頻率分布直方圖錯誤解析

葉莉

頻率分布直方圖是用來刻畫樣本數(shù)據(jù)分布的重要工具之一，也是用樣本估計(jì)總體的常用方法.整個制圖過程，操作性強(qiáng)，分布直觀，圖形簡潔美觀，也適用于計(jì)算機(jī)繪圖，所以在各行業(yè)的數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用廣泛.

高中課程標(biāo)準(zhǔn)對頻率分布直方圖的具體要求是：1.通過實(shí)例體會分布的意義和作用，會列頻率分布表、畫頻率分布直方圖表示樣本數(shù)據(jù)，并體會其特點(diǎn)；2.會用樣本的頻率分布直方圖估計(jì)總體分布，會用樣本的頻率分布直方圖估計(jì)總體的基本數(shù)字特征.簡單地說，就是能“制圖”，會“用圖”，而我們在應(yīng)用中產(chǎn)生的錯誤也主要發(fā)生在這兩個過程中.

一、頻數(shù)的統(tǒng)計(jì)錯誤

例1 從2015年9月1日起，學(xué)校不再代收學(xué)平險保險費(fèi)，在校學(xué)生意外保險由家長自行辦理. 武漢市某區(qū)在開學(xué)之初，以班級為單位，對學(xué)生自行購買保險的情況進(jìn)行了抽樣統(tǒng)計(jì)，得到了如下20個班級購買保險人數(shù)情況（如下表），試作出該樣本的一個頻率分布直方圖.

錯解 計(jì)算這組數(shù)據(jù)的極差為30-5=25，將組距定為5，組數(shù)定為5，則將20個數(shù)據(jù)分為[5，10]，[10，15]，[15，20]，[20，25]，[25，30]這5組，得到每組的頻數(shù)分別為5，8，5，2，2，…….

正解 在上述解答中，各小組頻數(shù)之和為22，大于樣本容量，顯然是錯誤的. 原因是分組區(qū)間全是雙閉區(qū)間，則數(shù)據(jù)“10”在第一組和第二組均被計(jì)入頻數(shù)，數(shù)據(jù)“15”也是如此. 在分組時，應(yīng)將20個數(shù)據(jù)分為[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30]這5組，得到每組的頻數(shù)分別為4，7，5，2，2，…

點(diǎn)撥 分組時，每組所在區(qū)間一般是選擇“左閉右開”，而不是“雙閉”或“雙開”，防止某些數(shù)據(jù)漏選或某些數(shù)據(jù)被多次計(jì)入不同小組，從而導(dǎo)致頻數(shù)統(tǒng)計(jì)失誤.規(guī)避這種失誤，可以檢查各組頻數(shù)之和是否等于樣本容量.

二、將頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)“[頻率組距]”誤認(rèn)為是“頻率”

例2 在上例中，若另一個區(qū)也做了此項(xiàng)抽樣統(tǒng)計(jì)，樣本容量為100，得到的樣本頻率分布圖如下，其中第3小組頻率為0.34，第1，2，4，5小組頻率形成了公差為0.03的等差數(shù)列，求m值及第2小組的頻數(shù).

[m][5][10][15][20][25][30][班級購買保險人數(shù)]

錯解 由于各小組的頻率之和為1，且第3小組頻率為0.34，則第1，2，4，5小組頻率之和為0.66.這四個小組的頻率形成了公差為0.03的等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為[x]，則由等差數(shù)列前四項(xiàng)之和為0.66，可得[x]=0.12，則第二組的頻率為0.15，故[m]=0.15，….

正解 第2組頻率的計(jì)算過程完全正確，第2組的頻率等于0.15，但并不意味著[m]=0.15. 因?yàn)榈?組的矩形的面積才是第2組的頻率，故矩形的高=[0.155]=0.03，即[m]=0.03.

點(diǎn)撥 無論是初中學(xué)習(xí)的頻數(shù)分布直方圖，還是高中學(xué)習(xí)的頻率分布直方圖，都是用每個小矩形的面積而不是小矩形的高度表示該組的頻數(shù)和頻率.

雖然在等距分組時，[該組頻率該組小矩形的高度]=組距（定值），此時縱坐標(biāo)是[頻率組距]，所作出的頻率分布直方圖中，小組頻率越大，小矩形的面積越大，小矩形的高度越高，但在實(shí)際生活中，也有很多是不等距分組，此時縱坐標(biāo)表示“[頻率組距]”，所作出的頻率分布直方圖中，小組的頻率越大，小矩形的面積越大，但小矩形的高度不一定越高，所以務(wù)必明確頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)不是頻率.

