基于廣義流和廣義力的河流能耗率推導(dǎo)

趙麗娜，徐國賓

（天津大學(xué)水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津　300072）

基于廣義流和廣義力的河流能耗率推導(dǎo)

趙麗娜，徐國賓

（天津大學(xué)水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津300072）

基于非平衡態(tài)熱力學(xué)理論中局域熵產(chǎn)生和能耗函數(shù)的關(guān)系，以及能耗函數(shù)可以寫作不可逆過程中每個廣義流與其相應(yīng)的廣義力的乘積之和，構(gòu)造了河流的廣義力和廣義流，推導(dǎo)出河流的能耗函數(shù)數(shù)學(xué)表達式.通過對能耗函數(shù)做體積分，進而推導(dǎo)出河流的能耗率.從而避開使用眾多復(fù)雜的非平衡態(tài)熱力學(xué)和高等流體力學(xué)公式，過程簡便且易于理解.

河流；非平衡態(tài)熱力學(xué)；廣義流；廣義力；能耗率

河流是個開放的、復(fù)雜的動力系統(tǒng)，不僅具有自動調(diào)整功能趨向于動力平衡，而且河流內(nèi)部能量趨向于按照一定規(guī)律分配.國內(nèi)外許多學(xué)者曾從能耗率的角度去研究河流水流的運動規(guī)律，其中有美籍華裔楊志達和國內(nèi)徐國賓等學(xué)者.Yang等［1-5］利用河流的勢能與熱力學(xué)系統(tǒng)的熱能之間的類同，認(rèn)為河流中唯一有用的能量是它的勢能，并進一步假定河流中的勢能和高程分別相當(dāng)于熱力學(xué)系統(tǒng)中的勢能和絕對溫度，根據(jù)這些概念，提出了單位水流功率，并基于單位水流功率概念，給出了最小能耗率原理數(shù)學(xué)表達式.徐國賓等［6-9］基于非平衡態(tài)熱力學(xué)的最小熵產(chǎn)生原理，利用流體力學(xué)中的連續(xù)方程、運動方程和能量方程以及熱力學(xué)的吉布斯公式，經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推演得到了流體最小能耗率原理數(shù)學(xué)表達式，進一步完善了最小能耗率理論，同時指出最小能耗率原理等價于最小熵產(chǎn)生原理.

本文將基于非平衡態(tài)熱力學(xué)理論，構(gòu)造河流的廣義流和廣義力，推導(dǎo)出河流的能耗函數(shù)數(shù)學(xué)表達式，進而推導(dǎo)出河流的能耗率，從而避開使用眾多復(fù)雜的非平衡態(tài)熱力學(xué)和高等流體力學(xué)公式，使推導(dǎo)過程簡便且易于理解.

1　熵流和熵產(chǎn)生的回顧

當(dāng)系統(tǒng)存在有外力場且其內(nèi)部存在黏滯性流動時，單位體積中的熵平衡方程［10］為

式中：SV為熵密度，表示單位體積中的熵；t為時間；u為平均流速；jq為熱流；T為溫度；kμ為單位質(zhì)量的第k組分的化學(xué)勢；jk為單位質(zhì)量的第k組分的物質(zhì)流；Mk為單位質(zhì)量的第k組分的分子量；Fk為單位質(zhì)量的第k組分的質(zhì)量力；vk，λ為參與第λ個反應(yīng)的反應(yīng)物k的化學(xué)計量系數(shù).

一個系統(tǒng)的總熵隨時間的變化可以寫作

式中：S為系統(tǒng)的總熵；V為系統(tǒng)的體積；Ω為系統(tǒng)的表面積；JS代表通過單位面積的熵的交換速率，簡稱熵流；σ代表單位體積中熵產(chǎn)生的速率，即局域熵產(chǎn)生.

利用Gauss定律，由式（2）可得

比較式（1）和式（3）得到熵流和熵產(chǎn)生的表達式

其中，定義

式（4）和式（5）中的每一項都有明確的物理意義.式（4）右邊第1項代表由對流過程引起的熵流，第2項為由熱傳導(dǎo)引起的熵流，第3項為由擴散過程引起的熵流.

