presented probabilistic power flow analysis method.

Photovoltaic generation, correlation, Monte Carlo, probabilistic power flow

TM744

任洲洋男，1986年生，博士，講師，研究方向為電力系統(tǒng)風險評估和電力系統(tǒng)大數(shù)據(jù)分析。

顏偉男，1968年生，博士，教授，博士生導師，研究方向為電力系統(tǒng)規(guī)劃與優(yōu)化運行和電力系統(tǒng)風險評估。

中央高校基本科研業(yè)務費資助項目（106112015CDJXY 150002）。

2013-12-12改稿日期 2014-04-14