抽樣問題的處理方法

蔡卉

為了解決現(xiàn)實生活中我們碰到的很多問題，必須收集相關(guān)數(shù)據(jù)并加以分析. 然而從節(jié)約費用等方面考慮，一般是從總體中收集部分個體的數(shù)據(jù)得出結(jié)論，也就是要通過樣本情況去推斷總體情況. 為了使樣本具有好的代表性，設(shè)計抽樣方法時，最重要的是要將總體“攪拌均勻”，即使每個個體有相同的機會被抽中.

隨機抽樣即是建立在隨機原則基礎(chǔ)上，從總體中抽取部分進(jìn)行收集數(shù)據(jù)的方法，是統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)，常用抽樣方法有簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種. 這三種抽樣方法各有特點，在使用這三種方法時，只有準(zhǔn)確把握它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，才能準(zhǔn)確、合理地從總體中抽取樣本. 本文結(jié)合具體實例對三種抽樣方法的區(qū)別與聯(lián)系加以敘述.

一、簡單隨機抽樣

若總體中沒有差異明顯的層次，一般優(yōu)先考慮采用簡單隨機抽樣.當(dāng)總體容量較小時，宜用抽簽法；當(dāng)總體容量較大，樣本容量較小時宜用隨機數(shù)表法.

例1 為了考查某校的教學(xué)水平，抽取這個學(xué)校高三年級部分學(xué)生本學(xué)年考試成績進(jìn)行考查. 為了全面地反應(yīng)實際情況，采取以下三種方式進(jìn)行抽查：（已知該校高三年級共有20個教學(xué)班，并且每個班內(nèi)的學(xué)生已經(jīng)按隨機方式編號了學(xué)號，假定該校每班學(xué)生人數(shù)都相同.）

（1）從全年級20個班中任意抽取一個班，再從該班中任意抽取20人，考查他們的學(xué)習(xí)成績；

（2）每個班都抽取1人，共計20人，考查這20名學(xué)生的成績；

（3）把學(xué)生按成績分成優(yōu)秀、良好、普通三個級別，從中共抽取100名學(xué)生進(jìn)行考查.（已知若按成績分，該校高三學(xué)生中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人.）

上面三種抽取方式中各自采用何種抽樣方法？

解析 第一種情況由于總體樣本較少，宜采用簡單隨機抽樣；

第二種情況由于總體樣本較多，并且總體中沒有明顯差異，宜使用系統(tǒng)抽樣法和簡單抽樣法相結(jié)合；

第三種情況由于總體中由成績差異明顯的三層構(gòu)成，所以宜使用分層抽樣法和簡單隨機抽樣法.

二、系統(tǒng)抽樣

系統(tǒng)抽樣相對于簡單隨機抽樣最主要的優(yōu)勢就是經(jīng)濟性，系統(tǒng)抽樣方式比簡單隨機抽樣更為簡單，花的時間更少，并且花費也少.但使用系統(tǒng)抽樣方式最大的缺陷在于總體單位的排列上，系統(tǒng)抽樣所得樣本的代表性和具體編號有關(guān)（簡單隨機抽樣所得樣本的代表性與個體的編號無關(guān)），如果編號的個體特征隨編號的變化呈現(xiàn)一定的周期性，可能會使系統(tǒng)抽樣的代表性很差.

例2 某單位在崗職工人數(shù)為624人，為了調(diào)查工人上班時從離開家到單位平均所用的時間，決定抽取[10%]的工人進(jìn)行調(diào)查，試問最好采用什么抽樣方法完成這一抽樣？如何抽?。?/p>

解析 由于在崗職工沒有明顯差異，并且總體人數(shù)較多，故適宜采用系統(tǒng)抽樣法.首先，將在崗的職工624人用隨機方式編號：000，001，002，…，623；第二步，由題知應(yīng)抽取62人的樣本，應(yīng)為[62462]不是整數(shù)，所以應(yīng)從總體中剔除4人（由于總體容量較多，樣本容量較少，故剔除方法宜用隨機數(shù)表法），將余下的620人，重新編號為000，001，002，…，619分成62段，每段10人，在第一段000，001，002，…，009這十個編號中，用簡單隨機抽樣選取一起始號[i0]，則編號[i0，i0+10，i0+20，…，i0+61×10]為所取的樣本.

