創(chuàng)意折疊桌加工參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

趙店，朱家明，繆靈均，廖夢雨

（1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 國際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

創(chuàng)意折疊桌加工參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

趙店1，朱家明1，繆靈均1，廖夢雨2

（1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 國際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

針對創(chuàng)意折疊桌設(shè)計(jì)加工參數(shù)，依據(jù)所給條件，綜合考慮桌子穩(wěn)定性、加工使用材料量等因素時(shí)確定最優(yōu)加工參數(shù)等問題，通過創(chuàng)建幾何空間、非標(biāo)準(zhǔn)單葉雙曲面函數(shù)的構(gòu)造、空間曲線擬合等方法，分別構(gòu)建非標(biāo)準(zhǔn)的桌子直紋曲面函數(shù)、多元函數(shù)極值等模型，使用MATLAB，CAD等軟件編程和繪圖，得到最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)的數(shù)學(xué)模型。

創(chuàng)意折疊桌；空間幾何；直紋曲面；單葉雙曲面；多元函數(shù)；MATLAB；CAD

創(chuàng)意平板折疊桌的創(chuàng)意最初來自于荷蘭設(shè)計(jì)師obert van Embricqs［1］。桌子中巧妙地利用了條狀機(jī)構(gòu)，讓它在需要的時(shí)候可以形成穩(wěn)定的三角支撐變成桌子，不需要的時(shí)候可以變回原來的平板狀態(tài)，具有折疊的功能，節(jié)約空間，收放自如。折疊桌的設(shè)計(jì)形式多種多樣，攜帶方便，便于裝卸搬運(yùn)，加工經(jīng)濟(jì)方便，這正是生產(chǎn)者所追求的。本文就所給平板折疊桌的相關(guān)參數(shù)，從定量的角度進(jìn)行建模分析，既給出了既定參數(shù)下直紋曲面的方程，又給出了在穩(wěn)固和用材少的情況下折疊桌的設(shè)計(jì)方案，并按顧客需求給出了合理的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案（詳細(xì)數(shù)據(jù)見2014全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題［2］）。

1　折疊桌的數(shù)學(xué)描述及分析

1.1研究思路

1.1.1建立三維坐標(biāo)

以桌面底面圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左側(cè)桌腿方向?yàn)閤軸，垂直桌腿的方向?yàn)閥軸，豎直方向?yàn)閦軸，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系。 根據(jù)桌腿的長度及寬度計(jì)算出各個(gè)桌腿、切割處、鋼筋等端點(diǎn)的坐標(biāo)。根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系求解出點(diǎn)與點(diǎn)之間，線與線之間的距離及以下問題。

圖1　空間直角坐標(biāo)示意圖

1.1.2動(dòng)態(tài)變化說明

鋼筋的變化過程可以看作是一根棍子圍繞與它平行的一條直線進(jìn)行圓周運(yùn)動(dòng)，故該鋼管的運(yùn)動(dòng)軌跡是以其中一組桌腳最外側(cè)兩根桌腿的連線為旋轉(zhuǎn)軸，最外側(cè)即最長木條與桌面連接處到鋼管固定處距離為半徑旋轉(zhuǎn)而成的圓柱體。木條開槽是在收起和折疊時(shí)起到固定作用，開槽長度決定桌子高度和穩(wěn)定性。在桌子收起作為普通木板時(shí)，鋼管剛好處于木板最中間位置；在完全折疊后，鋼管則剛好處于該木條的頂端。兩次最短木條連接處到鋼筋的距離差即為中間木條開槽長度：

1.2研究方法

1.2.1非標(biāo)準(zhǔn)直紋曲面函數(shù)模型

按照圖1的空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)各端點(diǎn)坐標(biāo)集為｛（Xm， Ym， Zm）（m=1， 2， …i， …j， …n）｝，則兩點(diǎn)之間距離S可表示為：

由于鋼管旋轉(zhuǎn)形成的圓柱面的母線與y軸平行，故其曲面方程［3］與y無關(guān)：

設(shè)一組桌腿最外側(cè)兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為?。▁α，yα）， B（xb， yb）；平板水平放置時(shí)鋼管兩個(gè)固定點(diǎn)及中點(diǎn)坐標(biāo)分別為C （xc， yc）， D （xd， yd）， N （xn， yn）；最短木條與桌面連接處（兩個(gè)端點(diǎn)，這里只考慮其中一個(gè)端點(diǎn)）的坐標(biāo)為M （xm， ym）；鋼管旋轉(zhuǎn)至底部時(shí)，兩個(gè)固定點(diǎn)及中點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)镃1（xc1， yc1）， D1（xd1， yd1）， N1（xn1， yn1）；則木條開槽長度l表示為：