現(xiàn)在來專門研究一下式（5）.式（5）右邊的第1項與熱傳導(dǎo)有關(guān)，第2項和擴散過程有關(guān)，第3項和黏滯性流動有關(guān)，第4項和化學(xué)反應(yīng)有關(guān).值得注意的是式中每一項本身都是由兩個因子的乘積組成.其中的一個因子和不可逆過程的速率有關(guān)，例如熱流jq、擴散流jk、黏性應(yīng)力張量Π/T和化學(xué)反應(yīng)速率ωλ，這些速率因子可以稱為不可逆過程的廣義流，簡稱“流”；式（5）右邊各項中的另一個因子和引起相應(yīng)“流”的推動力有關(guān)，例如溫度梯度?（1/T）引起熱流，化學(xué)勢梯度-?（μk/T）以及外力MkFk/T引起擴散流，流速梯度-?u引起黏滯性流動，Aλ/T是化學(xué)反應(yīng)的推動力.這些和推動力有關(guān)的因子可以廣義地稱之為不可逆過程的廣義力，簡稱“力”.如果用Jk代表第k種不可逆過程的流，用Xk代表第k種不可逆過程的力，則式（5）可以寫作如下一般形式

這就是說，局域熵產(chǎn)生可以寫作不可逆過程的廣義流和相應(yīng)廣義力的乘積之和的形式.

2　基于廣義流和廣義力的河流能耗率推導(dǎo)

根據(jù)非平衡態(tài)熱力學(xué)，局域熵產(chǎn)生和能耗函數(shù)存在下列關(guān)系［10］

式中φ為能耗函數(shù).

在實際應(yīng)用中，可以認(rèn)為局域熵產(chǎn)生等價于能耗函數(shù)，則根據(jù)式（7），能耗函數(shù)也可以表示為

需要注意的是，構(gòu)造能耗函數(shù)的廣義流和廣義力的原則和構(gòu)造熵產(chǎn)生的廣義流和廣義力的原則一樣，只不過構(gòu)造能耗函數(shù)的廣義流和廣義力時，需要兩者的乘積具有能耗函數(shù)的量綱［ML-1，T-3］，其中M、L及T分別代表質(zhì)量、長度及時間.

一旦合理地確定了廣義力和廣義流之后，便可以由式（9）定量地計算由不可逆過程引起的能耗函數(shù).

2.1河流的廣義力和廣義流的選擇

河流中存在兩種流，即物質(zhì)流和能量流［11］.在不考慮熱交換的情況下，能量流是通過動量傳輸實現(xiàn)的，物質(zhì)流是通過擴散完成的.

眾所周知，單位體積的流體所具有的動量為uρ，將通過給定流體空間邊界面的流體動量通量定義為動量流，則動量流等于流體的動量uρ和質(zhì)量中心速度u的乘積［11］，即

式中ρ是水流密度.

流速梯度的存在將發(fā)生動量擴散，這類擴散由高速區(qū)指向低速區(qū)，于是動量流對應(yīng)的廣義力是沿著流向的梯度［10］，即

式中l(wèi)為流向的坐標(biāo)軸.

對于質(zhì)量流，定義為密度乘以速度，即單位時間內(nèi)擴散的質(zhì)量［11］

在河流中對應(yīng)于水流流動的驅(qū)動因子是重力.重力在l方向的分量為質(zhì)量流對應(yīng)的廣義力［11］，即

式中：g為重力加速度；i表示水面比降［12］，，對于平原河流，i的值很小時（i≤6°）sini=i［12］，于是得到

2.2量綱分析

在國際單位制中，對于力學(xué)問題，采用的3個基本量綱分別是長度、時間和質(zhì)量，即L、T、M制，廣義力和廣義流乘積的量綱都可以由長度、時間和質(zhì)量的量綱導(dǎo)出［12］.河流的動量流和動量力的乘積為，其量綱為河流的質(zhì)量流和質(zhì)量力的乘積為JmXm=ρu· gi，其量綱為，可以看出本文構(gòu)造的河流的廣義力和廣義流的乘積具有能耗函數(shù)的量綱.

2.3河流的能耗函數(shù)

根據(jù)式（9）可知，河流的能耗函數(shù)可以表示為

河流的水力比降［12］，則式（16）變?yōu)?/p>

式中：γ為水容重；J為水力比降.

對能耗函數(shù)求體積分，得到流體的能耗率的表達式為

沿水流方向取單位長度l=1，并且設(shè)在單位長度內(nèi)J是常數(shù)，則式（18）簡化為

式中：A為過流斷面；Q為流量.

