淺談卷長(zhǎng)度的理論算法及應(yīng)用

柯成森

一、前言

以卷的方式存在的產(chǎn)品、半成品是極為常見的，例如膠卷、合成革卷、貝斯、離型紙、纖維布卷、紙卷、鋁卷、銅卷，等等。在產(chǎn)險(xiǎn)理賠中，常需要計(jì)算卷的長(zhǎng)度。

二、計(jì)算方法理論推導(dǎo)

1.阿基米德螺線法

由于卷是繞以r為半徑的軸芯一圈一圈卷起來(lái)的，每繞一圈卷半徑就增加δ。由此我想到了阿基米德螺線（圖1）。阿基米德螺線，亦稱“等速螺線”。當(dāng)一點(diǎn)P沿動(dòng)射線OP以等速率運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，該射線又以等角速度繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的軌跡稱為“阿基米德螺線”。這是首次由阿基米德在他著作《論螺線》中給出了定義。阿基米德螺線在極坐標(biāo)體系的一般方程是

ρ（θ）=ρ0+aθ

ρ代表阿基米德螺線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，θ為角度（弧度制），a為常數(shù)，螺距等于2πa，即Δθ=2π時(shí)，Δρ=2πa。設(shè)螺線的螺距為δ，則a=以此為數(shù)學(xué)模型，考慮到螺線繞一周徑向增大一個(gè)δ的特點(diǎn)，以卷起始點(diǎn)內(nèi)側(cè)離圓心距離r的位置作為螺線的起點(diǎn)，則方程為

ρ0=r，ρ（θ）=ρ0+θ

即ρ（θ）= r+θ

假設(shè)卷纏繞的圈數(shù)為n，根據(jù)圖2可知n=，求卷長(zhǎng)度就是計(jì)算螺線的弧長(zhǎng)，ρ（θ）對(duì)積分就是弧長(zhǎng)，θ使用弧度制。

這是利用阿基米德螺線極坐標(biāo)方程，求得的卷長(zhǎng)度計(jì)算公式。

2.面積法

如圖2所示，卷從A點(diǎn)卷至D點(diǎn)時(shí)平直卷到B點(diǎn)（即過(guò)B點(diǎn)作⊙O切線交于D點(diǎn)），AB即卷的厚度δ，B點(diǎn)卷至E點(diǎn)時(shí)平直卷到F點(diǎn)，C點(diǎn)是第2圈開始的地方，從F點(diǎn)到C點(diǎn)假設(shè)為以B點(diǎn)為圓心、δ為半徑的圓弧，以此類推。最后第n圈外緣交OX軸于G點(diǎn)，內(nèi)緣交OX軸于J點(diǎn)。則OA=OD=r，OJ=OH=R，nδ=R-r。

下面計(jì)算卷側(cè)面積。

設(shè)∠AOD=θ，θ采用弧度制，

圖1 阿基米德螺線示意圖 圖2 面積法示意圖

三、應(yīng)用

【實(shí)例1】某合成革廠的貝斯（合成革的中間產(chǎn)品）卷，卷中心是一根外徑8.9cm的鐵軸，貝斯卷外徑100cm，貝斯厚度1.4mm，問(wèn)該卷貝斯長(zhǎng)度為多少米？

根據(jù)公式①，計(jì)算貝斯長(zhǎng)度如下：

L=π（R2-r2）/δ=π（0.52-0.04452）/0.0014=556.56m

【實(shí)例2】貝斯卷外徑100cm，中心的鐵軸外徑8.9cm，該卷貝斯長(zhǎng)度為600米，現(xiàn)平放被水浸泡離外緣20cm。問(wèn)受損的貝斯長(zhǎng)度為多少？

設(shè)未受損的貝斯長(zhǎng)度為L(zhǎng)`，未受損處半徑為R`，則受損的貝斯長(zhǎng)度ΔL=L-L`，R`=0.5-0.2=0.3m

根據(jù)公式①，有L=π（R2-r2）/δ，L`=π（R`2-r2）/δ，

經(jīng)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)變換，有ΔL：L=（R2-R`2）：（R2-r2），即

ΔL=（R2-R`2）L/（R2-r2）=（0.52-0.32）*600/（0.52-0.04452）=387.07m， 即受損的貝斯長(zhǎng)度為387.07米。

四、結(jié)語(yǔ)

綜上，本文運(yùn)用阿基米德螺線的方程，求得卷的長(zhǎng)度計(jì)算公式為。也可運(yùn)用“面積法”得到計(jì)算公式，其中。后者在θ極小情況下可簡(jiǎn)化成公式①。

根據(jù)該公式，產(chǎn)險(xiǎn)公司理賠人員可以方便地計(jì)算受損卷的長(zhǎng)度，以確定財(cái)產(chǎn)損失的數(shù)量。如在水災(zāi)理賠中，可以通過(guò)對(duì)受水浸泡的卷外沿環(huán)尺寸的測(cè)量，計(jì)算出受損卷材的長(zhǎng)度。也可以根據(jù)相關(guān)參數(shù)，對(duì)火災(zāi)損毀的卷堆放空間進(jìn)行假想復(fù)原推演，用以評(píng)估實(shí)際損失情況。

（作者單位：中國(guó)太平洋財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)股份有限公司溫州分公司）