記鋼管旋轉(zhuǎn)至某一狀態(tài)木條底端坐標(biāo)為｛（xi， yi）i = 1， …， 20｝，單葉雙曲面函數(shù)為：

根據(jù)單葉雙曲面函數(shù)構(gòu)建類單葉雙曲面函數(shù)：

MATLAB中使用程序計(jì)算出折疊桌上每個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，表1是一側(cè)桌腳在鋼管最終狀態(tài)下木條底部端點(diǎn)的坐標(biāo)。

表1　最終狀態(tài)桌腳端點(diǎn)坐標(biāo)值

利用MATLAB確定桌子折疊的最終狀態(tài)是：

在鋼管旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，直紋曲面方程［4］被確定為：

運(yùn)用MATLAB軟件畫出該折疊桌最外側(cè)桌腿旋轉(zhuǎn)角度分別為30°和75°時(shí)直紋曲面圖，見圖2、圖3。

圖2　折疊角度為30°折疊桌曲面圖

圖3　折疊角度為74°折疊桌曲面圖

1.3結(jié)果分析

觀察圖2和圖3的直紋曲面，可以看出隨著最外側(cè)桌腿旋轉(zhuǎn)角度的增大，該曲面的凹度更深，而且桌腳邊緣線形成的空間曲線在Z軸方向表現(xiàn)得更立體。

隨著最外側(cè)桌腿旋轉(zhuǎn)角度的增大，其直紋曲面的凹陷程度更深，曲面方程的常數(shù)項(xiàng)更小。

利用MATLAB工具，求解出M， N， N′點(diǎn)坐標(biāo)分別為M（25， 0， 0）， N（33， 5， 0， 0），N′（15.8， 0， - 24.99）。根據(jù)公式（1）求出槽的長度為：18.13 cm。根據(jù)表1最終狀態(tài)桌腳端點(diǎn)坐標(biāo)值畫出兩條桌腳邊緣線的空間曲線圖，見圖4。

圖4　桌角邊緣線空間曲線圖

桌角邊緣線投影在平面xoz上擬合的曲線方程為：

該擬合曲線的可決系數(shù)為0.9997。

投影在平面yoz擬合的曲線方程為：

該擬合曲線的可決系數(shù)為0.9935。

投影在平面xoy擬合的曲線方程為：

該擬合曲線的可決系數(shù)為0.9958。

3條擬合曲線在4次擬合情況下可決系數(shù)值都大于0.99，說明4次擬合曲線具有很高的代表性，能夠說明投影在平面內(nèi)曲線的趨勢。

2　折疊桌加工參數(shù)與穩(wěn)固性、用材少的關(guān)系

2.1研究思路

設(shè)桌子平鋪時(shí)總長度為2a，鋼筋到圓心的距離為x，圓桌面的半徑為r，總長度與兩條最外側(cè)桌腿的長度差為20 cm，用桌子平鋪時(shí)的俯視圖表示，見圖5。

當(dāng)桌腳旋轉(zhuǎn)至最低端時(shí)，最外側(cè)桌腿與中間位置的桌腿形成的是空間夾角。畫出兩條腿在平面xoz上的投影，投影見圖6。

圖5　俯視圖

圖6　投影圖

圖6中ΑB兩點(diǎn)所在的直線即為最短桌腿，CΑ兩點(diǎn)所在直線即為最長桌腿。根據(jù)鋼筋在最外側(cè)桌腿位置即旋轉(zhuǎn)角度可以確定鋼筋所在位置的豎坐標(biāo)z和橫坐標(biāo)x，從而得到Α點(diǎn)坐標(biāo)即中間桌腿旋轉(zhuǎn)后鋼筋的所在點(diǎn)坐標(biāo)。

2.2研究方法

根據(jù)坐標(biāo)間關(guān)系寫出Α點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式：?。?0 + （x-10） sinθ， 0， （x-10） cosθ ），B（r， 0， 0）其中

方程（2）中桌面高度和桌面直徑是給定的，但是在不同需求情況下其值是不斷變化的。將方程（2）用f （α， x）表示，對該二元函數(shù)求極值：

2.3確定加工參數(shù)

將問題二中要求的桌子高度和桌面直徑代入方程（2）中，得到：

使用MATLAB求出該二元函數(shù)取極值的結(jié)果：平板半長a 為84.07 cm，平板中心到鋼管的距離x為44.37 cm。

再使用問題一模型求解中間桌腿的凹槽長度為33.24 cm；最外側(cè)桌腿旋轉(zhuǎn)角度為70.9205°，中間桌腿旋轉(zhuǎn)角度為107.4866°，兩桌腿在平面xoz投影形成的夾角為11.45°。

3　平板形狀與折疊桌高度、桌腳邊緣線形狀之間的關(guān)系

3.1研究思路

桌面邊緣線反映了桌面的大致形狀，可以是圓形、橢圓形、菱形、跑道型［5］等。

桌腳邊緣線是一個(gè)空間曲線，桌腳邊緣線的確定也就是桌腿末端坐標(biāo)點(diǎn)的確定，進(jìn)而可以確定鋼筋的位置，桌子展開時(shí)每條桌腿所旋轉(zhuǎn)的角度。

