探尋“井深”數(shù)

【摘 要】“蝸牛爬井”是一個(gè)古老而智趣的問題，表面上看不是很復(fù)雜，但它隱含的條件很“隱蔽”，不容易被發(fā)現(xiàn)，而且通過精心設(shè)計(jì)，“蝸牛從井口爬到井底只需要1小時(shí)”的答案讓人有一種特別爽心的感覺。本文從尋找這種精心設(shè)計(jì)出發(fā)，先給出真假“井深”數(shù)的定義，然后采用步步探尋的辦法，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并最終給出證明。

【關(guān)鍵詞】蝸牛爬井;“井深”數(shù);初探;再探

“蝸牛爬井”是一個(gè)古老而智趣的問題，也是一道小學(xué)奧數(shù)題。據(jù)說華羅庚教授有一次到中科大看望少年班的同學(xué)時(shí)，也給他們出了一道“蝸牛爬井”題，題目是這樣的：“井深11尺，蝸牛從井底爬向井口，它每小時(shí)向上爬5尺，休息1小時(shí)滑下來3尺。蝸牛每爬1小時(shí)要休息1小時(shí)，問：蝸牛從井底爬到井口需要多少小時(shí)？”這道簡單的題目當(dāng)然難不倒這些天才學(xué)生，大家眼睛都不用眨正確結(jié)果“7小時(shí)”就出來了。華教授又追問到：“這只蝸牛從井口爬到井底需要多少小時(shí)？”過了一會(huì)兒，只有一位同學(xué)給出了“1小時(shí)”的正確答案。

這個(gè)“1小時(shí)”是如何算出來的呢？蝸牛每小時(shí)爬5尺，休息1小時(shí)再滑下去3尺，還剩3尺需要小時(shí)，結(jié)果應(yīng)該是2小時(shí)，怎么成了1小時(shí)的呢？這就要從題目中隱藏的條件來說.“蝸牛每小時(shí)向上爬5尺，休息1小時(shí)滑下來3尺”說明：①蝸牛與井壁間存在每小時(shí)下滑3尺這樣的相對(duì)運(yùn)動(dòng);②蝸牛在向上爬時(shí)克服了這種相對(duì)運(yùn)動(dòng);③蝸牛每小時(shí)向上爬5尺，在平地上蝸牛每小時(shí)可以爬5+3=8尺，而在井壁上向下爬時(shí)每小時(shí)則可以爬8+3=11尺，所以正確結(jié)果應(yīng)該是“1小時(shí)”.這個(gè)問題的難點(diǎn)就是第二問，如果看成是“水中行舟”那問題就迎刃而解了.這個(gè)問題設(shè)計(jì)的巧妙之處除了有重要的隱含條件外，還有就是答案為“1小時(shí)”，這能讓解決問題的人有一種特別爽心的感覺.

帶著解決問題的快樂，我們會(huì)為“11尺”的“井深”數(shù)而拍案叫絕，隨之而來我們也會(huì)有這樣的思考：我們能不能再找一個(gè)或者幾個(gè)這樣絕妙的“井深”數(shù)呢？這些絕妙的“井深”數(shù)之間有沒有什么規(guī)律可尋？

1.定義

一般地，用a表示“井深”數(shù)，b表示蝸牛每小時(shí)平地爬行的距離，c表示蝸牛在井壁上休息1小時(shí)下滑的距離.如果a、b、c、d同時(shí)滿足下列條件：

①a、b、c、d都是正整數(shù)，且a≥4;

②a=b+c;

③d=。

則稱這個(gè)整數(shù)a為真“井深”數(shù)，否則a為假“井深”數(shù)。

這里需要說明的是：a等于1、2或者3顯然是沒有實(shí)際意義的;a=b+c是為了保證蝸牛從井口爬到井底的時(shí)間是1小時(shí);蝸牛從井底向上每小時(shí)爬行（b-c），休息1小時(shí)滑下去，兩小時(shí)實(shí)際上升的距離為（b-2c）即（3b-2a），井深a減去最后1小時(shí)向上爬行的距離（b-c），差為（2a-2b），所以要求d為整數(shù)。

2.初探

開始以為真“井深”數(shù)肯定有，但不會(huì)很密，它們的出現(xiàn)可能存在某種規(guī)律。我們就用Excel電子表格的“填充”功能，從a=4開始向上細(xì)細(xì)查找.例如查找到數(shù)15時(shí)，電子表格顯示如下：

這就說明15是真“井深”數(shù).查找到數(shù)18時(shí)，電子表格顯示如下：

這就說明18是假“井深”數(shù)。

通過初步的逐一查找，我們竟然發(fā)現(xiàn)真“井深”數(shù)多，假“井深”數(shù)少.在100以內(nèi)假“井深”數(shù)只有6，9，18，27，54和81.再把范圍擴(kuò)大到200以內(nèi)，僅增加了162這1個(gè)假“井深”數(shù).很顯然，我們不能再用這種方法查找了。

