淺談空間向量的法寶

杜洪賓

空間線面位置關(guān)系，空間距離，空間角是立體幾何中常見的三類問題，是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。特別是新教材中引進(jìn)了空間向量的概念和知識(shí)后，拓寬了解答立體幾何的思路和方法，給解答立體幾何問題注入了新鮮的血液。而法向量作為向量家族中的一個(gè)特殊成員，在證明線面平行、垂直，求空間角和空間距離中越來越顯示出它的優(yōu)越性和靈活性。下面結(jié)合相關(guān)例題就法向量在解立體幾何題中的幾處妙用與大家共同分享。

一、法向量的定義

所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量。顯然一個(gè)平面的法向量有無數(shù)多個(gè)，它們是共線向量。

二、法向量的求解

求一個(gè)平面的法向量的坐標(biāo)，首先要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，其步驟如下：

1.設(shè)平面的法向量=（x，y，z）；

2.找出（求出）平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量=（a1，b1，c1），=（a2，b2，c2）；

3.根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x，y，z的方程組1·=0，·=0；

4.解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量的坐標(biāo)。

三、法向量的應(yīng)用

（一）利用法向量求二面角

設(shè)、是二面角α-1-β的兩個(gè)面α，β的法向量，則兩個(gè)法向量的夾角就是二面角的平面角或其補(bǔ)角的大小。

例1.如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=，求面ASD與BSC所成二面角的大小。

∴兩個(gè)法向量的夾角為；

故面ASD與BSC所成二面角為。

評(píng)析：1.因?yàn)樗蟮亩娼堑慕痪€在圖

中較難作出，所以用傳統(tǒng)的方法求二面角比較困難，向量法在這里就體現(xiàn)出它的特有的優(yōu)勢；

2.用法向量求解二面角時(shí)，將傳統(tǒng)求二面角的三步曲“找——證——求”直接簡化成了一步曲“計(jì)算”。這在一定程度上降低了學(xué)生的空間想象能力，達(dá)到不用作圖就可以直接計(jì)算的目的，更加注重對(duì)學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了新課改的精神；

3.向量法在解決二面角問題時(shí)，可能會(huì)遇到二面角的具體大小問題。所以，在計(jì)算之前先依題意直觀判斷一下所求的二面角的大小，然后根據(jù)計(jì)算取“相等角”或“補(bǔ)角”。

（二）利用法向量求點(diǎn)到平面的距離

評(píng)析：證明線面平行通常找線線平行或線面平行，但當(dāng)線或面不易找時(shí)，此類問題就不易證明了。就像此題E點(diǎn)位置不確定如何尋找線或面呢？在這里法向量為我們解決了這個(gè)難題，不去找而去算，這正是向量法的優(yōu)點(diǎn)。同時(shí)通過使用向量法，可使學(xué)生較牢固地掌握向量代數(shù)工具，從而豐富學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力。

當(dāng)然，法向量的應(yīng)用并不是一蹴而就的。我們也不能僅僅從教師角度出發(fā)為了應(yīng)用而硬引入法向量。對(duì)于任何內(nèi)容的講解和應(yīng)用都應(yīng)以學(xué)生的實(shí)際情況為出發(fā)點(diǎn)?？傊?，我們的教學(xué)是為學(xué)生服務(wù)的，一定要從學(xué)生的角度出發(fā)，符合學(xué)生的實(shí)際需求。

（責(zé)編 趙建榮）