設(shè)平板尺寸為2a×2b×2c，給定桌面高度為h，寬度2b，桌腿寬度d，則桌腿的個(gè)數(shù)為2b / d個(gè)，以平板的中心位置建立如圖1所示的三維坐標(biāo)系，則初始鋼筋位置為（x， 0，0）。

3.2研究方法

由桌子的側(cè)視圖圖5所示，分別求出每根桌腿的長度：

固定鋼筋與桌子底面的距離：

桌腿在運(yùn)動(dòng)過程中鋼筋運(yùn)動(dòng)的弧形軌跡：

第i根桌腿中鋼筋的坐標(biāo)為：

第i根桌腿木條開槽的長度：

由正余弦定理得：

得當(dāng)α在所限制條件的范圍內(nèi)取得最大值時(shí)，桌子的穩(wěn)固性最好，因?yàn)橹吸c(diǎn)與鋼筋在中間桌腿上的點(diǎn)形成一個(gè)穩(wěn)固的三角形，所以此時(shí)的桌子是最穩(wěn)固的，即為最優(yōu)解。

3.3桌面為跑道型的動(dòng)態(tài)分析

我們對問題第一問進(jìn)行深化探究，給定平板尺寸，使平板的長度增加為145 cm，在寬度和厚度不變的情況下增加桌面的面積，把原來圓形的桌面改寫成跑道形狀的桌面。修改最長桌腿與地面的夾角，用MATLAB運(yùn)行程序可得出桌子折疊的動(dòng)態(tài)變化過程，在這里我們只取變化過程中夾角為30°和75°時(shí)折疊桌的折疊狀態(tài)，見圖7和圖8。

圖7　折疊角度為30°折疊桌曲面圖

圖8　折疊角度為75°折疊桌曲面圖

4　結(jié)束語

該文對折疊桌動(dòng)態(tài)變化過程的描述不僅使用了多張反映動(dòng)態(tài)變化的圖片，還計(jì)算出桌腿在空間變化時(shí)兩個(gè)不同位置所對應(yīng)的類單頁雙曲面方程。巧妙地將穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化為角度問題，建立二元函數(shù)，進(jìn)而通過求極值，解得最優(yōu)參數(shù)，同時(shí)在考慮折疊桌穩(wěn)固的情況下設(shè)計(jì)出用材最少的設(shè)計(jì)模型，最后設(shè)計(jì)的跑道型折疊桌滿足了人口較多的家庭的需求，打破傳統(tǒng)的圓形桌面，設(shè)計(jì)美觀。

［1］ 可折疊成平板的桌子［EB/OL］.（2012-02-22）［2015-03-03］. http://www.ixiqi.com/archives/42782.

［2］ 2014年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題（14-09-11）［EB/OL］.（2014-09-11）.［2015-03-03］.http:// www.mcm.edu.cn/html_cn/block/c61dfec317d7a5bd9b2b8ef ed81c8af3.html.

［3］ 黃艷紅.二次曲面討論［J］.邢臺(tái)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2004（1）：15-16.

［4］ 沈守國，徐新成，趙中華.直紋曲面類零件的CAD/CAM技術(shù)研究［J］.制造業(yè)自動(dòng)化，2013（2）：8-11.

［5］ 韓佳成，Robert Van Embricqs.平板折疊邊桌［J］.設(shè)計(jì)，2012（8）：24.

A Research on the Optimization of Processing Parameters of Creative Folding Table

ZHAO Dian1， ZHU Jiaming1， MIAO Lingjun1， LIAO Mengyu2
（1.School of Statistics and Applied Mathematics， Anhui University of Finance and Economics，Bengbu Anhui 233030， China； 2.School of International Economic and Trade， Anhui University of Finance and Economics， Bengbu Anhui 233030， China）

The paper determines the first-rate process parameters for making creative folding table mainly based on present conditions and taking the stabilization of the table， the quantities of material and other factors into consideration. We construct the models that are non-standard ruled surface function and the extreme value of multivariate function respectively， and then use the software of MATLAB， CAD to write program and paint in order to get the mathematic model with the first-rate designing process parameters through setting up geometry space，atypical uniparted hyperboloid function and space curve fi tting.

creative folding table； space geometry； ruled surface function； uniparted hyperboloid function；multivariate function； MATLAB； CAD

TS664.01

A

1674 - 9200（2015）06 - 0069 - 05

（責(zé)任編輯 劉常福）

2015 - 03 - 03

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的非一致指數(shù)二分性及其數(shù)值模擬”（11301001）；安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)教研項(xiàng)目“數(shù)學(xué)建模競賽引領(lǐng)大學(xué)生科研創(chuàng)新的研究”（acjyzd201429）。

趙 店，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院2012級本科生。

朱家明，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院副教授，碩士，E-mail:zhujm1973@163.com。