從已經(jīng)找出的這7個(gè)假“井深”數(shù)6，9，18，27，54，81和162來看，我們不難發(fā)現(xiàn)它們存在規(guī)律性，其中的6，18，54，162是以6為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列;9，27，81也是一個(gè)公比為3的等比數(shù)列。如果假“井深”數(shù)真是以這樣的規(guī)律出現(xiàn)，那么接下來的幾個(gè)假“井深”數(shù)就應(yīng)該是243，486，729，1458，2187…。我們把這前面的5個(gè)數(shù)也用電子表格進(jìn)行了驗(yàn)算，發(fā)現(xiàn)確實(shí)是假“井深”數(shù).因此，我們可以得到如下猜想：

形如2·3n或者3n+1（n=1，2，3，…）的數(shù)是假“井深”數(shù)，且僅有這些數(shù)是假“井深”數(shù)。

3.再探

雖然我們已經(jīng)找到了一些假“井深”數(shù)，似乎也發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律性，但要支撐上面的猜想我們還需要拿出更多的證據(jù)。

我們基于Windows7操作系統(tǒng)平臺(tái)，在Visual Studio ?2010集成開發(fā)環(huán)境中，使用C#語言，開發(fā)了一個(gè)驗(yàn)證程序，當(dāng)我們輸入一個(gè)驗(yàn)算值，例如10000時(shí)，這個(gè)驗(yàn)證程序就迅速計(jì)算出4到10000（含4和10000）之間的所有假“井深”數(shù)為6，9，18，27，54，81，162，243，486，729，1458，2187，4374，6561。我們利用這個(gè)驗(yàn)證程序查找了1000000以內(nèi)的所有假“井深”數(shù)，結(jié)果與猜想完全吻合。

4.試證

我們首先來試證形如2·3n或者3n+1（n=1，2，3，…）的數(shù)是假“井深”數(shù).

（1）若=2·3n（n=1，2，3，…），則由d=得

3db-2da=2a-2b

（3d+2）b=（2d+2）a

因?yàn)閐是正整數(shù)，d+2<3d+2，且3d+2中不含質(zhì)因數(shù)3，

所以是一個(gè)小于1的正分?jǐn)?shù)，且經(jīng)過充分約分后，分母一定含有非3的質(zhì)因數(shù)。

所以·3n一定不是整數(shù)，也即b一定不是整數(shù)。

所以2·3n（n=1，2，3，…）一定是假“井深”數(shù)。

（2）若a=3n+1（n=1，2，3，…），則由d=得

仿照（1）的證明我們不難得出b一定不是整數(shù)。

所以3n+1（n=1，2，3，…）也一定是假“井深”數(shù)。

5.求證

我們現(xiàn)在需要證明不小于4的形如2·3n或者3n+1（n=1，2，3，…）的數(shù)以外的數(shù)都是真“井深”數(shù)。采用分類討論的辦法，我們把“井深”數(shù)a分成三種情形：

第一種情況：a=3e+1（e=1，2，…），由d=得

取d=2e，則b=2e+1，b是整數(shù)，d也是整數(shù)。

所以a=3e+1（e=1，2，…）是真“井深”數(shù).

第二種情況：a=3e+2（e=1，2，…），由d=得

取d=e，則b=2e+2，b是整數(shù)，d也是整數(shù)。

所以a=3e+2（e=1，2，…）是真“井深”數(shù)。

第三種情況：a=3e+3（e=1，2，…），這時(shí)a是3的整數(shù)倍，

將a中的質(zhì)因數(shù)3全部提取出來，得到

a=p·3m，p、m均為正整數(shù)，且p不是3的倍數(shù)。

當(dāng)p=1時(shí)，m一定大于1，前面的試證已經(jīng)證明a是假“井深”數(shù);當(dāng)p=2時(shí)，前面的試證也已經(jīng)證明a是假“井深”數(shù)。p是其它滿足條件的整數(shù)又可以分為兩類情形，即p=3q+1或者p=3q+2（q=1，2，…）

（1）當(dāng)p=3q+1（q=1，2，…）時(shí)，由d=得

取d=2q，則b=（2q+1）·3m，b是整數(shù)，d也是整數(shù)。

所以a=（3q+1）·3m（q=1，2，…）是真“井深”數(shù)。

（2）當(dāng)p=3q+2（q=1，2，…）時(shí)，由d=得

取d=q，則b=（2q+2）·3m，b是整數(shù)，d也是整數(shù).

所以a=（3q+2）·3m（q=1，2，…）是真“井深”數(shù).

6. 結(jié)論

通過前面的試證和求證，我們可以得出結(jié)論如下：

形如2·3n或者3n+1（n=1，2，3，…）的數(shù)是假“井深”數(shù)，且僅有這些數(shù)是假“井深”數(shù)。也就是說我們前面的猜想是正確的。

【作者簡介】

吳曉進(jìn)（1967.04-），江蘇南通人，漢族，蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)系本科畢業(yè)，中央黨校經(jīng)濟(jì)學(xué)研究生畢業(yè)，南通市職教數(shù)學(xué)教科研中心組組長兼數(shù)學(xué)學(xué)科基地（就業(yè)方向）負(fù)責(zé)人，副校長，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向?yàn)槁殬I(yè)教育與職教數(shù)學(xué)教學(xué)改革。

（作者單位：江蘇省南通中等專業(yè)學(xué)校）