廣義部分線性模型基于似然距離的局部影響分析

王越等

1.似然距離

為了對(duì)廣義部分線性模型作統(tǒng)計(jì)推斷，假設(shè)：對(duì)于響應(yīng)變量Y密度函數(shù)的積分，可以關(guān)于參數(shù)β在積分號(hào)下求倒數(shù)。可進(jìn)一步得到響應(yīng)變量Y關(guān)于興趣參數(shù)β的得分函數(shù)（β）、觀察信息陣-（β）和Fisher信息陣J（β）的表達(dá)式。

又l（）在處的Taylor展開可得：

l（）≈l（）+（）（-）+（-）（）（-）

≈2{（）（-）+（-）{-（）}（-）}。從而可得到（）=0，-（）≈J（）。因此似然距離可近似地表示為L(zhǎng)Di（β）≈（-）（）（-）

2.曲率

設(shè)原模型為M受到擾動(dòng)變?yōu)镸（ω）。l（θ）為模型M中隨機(jī)變量 Y的對(duì)數(shù)似然函數(shù)。模型M（ω）相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為l（θ/ω）。根據(jù)Cook（1986），可取LD（ω）=2[l（）-l（）]

容易得出LD（ω0）=0，并且LD（ω）在ω0處的一階導(dǎo)數(shù)也為0，因此 LD（ω）在ω0附近的變化情況應(yīng)取決于二階導(dǎo)數(shù)，即曲率。為了定義曲率，我們把方程z=LD（ω）改寫為如形式：π：α=，α在ω0處沿k方向（k=1）的影響曲率可表示為C（θ）=-2kk，=△。其中=，為l（θ）關(guān)于θ的二階導(dǎo)數(shù)，且以上各量均在 （，ω0）處計(jì)值。易見，Ck大的值有較強(qiáng)的局部影響。記kmax為使得Ck達(dá)到最大的方向，由于很難判斷Cmax為多大才表示模型的擾動(dòng)影響很大，而kmax的意義比較明確，并且通過散點(diǎn)圖（i，（kmax）i）可以很明顯的看出影響最大的分量，從而識(shí)別出是否從在異常值。

3.擾動(dòng)模型

②單個(gè)解釋變量擾動(dòng)模型：對(duì)于廣義部分線性模型考慮只有一個(gè)解釋變量擾動(dòng)的情形。

假設(shè)只擾動(dòng)矩陣X=（x1，...，xn）T的第t列Xt，即Xt擾動(dòng)為Xtω=Xt+stω，其中st為Xt的某種模。ω0=（0，...0）T表示模型沒有擾動(dòng)。 [科]