有限元及其在現(xiàn)代機(jī)械工程中的運(yùn)用

孫建民　徐冰晶

【摘要】有限元法最早是在變分原理的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，是一種在工程科學(xué)中經(jīng)常使用的高效率的計(jì)算方法，能夠成功解決很多復(fù)雜的計(jì)算問題和設(shè)計(jì)難題，如今已經(jīng)成為現(xiàn)代工程設(shè)計(jì)以及工程分析的重要工具和手段。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用與發(fā)展，有限元法獲得了更大的發(fā)展空間，成為CAE技術(shù)的一種，具有很大的優(yōu)越性。

【關(guān)鍵詞】有限元法；有限元分析軟件；發(fā)展與應(yīng)用

隨著市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的日益激烈，為了取得競(jìng)爭(zhēng)中的優(yōu)勢(shì)，很多企業(yè)都迫切想開發(fā)出成本低廉，性能優(yōu)良的產(chǎn)品，但以往的產(chǎn)品設(shè)計(jì)都是由專家根據(jù)自身經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行設(shè)計(jì)，制造出樣機(jī)后，通過反復(fù)試驗(yàn)，不斷優(yōu)化產(chǎn)品，最終才能投入生產(chǎn)，這樣的過程十分漫長(zhǎng)，并且會(huì)耗費(fèi)大量的人力、物力、財(cái)力。而有限元法可以省略或減少樣機(jī)的制造和試驗(yàn)的過程，降低產(chǎn)品的生產(chǎn)制造成本，為企業(yè)獲取更大的利潤(rùn)。

1.有限元法的應(yīng)用目的及特點(diǎn)

1.1有限元法的應(yīng)用目的

計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展帶來了一場(chǎng)革命，人們的思想觀念悄然轉(zhuǎn)變，工作方式與生活方式也與之前大不相同。在工程科學(xué)中，以虛擬樣機(jī)為代表的計(jì)算機(jī)輔助工程（CAE）廣泛應(yīng)用在工程分析與設(shè)計(jì)中，可以大大縮短產(chǎn)品的開發(fā)設(shè)計(jì)與試驗(yàn)過程，由于產(chǎn)品成本、產(chǎn)品從研制到推向市場(chǎng)所需的時(shí)間都與產(chǎn)品設(shè)計(jì)有關(guān)，因此，在工程科學(xué)中的運(yùn)用可以大大降低生產(chǎn)成本，為企業(yè)創(chuàng)造更多的效益。此外，CAE法還可以發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品制造中的潛在問題，有助于提高產(chǎn)品性能。CAE法包括有限元法（FEM）、邊界元法（BEM）、有限差分法（BEM）等，其中，有限元法是使用最為廣泛的一種，也是企業(yè)在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中制勝的一個(gè)重要工具，因此，在生產(chǎn)中使用有限元分析法可以適應(yīng)市場(chǎng)對(duì)產(chǎn)品瞬息萬變的要求，有助于提高企業(yè)的核心競(jìng)爭(zhēng)力。

1.2有限元法的特點(diǎn)

1.2.1有限元法的優(yōu)點(diǎn)。有限元法最初是在變分原理的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，因此在拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場(chǎng)中得到了廣泛應(yīng)用，之后，一些學(xué)者在研究流體力學(xué)時(shí)，使用最小二乘法以及加權(quán)余數(shù)法等也獲得了有限元方程，從而使有限元法的應(yīng)用范圍得以擴(kuò)展，能夠應(yīng)用到任何微分方程描述的各種物理場(chǎng)中。有限元法要優(yōu)于常規(guī)的力學(xué)方法，可以對(duì)各種各樣的復(fù)雜幾何形狀進(jìn)行模擬，并可以對(duì)非均質(zhì)的工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，求出近似解。有限元軟件基本上都具有較好的前處理和后處理技術(shù)，解題步驟呈現(xiàn)系統(tǒng)化、標(biāo)準(zhǔn)化的特點(diǎn)，還能夠迅速用圖形表示計(jì)算結(jié)果，可以用來對(duì)各種復(fù)雜材料之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系、荷載關(guān)系以進(jìn)行分析，并能夠?qū)Υ罅康脑O(shè)計(jì)方案進(jìn)行優(yōu)化。有限元法的每個(gè)單元本身都具有各自的插值函數(shù)，因此無需適應(yīng)于整個(gè)結(jié)構(gòu)的插值函數(shù)，使數(shù)學(xué)處理過程更加簡(jiǎn)化。