設(shè)式（19）中，過水?dāng)嗝鏋槌?shù)，所以式（19）可以簡化為Φ=uJ.為了實用起見，對于大多數(shù)的天然河流，可以用水面比降i取代水力比降J［13］，因此楊志達定義的單位水流功率ui是式（19）的簡化和實用形式.

3　結(jié) 語

本文基于非平衡態(tài)熱力學(xué)理論，能耗函數(shù)等于每個廣義流與其相應(yīng)的廣義力的乘積之和，構(gòu)造了河流的廣義力和廣義流，進而推導(dǎo)得出河流能耗率表達式，該表達式與楊志達和徐國賓推導(dǎo)得出的能耗率形式一樣，但推導(dǎo)過程簡便且易于理解，從另一個角度再次證明了河流的能耗率公式的確是Φ=γQJ .

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［5］Yang C T，Song C C S. Theory of Minimum Energy andEnergy Dissipation Rate ［M］. Houston：Gulf Publishing Company，1986.

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Xu Guobin，Yang C T. Analysis of river bed changes based on the theories of minimum entropy production dissipative structure and chaos ［J］. Journal of Hydraulic Engineering，2012，43（8）：948-956（in Chinese）.

［7］徐國賓，練繼建. 流體最小熵產(chǎn)生原理與最小能耗率原理（Ⅰ）［J］. 水利學(xué)報，2003（5）：35-40.

Xu Guobin，Lian Jijian. Theories of the minimum rate of energy dissipation and the minimum entropy production of flow（Ⅰ）［J］. Journal of Hydraulic Engineering，2003（5）：35-40（in Chinese）.

［8］徐國賓，練繼建. 流體最小熵產(chǎn)生原理與最小能耗率原理（Ⅱ）［J］. 水利學(xué)報，2003（6）：43-47.

Xu Guobin，Lian Jijian. Theories of the minimum rate of energy dissipation and the minimum entropy production of flow（Ⅱ）［J］. Journal of Hydraulic Engineering，2003（6）：43-47（in Chinese）.

［9］徐國賓，練繼建. 河流調(diào)整中的熵、熵產(chǎn)生和能耗率的變化［J］. 水科學(xué)進展，2004，15（1）：1-5.

Xu Guobin，Lian Jijian. Changes of the entropy production and the rate of energy dissipation in river adjustment［J］. Advances in Water Science，2004，15（1）：1-5（in Chinese）.

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Li Rusheng. Non-Equilibrium Thermodynamics and Dissipative Structures［M］. Beijing：Tsinghua University Press，1986（in Chinese）.

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Wang Zheng. Analysis of river channel change with theory of dissipative structure ［J］. Scientia Geographica Sinica，1989，9（2）：173-180（in Chinese）.

［12］李家星，趙振興. 水力學(xué)［M］. 南京：河海大學(xué)出版社，2005. Li Jiaxing，Zhao Zhenxing. Hydraulics ［M］. Nanjing：Hohai University Press，2005（in Chinese）.

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（責(zé)任編輯：樊素英）

Derivation of Energy Dissipation Rate of River Based on Generalized Flux and Generalized Force

Zhao Lina，Xu Guobin
（State Key Laboratory of Hydraulic Engineering Simulation and Safety，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

Based on non-equilibrium thermodynamics，local entropy production is a function of energy dissipation function，and the latter can be written as the sum of the product of the generalized forces and the corresponding generalized flux of an irreversible process.In this way，once the generalized forces and the corresponding generalized flux of river are formed，the formula of energy dissipation function of river can be obtained.Energy dissipation rate of river system is obtained by volume integral for energy dissipation function.In the entire derivation，the use of many complex equations of non-equilibrium thermodynamics and advanced fluid mechanics can be avoided，making it simple and easy to understand.

river；non-equilibrium thermodynamics；generalized flux；generalized force；energy dissipation rate

TV147

A

0493-2137（2015）12-1126-04

10.11784/tdxbz201406020

2014-06-08；

2015-04-10.

國家自然科學(xué)基金創(chuàng)新研究群體科學(xué)基金資助項目（51321065）；國家自然科學(xué)基金資助項目（50679053）.

趙麗娜（1983—），女，博士研究生，neimengguzhaolina@163.com.

徐國賓，xuguob@sina.com.