三、分層抽樣

若總體是由差異明顯的幾個層次組成，則宜用分層抽樣，當(dāng)抽樣比與各層的個體數(shù)的乘積是整數(shù)時，則該積就是該層的抽樣數(shù)；當(dāng)抽樣比與各層個體數(shù)的乘積不是整數(shù)時，則該積經(jīng)過四舍五入后就是該層的抽樣數(shù).

例3 選擇合適的抽樣方法抽樣，并寫出抽樣過程.

（1）有30個籃球，其中甲廠生產(chǎn)的有21個，乙廠生產(chǎn)的有9個，抽取10個入樣；

（2）有甲乙廠生產(chǎn)的30個籃球，其中一箱21個，另一箱9個，抽取3個入樣；

（3）有甲乙廠生產(chǎn)的300個籃球，抽取10個入樣；

（4）有甲乙廠生產(chǎn)的300個籃球，抽取30個入樣.

解析 應(yīng)結(jié)合三種抽樣方法的使用范圍和實際情況，靈活地使用各種抽樣方法解決問題.

（1）總體由差異明顯的幾個層次組成，故選用分層抽樣法.

第一步，確定抽取個數(shù).因為[1030]=[13]，所以甲廠生產(chǎn)的應(yīng)抽取21×[13]=7（個），乙廠生產(chǎn)的應(yīng)抽取9×[13]=3（個）；

第二步，用抽簽法分別在甲廠生產(chǎn)的籃球中抽取7個，在乙廠生產(chǎn)的籃球中抽取3個，這些籃球便組成了我們要抽取的樣本.

（2）總體容量較小，樣本容量也小，用抽簽法.

第一步，將30個籃球編號，編號為00，01，02，…，29；

第二步，將以上30個編號分寫在大小形狀相同的小紙條上，揉成小球，制成號簽；

第三步，把號簽放入一個不透明的袋子中，充分?jǐn)噭颍?/p>

第四步，在袋子中逐個抽取3個號簽，并記錄上面的號碼；

第五步，找出和所得號碼對應(yīng)的籃球即為要抽取的樣本.

（3）總體容量較大，樣本容量較小，宜用隨機數(shù)表法.

第一步，將300個籃球用隨機方式編號，編號為：001，002，003，…，300；

第二步，在隨機數(shù)表中隨機確定一個數(shù)作為開始，如第8行第29列的數(shù)“7”，任選一個方向作為讀數(shù)方向，比如向右讀；

第三步，從數(shù)“7”開始向右讀，每次讀取三位，凡不在001～300中的數(shù)跳過去不讀，遇到已經(jīng)讀過的數(shù)也跳過去不讀，便可依次得到286，211，234，297，207，013，027，086，284，281這10個號碼，這就是所要抽取的10個樣本個體的號碼.

（4）總體容量較大，樣本容量也較大，宜用系統(tǒng)抽樣方法.

第一步，將300個籃球用隨機編號，編號為：000，001，002，…，299，并均分成30段；

第二步，在第一段000，001，002，…，009這十個編號中用簡單隨機抽樣抽出一個（比如002）作為起始號碼；

第三步，將編號為002，012，022，…，292的個體抽出，組成樣本.

總體來看，三種抽樣方法在抽樣過程中，每個個體被抽到的機會都相等且都是不放回抽取. 簡單隨機抽樣是最基本的抽樣方法，適用于總體容量較少的樣本，從總體中逐個抽取；系統(tǒng)抽樣適用于總體容量較多但單個體差異不大的樣本，將樣本總體分成幾部分，再按預(yù)先定出的規(guī)則部分抽取；分層抽樣適用于由差異明顯的若干部分組成的樣本，將總體分成幾部分，每一部分按比例抽取. 在學(xué)習(xí)此部分內(nèi)容時，應(yīng)該明晰三者間的差別，從而在解題過程中有針對性地使用.