1.2.2有限元法的缺點(diǎn)。雖然有限元法應(yīng)用于工程科學(xué)中具有很大的優(yōu)勢(shì)，但是它依舊存在一些不足之處，包括計(jì)算耗時(shí)長(zhǎng)、消耗資源多、無法很好解決無限求解域問題等。目前最流行的有限元軟件是來自NSYS、ADINA、ABAQUS、MSC四個(gè)大公司的軟件產(chǎn)品，它們大多使用了網(wǎng)格自適應(yīng)技術(shù)，但是這個(gè)技術(shù)還不成熟，因而在軟件的實(shí)際應(yīng)用中，還需要使用者根據(jù)自身經(jīng)驗(yàn)來進(jìn)行網(wǎng)和密度的選擇。利用有限元法對(duì)工程問題進(jìn)行分析可以有效解決問題，但是如果使用者本身沒有理解這個(gè)工程問題，也就無法為結(jié)構(gòu)模型施加正確的約束和引入正確的邊界條件，也就無法構(gòu)建出合適的結(jié)構(gòu)模型。

2.有限元法的基本原理

使用有限元法進(jìn)行分析的第一步是“剖分”，也就是對(duì)目標(biāo)區(qū)域進(jìn)行分割，對(duì)其進(jìn)行離散化操作，使目標(biāo)區(qū)域離散成有限個(gè)元素的集合。對(duì)于桿系結(jié)構(gòu)來講，離散的單元是每一個(gè)桿件，對(duì)于連續(xù)體來講，離散的單元是各種形狀，進(jìn)行離散操作時(shí)，各個(gè)元素的形狀不受限制，可以任意選擇，一般來講，二維問題使用三角形單元或者是矩形單元，三維問題使用四面體或者是多面體。單元數(shù)量依照所需的計(jì)算精度而定，劃分的單元越小，描述就越精確，計(jì)算量也會(huì)相應(yīng)增大，因此要綜合考慮計(jì)算精度和計(jì)算量等因素，采用適當(dāng)?shù)木W(wǎng)格密度。第二步是進(jìn)行單元特性分析，就是將分割單元的任意點(diǎn)的未知函數(shù)都用這個(gè)分割單元中的形狀函數(shù)以及離散網(wǎng)格點(diǎn)上的函數(shù)進(jìn)行展開，建立一個(gè)線性插值函數(shù)，也就是進(jìn)行分片插值。第三步是求解近似變分方程。有限元法將區(qū)域離散成有限個(gè)單元之后，每個(gè)單元的場(chǎng)函數(shù)都是只包含有限個(gè)帶定節(jié)點(diǎn)參量的簡(jiǎn)單場(chǎng)函數(shù)，將這些簡(jiǎn)單場(chǎng)函數(shù)集合起來就能夠近似地代表整個(gè)連續(xù)體的場(chǎng)函數(shù)。根據(jù)能量方程等，建立起有限個(gè)待定參量的代數(shù)方程組，求解這個(gè)離散方程組的解就能夠得到有限元法的數(shù)值解。

3.有限元法在現(xiàn)代機(jī)械工程中的應(yīng)用

機(jī)械產(chǎn)品的生產(chǎn)往往是先制造出樣機(jī)，隨后進(jìn)行大量的樣機(jī)試驗(yàn)，在試驗(yàn)中不斷優(yōu)化機(jī)械性能，最后再投入生產(chǎn)，由于進(jìn)行樣機(jī)試驗(yàn)的成本比較高，而且試驗(yàn)?zāi)M的可靠性要高于計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，因此，有限元法在機(jī)械工程中的運(yùn)用比較少，往往只是對(duì)機(jī)械產(chǎn)品的關(guān)鍵件、重要件以及特殊零件進(jìn)行有限元分析。但是，隨著時(shí)代的變遷以及科技的發(fā)展，現(xiàn)代機(jī)械產(chǎn)品的制造精度以及性能需要達(dá)到更高的水平，因此，有限元法在現(xiàn)代機(jī)械工程中的應(yīng)用范圍也在逐步拓展。

