用方程解決問題的“基礎(chǔ)、能力與思想”

摘 要：方程是學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)量關(guān)系過程中的一個(gè)飛躍與轉(zhuǎn)折點(diǎn)，列方程解決問題，打破了傳統(tǒng)的用算術(shù)方法的解答，讓學(xué)生經(jīng)歷用字母表示未知數(shù)并參與計(jì)算，使數(shù)量關(guān)系等在邏輯思維層面更加簡(jiǎn)單。列方程解決問題給學(xué)生又提供了解決問題的另一種策略，這種策略既是學(xué)生解決問題能力發(fā)展的需要。然而在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生的思考方式往往和代數(shù)思想存在著矛盾，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生主動(dòng)用方程解決問題的意識(shí)比較淡，方程思想扎根淺。這對(duì)小學(xué)生思維發(fā)展而言，在學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題的時(shí)候自然會(huì)遇到很多困惑。

關(guān)鍵詞：方程，基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)

從算術(shù)到代數(shù)，是學(xué)生認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系過程中的一個(gè)飛躍，也是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。用方程解決問題是小學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，列方程解決問題改變了以往解決逆思維題目用算術(shù)方法解答而學(xué)生很難理解的困惑，它符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和知識(shí)基礎(chǔ)，易于學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的遷移、結(jié)合正向思維正確解決問題。方程解決問題邏輯思維顯得更加簡(jiǎn)單順利但為什么學(xué)生不喜歡使用呢？原因出在哪里？我們調(diào)查一些學(xué)生了解出在的問題與困惑，歸納如下：格式要求太煩瑣、等量關(guān)系找不到、方程優(yōu)勢(shì)悟不到，我們根據(jù)教材的特點(diǎn)，依據(jù)學(xué)段目標(biāo)，學(xué)生的學(xué)情，針對(duì)以上現(xiàn)象，對(duì)列方程解決問題作了一些教學(xué)方法等的探索和嘗試。

一、 重視方程的來源基礎(chǔ)，為學(xué)生“愿學(xué)”掃平障礙

方程知識(shí)是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，而用“字母表示數(shù)”是列方程的基礎(chǔ)。因此教師要重視這部分內(nèi)容的教學(xué)，做一個(gè)有心人，結(jié)合新知學(xué)習(xí)，概念建立和練習(xí)設(shè)計(jì)等環(huán)節(jié)培養(yǎng)學(xué)生把未知數(shù)和已知數(shù)放在同等地位，逐漸培養(yǎng)學(xué)生“愿學(xué)”的意識(shí)。

（一）讓學(xué)生認(rèn)同用字母表示數(shù)或者表示關(guān)系

加法運(yùn)算定律、乘法運(yùn)算定律、減法性質(zhì)、除法性質(zhì)、計(jì)算公式等，如果這些讓學(xué)生用文字表述出來，大部分表述不清楚，有的時(shí)候還會(huì)混淆，非常難記。但是學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)后，如果將這些用字母表示出來，學(xué)生十分喜歡，因?yàn)橛米帜副硎竞?jiǎn)潔、明了，便于記憶。在這樣的訓(xùn)練與熏陶下，學(xué)生慢慢地被接受，也慢慢地喜歡上用字母表示數(shù)。

（二）讓學(xué)生經(jīng)歷構(gòu)建數(shù)量關(guān)系代數(shù)式的過程

1. 學(xué)會(huì)用字母表示關(guān)系

如：小明今年a歲，媽媽比小明大20歲，媽媽今年幾歲？a+20既表示媽媽的年齡，也表示媽媽比小明大20歲。從這里，學(xué)生發(fā)現(xiàn)含有字母的式子不僅可以表示數(shù)量也可以表示兩者之間的關(guān)系。這一過程，恰恰是列方程解決問題一個(gè)不可或缺的部分。學(xué)生在經(jīng)歷的過程中，學(xué)會(huì)用字母表示的同時(shí)理解并掌握它的意義，讓代數(shù)思想慢慢地融入學(xué)生的數(shù)學(xué)世界里。

五年級(jí)列方程解決問題是起始階段，因此在教學(xué)中，可設(shè)計(jì)一些練習(xí)，為列方程解決問題作鋪墊。練習(xí)內(nèi)容可設(shè)計(jì)如下：

用含有字母的式子表示下列數(shù)量關(guān)系。

①比x少20的數(shù)是（ ? ）。

②比x的5倍多3的數(shù)（ ? ）。

③c與9的和的8倍是（ ? ）。

④一支鋼筆x元，一塊橡皮y元。15支鋼筆需要（ ? ）元，30元能買（ ? ）塊橡皮。30支鋼筆和50塊橡皮一共（ ? ）元。

⑤小明家的書房的面積是n平方米，客廳的面積是書房的3倍，書房和客廳的面積一共是（ ? ）平方米?？蛷d的面積比書房多（ ? ）平方米。

雖然學(xué)生對(duì)方程有了一定的基礎(chǔ)，但六年級(jí)也不可忽視，因此也可設(shè)計(jì)以下內(nèi)容進(jìn)行練習(xí)：