[練習(xí)]

1.一個單位有職工500人，其中未到35歲的有125人，35到49歲的有280人，50歲以上的有95人，為了了解這個單位職工與身體狀況有關(guān)的某項指標(biāo)，要從中抽取一個容量為100的樣本，試問：應(yīng)用什么方法抽??？能在500人中任意抽取100人嗎？能將100個份額均分到這三個部分中嗎？

2.某社區(qū)有500個家庭，其中高收入家庭125戶，中收入家庭280戶，低收入家庭95戶，為了調(diào)查社會購買力的某項指標(biāo)，要從中抽取一個容量為100戶的樣本記作①；某學(xué)校高一年級有12名女排球運動員，要從中選出3人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況，記作②. 那么完成上述兩項調(diào)查采用的抽樣方法分別是什么？

3. 某學(xué)校附近的一家小型超市為了了解一年的客流量情況，決定用系統(tǒng)抽樣法從一年中抽取52天作為樣本實施調(diào)查（即從每周抽取1天，一年恰好有52個星期），你覺得這樣的選擇合適嗎？為什么？

4. 假設(shè)甲、乙兩種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場上銷售量相等，為了解它們的使用壽命，現(xiàn)從這兩種品牌的產(chǎn)品中分別各隨機抽取100個進(jìn)行測試，結(jié)果統(tǒng)計如下：

（1）估計甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的概率；

（2）這兩種品牌產(chǎn)品中，某個產(chǎn)品已使用了200小時，試估計該產(chǎn)品是甲品牌的概率.

5.為了調(diào)查某學(xué)校的教學(xué)水平，將抽取這個學(xué)校高三年級的部分學(xué)生本學(xué)年的考試成績進(jìn)行調(diào)查。為了全面反映實際情況，采取以下三種方式進(jìn)行抽查（已知該學(xué)校高三年級共有20個班，并且每個班內(nèi)的學(xué)生按隨機方式編好了學(xué)號，假定該學(xué)校每班學(xué)生人數(shù)都相同）：

（1）先從全年級20個班中任意抽取1個班，再從該班任意抽取20人，考查這20人的學(xué)習(xí)成績；

（2）從每個班中各抽取1人，共計20人，抽查這20人的成績；

（3）把學(xué)生按成績分成優(yōu)秀、良好、普通三個級別，從中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查（若按成績分，則該校高三學(xué)生中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）.

根據(jù)上面的敘述，試分別寫出三種抽查方式各自抽取樣本的步驟.

[參考答案]

1. 適宜選用分層抽樣法.因為總體中的個體年齡有比較明顯的差異，所以不能在500人中任意抽取100人，又因為各部分的人數(shù)占總體的比例不同，所以也不能將這100個份額均分到三部分中.

2. 由于①中總體容量較大，并且家庭收入差異明顯，宜使用分層抽樣；②中總體容量較小，宜采用簡單隨機抽樣.

3.從顧客類型及顧客作息時間等方面進(jìn)行分析，看每周相同的一天是否能很好地反應(yīng)總體.這個選擇不合適，因為超市位于學(xué)校附近，其顧客多為學(xué)生，其客流量受到學(xué)生作息時間的影響，周末時，客流量會明顯減少，寒、暑假也會影響超市的客流量，這樣必然導(dǎo)致樣本不能很好地反映總體，正確的方法是利用簡單隨機抽樣或分層抽樣進(jìn)行抽樣，可以把一周分為7天，一年分為52層，每層用簡單隨機抽樣的方法，抽取適當(dāng)?shù)臉颖?

4.（1）甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的概率為[14].

（2）已使用了200小時的該產(chǎn)品是甲品牌的概率為[1529].

5.第一種抽樣方式的步驟如下：

第1步，在這20個班中用抽簽法任意抽取1個班；

第2步，從這個班中用簡單隨機抽樣的方法抽取20名學(xué)生，抽查其考試成績.

第二種抽樣方式的步驟如下：

第1步，在第1個班中，用簡單隨機抽樣的方法抽取一名學(xué)生（其學(xué)號為a）；

第2步，在其余的19個班中，選取學(xué)號為a的學(xué)生，共計20人.

第三種抽樣方式的步驟如下：

第1步，分層.因為若按成績分，其中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取樣本時，應(yīng)把全體學(xué)生分成3層；

第2步，確定各層抽取的人數(shù).因為樣本容量與總體的個體數(shù)之比為100∶1000=1∶10，所以在各層抽取的個體數(shù)依次為15，60，25；

第3步，按層次分別抽取.分別在優(yōu)秀生、良好生、普通生中用系統(tǒng)抽樣的方法各抽取15人、60人、25人.