在現(xiàn)代機(jī)械工程中，靜力學(xué)分析是有限元法在機(jī)械工程中最為常見的利用方式，主要是對(duì)二維或三維的機(jī)械結(jié)構(gòu)經(jīng)受荷載后的應(yīng)力、應(yīng)變和變形進(jìn)行分析。由于有限元法具有很強(qiáng)的通用性，因此在機(jī)械工程中被廣泛用于解決線性以及非線性問題，接觸分析以及屈曲分析都處于非線性分析，前者的應(yīng)用十分常見，主要是對(duì)兩個(gè)結(jié)構(gòu)物體之間發(fā)生接觸時(shí)的接觸面狀態(tài)、法向力等進(jìn)行分析，是一種狀態(tài)分析，而后者是用于確定結(jié)構(gòu)開始變得不穩(wěn)定時(shí)的臨界載荷和屈曲模態(tài)形狀，是一種幾何分析。模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析和瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析都屬于動(dòng)力學(xué)的研究范圍，前者主要研究結(jié)構(gòu)的固有頻率和自振型式等振動(dòng)特性，而后者主要是研究結(jié)構(gòu)對(duì)周期載荷和非周期載荷的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。在現(xiàn)代機(jī)械工程中應(yīng)用有限元法還包括各種有限元模型的構(gòu)建，例如協(xié)調(diào)元、混合元、雜交元以及擬協(xié)調(diào)元等，由于有限元法的應(yīng)用范圍十分廣泛，使用效果十分明顯，目前已經(jīng)有很多基于有限元分析的大型系統(tǒng)或者專用程序系統(tǒng)應(yīng)用到工程設(shè)計(jì)當(dāng)中，將有限元法與計(jì)算機(jī)輔助技術(shù)進(jìn)行結(jié)合，有助于進(jìn)行計(jì)算機(jī)輔助制造。

4.有限元軟件的發(fā)展趨勢(shì)

目前，商業(yè)的有限元軟件在工程科學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用，但是進(jìn)行有限元軟件二次開發(fā)的人卻比較少。這些種類繁多的有限元軟件都具有較好的處理能力，但是但是真實(shí)性與適應(yīng)性較差，因此在未來，有限元軟件的開發(fā)與研究會(huì)由單一物理場(chǎng)向多物理場(chǎng)綜合模擬以及相互作用模擬的方向發(fā)展，會(huì)更加注重整機(jī)模擬方式，軟件對(duì)非線性問題的求解能力會(huì)有所提升。在未來，有限元軟件的分析功能會(huì)逐步優(yōu)化，并會(huì)努力與其他綜合評(píng)估功能等進(jìn)行結(jié)合，不斷加強(qiáng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換能力以及設(shè)計(jì)集成，向與CAD或CAM無縫化集成的方向發(fā)展。此外，為了便于軟件的二次開發(fā)，有限元軟件會(huì)逐步實(shí)現(xiàn)智能化、本地化以及友好化，提高軟件的可視化能力和后處理數(shù)據(jù)輸出能力，使軟件的功能更為強(qiáng)大。

結(jié)語

有限元法一直處于不斷的探索與發(fā)展過程中，在生產(chǎn)中的應(yīng)用前景十分廣闊。在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)日益激烈的今天，使用有限元法提高企業(yè)的設(shè)計(jì)效率，對(duì)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行修改與優(yōu)化，可以縮短產(chǎn)品的開發(fā)時(shí)間，使企業(yè)更快地推出新產(chǎn)品，迅速搶占市場(chǎng)。目前，已經(jīng)有越來越多的企業(yè)以及技術(shù)人員意識(shí)到有限元法在企業(yè)生產(chǎn)中的重大作用，認(rèn)識(shí)到有限元法可以創(chuàng)造巨大的生產(chǎn)力，相信在不久的將來，有限元法定能取得更好的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

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