圓的切線問題探究

郝珍

摘 要：在初中知識結(jié)構(gòu)的基礎上，用方程的思想研究圓的切線的圖形特征。

關(guān)鍵詞：圓的切線；四點共圓

在初中數(shù)學中，對于圓的切線問題已經(jīng)有了初步的認識，知道過圓上一點有且只有一條切線，過圓外一點有兩條切線，并且兩條切線長相等.高中數(shù)學解析幾何模塊中，把四種圓錐曲線放在平面直角坐標系下，借助坐標，用方程的思想研究圓的切線的特征.

一、過圓上一點的切線方程

1.定理一：過圓O：[x2+y2=r2]上一點[M（x0，y0）]的切線方程是[x0x+y0y=r2].

分析：要證直線[x0x+y0y=r2]是圓O：[x2+y2=r2]的切線，只需證明直線[x0x+y0y=r2]過點[M（x0，y0）]，并且圓心O到直線的距離是r.

證明：由已知，點[M（x0，y0）]在圓O：[x2+y2=r2]上，所以[x02+y02=r2]，點[M（x0，y0）]代入直線[x0x+y0y=r2]，等式成立，所以點[M（x0，y0）]在直線[x0x+y0y=r2]上.圓心O到直線的距離[d=r2x20+y20=r].[∴]直線[x0x+y0y=r2]與圓O：[x2+y2=r2]切于點[M（x0，y0）].

2.定理二：過圓C：[（x-a）2+（y-b）2=r2]上一點[M（x0，y0）]的切線方程是[（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2].

證明：由已知，點[M（x0，y0）]在圓C：[（x-a）2+（y-b）2=r2]上，則[（x0-a）2+（y0-b）2=r2]，[∴]點[M（x0，y0）]在直線[（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2]上.又[∵kCM=y0-bx0-a]，直線的斜率[k=-x0-ay0-b].[∴k?kCM=-1]，

即直線[（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2]與圓C：[（x-a）2+（y-b）2=r2]切于點[M（x0，y0）].

二、過圓外一點的切線方程

過圓C：[（x-a）2+（y-b）2=r2]外一點[M（x0，y0）]的切線方程.

如圖1，過點[M（x0，y0）]作圓C的切線，切點分別為A、B，則

（1）[|MA|=|MB|]；

（2）[MA⊥AC，MB⊥BC]；

（3）點M、A、B、C在以線段MC為直徑的圓上，且點[M（x0，y0）]，點[C（a，b）]，所以，該圓的方程為[（x-x0）（x-a）+][（y-y0）（y-b）=0]；

⑷若令[|MC|=|d]，則[|AB|=|AM?r|d=r?1-r2d2]；

⑸方程[][（x-x0）（x-a）+（y-y0）（y-b）=0]與方程[（x-a）2+（y-b）2=r2]相減，得到直線AB的方程.

例.已知拋物線E：[y2=2px（p>0）]的準線與x軸交于點M，過點M作圓C：[（x-2）2+y2=1]的兩條切線，切點分別為A、B，[|AB|=423].

⑴求拋物線E的標準方程.

⑵過拋物線E的點N作圓C的兩條切線，切點分別為P、Q，若P、Q、O三點共線，求點N的坐標.

解析：⑴解答過程略，拋物線E的標準方程是[y2=4x].

⑵分析：利用N、P、Q、C四點共圓，得到圓的方程，直線PQ是兩圓的公共弦所在的直線，所以，再把兩圓想減，得到直線PQ的方程， 由直線過原點得點N的坐標.

解：設點[N（y204，y0）]，點C（2，0），由已知，N、P、Q、C四點在以CN為直徑的圓上，該圓的方程為：[（x-y204）（x-2）+y（y-y0）=0]，變形得：[x2+y2-（y204+2）x-y0y+y202=0]，圓C：[（x-2）2+y2=1]變形為：

[x2+y2-4x+3=0]，兩式相減得，直線PQ的方程為：[（y204-2）x+y0y+3-y202=0]，點O（0，0）代入得：[y0=±6]，[∴N（32，6）]或[（32，-6）].

一道數(shù)學題，經(jīng)過一番艱辛與苦思冥想解出答案后，我們應認真進行如下探索：命題的意圖是什么；考核哪些方面的知識和能力；驗證解題結(jié)論是否合理，命題所提供條件的應用是否完備；求解論證過程是否判斷有據(jù)，嚴密完善；本題有無其他解法；眾多解法哪一種最簡捷；把本題的解法和結(jié)論進一步推廣，能否得到普遍性結(jié)論，解此題的思路方法是什么等。

反思的目的在于深化對知識的理解，促進知識結(jié)構(gòu)的不斷分解組合，使思維有一個正確可靠的基礎.長期進行反思，還可培養(yǎng)學生對試題的鑒賞能力，對那些知識容量大，各知識間結(jié)構(gòu)聯(lián)系巧妙的試題產(chǎn)生美感，引起興趣。