當(dāng)然以“數(shù)據(jù)”為橫坐標(biāo)，“頻率”為縱坐標(biāo)，建立平面直角坐標(biāo)系，也能繪出每組的頻率分布，而且直觀明了，但這種圖不方便直觀呈現(xiàn)“累積頻率”，“高度與高度的累積”就遠(yuǎn)不如“面積與面積的累積”直觀，所以為了能更好地估計(jì)總體的密度曲線，頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)規(guī)定為“[頻率組距]”.

三、繪圖過程中丟失必要元素

例3 有一個容量為100的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，求從左往右第2，3組的頻數(shù)之和.

錯解 該頻率分布直方圖中，第2，3組的小矩形的縱坐標(biāo)都沒有標(biāo)記出來，缺失條件，得不到該組的頻率，無法計(jì)算該組的頻數(shù).

正解 雖然第2，3組的小矩形的縱坐標(biāo)都沒有標(biāo)記出來，但其它組的小矩形的縱坐標(biāo)均有標(biāo)記，即其它組的小矩形的面積均可以計(jì)算，而所有面積之和為1，則第2，3組面積和為1-（0.02+0.09+0.19）×2=0.4，即第2，3組的頻率之和為0.4，且樣本容量為100，則第2，3組頻數(shù)和為0.4×100=40.

點(diǎn)撥 明確頻率分布直方圖中包含的一些等量關(guān)系如：[頻數(shù)樣本容量]=頻率；各組頻數(shù)之和等于樣本容量；各小組頻率之和等于1；各個小矩形面積之和等于1；各小組的頻數(shù)之比等于各小組的頻率之比等于各小組的面積之比等.

總之，頻率分布直方圖是一種分析數(shù)據(jù)的有效工具，他能夠把大量數(shù)據(jù)的分布情況直觀的表現(xiàn)出來，但在圖中，我們已經(jīng)讀不出原始的數(shù)據(jù)信息，如果同學(xué)們能結(jié)合其他的統(tǒng)計(jì)工具分析數(shù)據(jù)，應(yīng)該能更準(zhǔn)確地估計(jì)總體。

[練習(xí)]

1. 測速儀在某段時間內(nèi)檢測過往200輛車的車速，作出汽車時速的頻率分布直方圖如圖所示，問該時間段內(nèi)時速不低于60km·h-1的汽車數(shù)量為多少？

2. 某市急救中心在過去上半年中，隨機(jī)抽樣80天，統(tǒng)計(jì)了每天的急救電話的個數(shù)，并將它們制成頻率分布直方圖如下，從左往右四個小矩形的高度比分別為1[∶]3[∶]4[∶]2. （1）求第4個小矩形的面積；（2）估計(jì)該市每天急救電話的平均個數(shù)是多少？

[0] [48][74][100][126][152][每天急救電話個數(shù)]

3. 為了解高中生的身體素質(zhì)狀況，某學(xué)校隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所有的數(shù)據(jù)整理后，繪制出如下頻率分布直方圖，第2，3小組的頻數(shù)和為20，（1）求樣本容量和第4組的頻數(shù)；（2）試估計(jì)該校學(xué)生一分鐘跳繩個數(shù)的中位數(shù)和平均值.

[0] [一分鐘跳繩個數(shù)][0.032][0.008][0.004][a][90][100][110][120][130][140][150]

4.某校高二年級共有學(xué)生1000名，其中走讀生750名，住宿生250名，現(xiàn)從該年級采用分層抽樣的方法從該年級抽取n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查.根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)每天晚上有效學(xué)習(xí)時間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組：[0，30），[30，60），[60，90），[90，120），[120，150），[150，180），[180，210），[210，240]，得到頻率分布直方圖如下圖.已知抽取的學(xué)生中每天晚上有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘的人數(shù)為5人.

（1）求n的值并求有效學(xué)習(xí)時間在[90，120）內(nèi)的頻率；

（2）如果把“學(xué)生晚上有效時間達(dá)到兩小時”作為是否充分利用時間的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的n名學(xué)生，有下列2×2列聯(lián)表。問：是否有97.5%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)？

（3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時間的原因，記抽到“有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為x，求x的分布列.

參考公式：[K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）]

1.[C]

2.（1）第4小組的面積為0.2.

（2）估計(jì)該市每天急救電話的平均個數(shù)是105.2.

3.（1）樣本容量為100，第4組的頻數(shù)32.

（2）該校學(xué)生一分鐘跳繩個數(shù)的平均數(shù)估計(jì)為126.6.

4.（1）根據(jù)題意設(shè)第n組的頻率為Pn（n=1，2，…，8），由題意每天晚上有效學(xué)習(xí)時間少于60分鐘的分別為第一組和第二組，由頻率分布直方圖知：