微元法的思維方式方法的研究

摘 要：闡述了元素法的重要性，以定積分為例，詳細(xì)討論了應(yīng)用元素法的關(guān)鍵與難點(diǎn)及步驟，給出了用元素法求具體問題的實(shí)例。

關(guān)鍵詞：元素法

元素法是高職學(xué)校數(shù)學(xué)課程重要方法，是學(xué)習(xí)后續(xù)課程的重要工具。

一、直角坐標(biāo)系下元素法

用定積分來解決實(shí)際問題需要應(yīng)用微元法.何謂微元法？怎么應(yīng)用微元法？怎樣找“微元”？這是積分應(yīng)用的關(guān)鍵與難點(diǎn)，如果僅僅說：設(shè)想把區(qū)間[a， b]分成n個(gè)小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記作[x， x+dx]，求出相應(yīng)于這個(gè)小區(qū)間的部分量ΔU的近似值，如果ΔU能近似地表示為[a， b]上的連續(xù)函數(shù)在x處的值f（x）與dx的乘積，就把f（x）dx稱為量U的元素，這實(shí)際并沒有說清楚如何找到要求量U的微元，因?yàn)閷懗觥斑B續(xù)函數(shù)f（x）”是找微元的關(guān)鍵與難點(diǎn)，如果緊緊依靠微積分的基本思想：局部以“直”代“曲”、以“勻”代“變”，就很容易得到：

在[a， b]上任取一微小區(qū)間[x， x+dx]，在[x， x+dx]上“以勻（不變）代變”，即將區(qū)間[x， x+dx]對(duì)應(yīng)的U的局部量ΔU看作從x起是連續(xù)均勻變化的，從而用初等方法求出ΔU的近似值，即U的微元dU = f（x）dx。

因此，找微元的實(shí)質(zhì)是在局部小區(qū)間上將非均勻變化的量近似看作均勻變化的量，從而就可以用初等方法求出其近似值dU=f（x）dx，這就是所謂的微元。

比如，利用定積分來計(jì)算平行截面面積為已知的立體的體積。如圖1，一立體在區(qū)間[a， b]上是非均勻變化的，為求該立體的體積微元，在[a， b]上的一個(gè)小區(qū)間[x， x+dx]上以勻（不變）代變——認(rèn)為過該區(qū)間上各點(diǎn)所作的x軸的垂面截立體所得截面都與過點(diǎn)x所得到的截面A（x）（其面積也記為A（x），其中A（x）為x的連續(xù)函數(shù)）是相同的，這樣一來，區(qū)間[x， x+dx]所對(duì)應(yīng)的體積ΔV就可以近似看作以截面A（x）為底，高為dx的柱體，由初等數(shù)學(xué)的知識(shí)知，該柱體的體積：

dV（x） = A（x）dx

就是要求的體積微元。

二、極坐標(biāo)系下元素法

再比如，如圖2，為研究由射線θ = α，θ = β及曲線ρ = ρ（θ）所圍成的曲邊形的面積（即討論極坐標(biāo)系下曲邊形面積計(jì)算問題），在區(qū)間[α， β]上任取一個(gè)小區(qū)間[θ， θ+dθ]，該區(qū)間所對(duì)應(yīng)的曲邊ρ = ρ（θ）上各點(diǎn)到原點(diǎn)的距離本來是不同的，我們按照“以勻代變”的思維，認(rèn)為在該小曲線段上，從極角為θ的點(diǎn)起，各點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是保持不變的，即將該小區(qū)間所對(duì)應(yīng)的曲邊扇形近似看做以θ處的極徑ρ（θ）為半徑、中心角為dθ的圓扇形（圖2的陰影部分），它的面積的計(jì)算就屬于非常熟悉的初等方法了，該圓扇形的面積就是要求的面積微元。

同樣的道理，在計(jì)算平面區(qū)域或空間區(qū)域中的非均勻變化的量時(shí)，也是局部認(rèn)為是連續(xù)均勻變化的，以“直”代“曲”、以“勻”代“變”從而變成常量數(shù)學(xué)問題，用初等的方法求出局部近似值，就是要求量的微元.這樣來看，找微元就是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的問題了。

例：設(shè)有一平面薄板所占的閉區(qū)域是由圓周x2+y2=2及坐標(biāo)軸所圍成的位于第一象限內(nèi)的部分，其面密度為ln（1+x2+y2），求該薄板的質(zhì)量。

解：薄板的質(zhì)量

教學(xué)是創(chuàng)造性的勞動(dòng)，教師的任務(wù)不僅是要選擇一本好的教材，而且要組織好教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)造性地把知識(shí)傳授給學(xué)生，元素法教學(xué)將教科書中的知識(shí)進(jìn)行重新組合，再現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)發(fā)明過程，使整個(gè)教學(xué)具有條理性、啟發(fā)性與誘導(dǎo)性，并且能講授出有創(chuàng)見性的東西，使培養(yǎng)出來的學(xué)生真正是智能型、開拓型人才.

作者簡(jiǎn)介：陸毅，（1963–），男，工作于遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院，副教授。