①甲數(shù)是x，乙數(shù)是甲數(shù)的2/3，乙數(shù)是（ ? ）。

②一本故事書有x本，小紅看了這本書4/8，還有（ ? ）沒有看。

③六年級(jí)4個(gè)班共做了x面紅旗，其中1班做了1/6，2班做了2/9，3班做了4/15，1班和2班一共做了（ ? ）面，3班做了（ ? ）面，4班做了（ ? ）。……

這樣的練習(xí)，旨在讓學(xué)生慢慢地習(xí)慣將未知數(shù)參與列式。在訓(xùn)練中，學(xué)生的抽象概括能力得到提升，符號(hào)意識(shí)得到增強(qiáng)，為后續(xù)列方程解決問題打下基礎(chǔ)。

2. 經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語言敘述出代數(shù)式

培養(yǎng)學(xué)生把未知數(shù)x和已知數(shù)放在同等地位來分析，并能正確、熟練地列出代數(shù)式。因此，在課堂教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)化以下兩點(diǎn)：

（1）訓(xùn)練學(xué)生對(duì)代數(shù)式和數(shù)學(xué)語言進(jìn)行“互譯”。

例如：把下列代數(shù)式用數(shù)學(xué)語言表述出來：①5x-6，②5×6+4x。用代數(shù)式表示出下列數(shù)量關(guān)系：①x與8的和，②15與y的商，③x與9的積。

（2）訓(xùn)練學(xué)生把日常語言“翻譯”為代數(shù)式。

比如：“羊的只數(shù)比牛的5倍少28只”，先用數(shù)學(xué)語言表述出“比某數(shù)的5倍少28”，再用代數(shù)式表示，“5x-28”。其意義在于讓學(xué)生真正明白每個(gè)代數(shù)式所表示的實(shí)際意義，為學(xué)習(xí)列方程解決問題減緩了學(xué)習(xí)的坡度，化解部分難點(diǎn)，掃除其中的障礙。

二、 以構(gòu)建等量關(guān)系式培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)能力

列方程解決問題的關(guān)鍵是在于能根據(jù)實(shí)際問題找出數(shù)量間的相等關(guān)系，而同一個(gè)實(shí)際問題等量關(guān)系關(guān)系式變化很多。因此，教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)教給學(xué)生從實(shí)際問題中分析數(shù)量關(guān)系的方法，讓學(xué)生掌握基本規(guī)律，形成正確的解題思路。這樣不僅僅是學(xué)到列方程解決問題的本領(lǐng)，還學(xué)到了根據(jù)等量關(guān)系，選擇方法的一些技巧。

（一）培養(yǎng)學(xué)生尋找等量關(guān)系的能力

培養(yǎng)學(xué)生尋找等量關(guān)系是基礎(chǔ)的能力。分析數(shù)量關(guān)系是列方程解決問題的關(guān)鍵，著力培養(yǎng)學(xué)生尋找等量關(guān)系的能力是教學(xué)的重點(diǎn)。

1. 從常見數(shù)量關(guān)系中尋找等量關(guān)系

如：路程=時(shí)間×速度，工作總量=工作效率×?xí)r間，總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，以及各種形體周長的計(jì)算公式。經(jīng)常性的復(fù)習(xí)一些常見的等量關(guān)系，有利于學(xué)生列方程時(shí)尋找等量關(guān)系。

此外，還可以從常見的“和、差、倍、分”問題入手尋找等量關(guān)系。教材中最基本最常見的數(shù)量關(guān)系：?jiǎn)蝺r(jià)×數(shù)量=總價(jià)、速度×?xí)r間=路程、速度和×?xí)r間=路程、工作效率×工作時(shí)間=工作總量等，這幾個(gè)數(shù)量其實(shí)與生活息息相關(guān)，理解起來比較容易。

2. 利用數(shù)形結(jié)合尋找等量關(guān)系

數(shù)和形在客觀世界中是不可分割地聯(lián)系在一起的，數(shù)形結(jié)合的思想常常貫穿在數(shù)學(xué)教材之中。一般地，學(xué)生在感知問題情景的基礎(chǔ)上，畫出示意圖，采用數(shù)形結(jié)合的方法分析數(shù)量關(guān)系。

如：小紅從家出發(fā)，以每小時(shí)4千米的速度向郊外走去，3小時(shí)后，小芳也從小紅家騎自行車以每小時(shí)10千米的速度也向郊外騎去，多長時(shí)間后小芳能趕上小紅？

通過畫線段圖，幫助學(xué)生進(jìn)一步抓住問題本質(zhì)，把數(shù)量間內(nèi)在的關(guān)系清楚地表達(dá)出來，從而更準(zhǔn)確地列方程就顯而易見了。

（二）訓(xùn)練學(xué)生列方程的能力

訓(xùn)練學(xué)生列方程的能力，最基本的就是訓(xùn)練學(xué)生用綜合分析法列方程，這是和尋找等量關(guān)系緊密結(jié)合進(jìn)行的。所謂綜合法列方程，就是先假定題目中某一未知數(shù)為x，根據(jù)這個(gè)數(shù)與其他的已知數(shù)、未知數(shù)的關(guān)系，列出代數(shù)式，再根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程。

1. 利用關(guān)鍵字句的等量信息列方程。

解決問題有時(shí)盡管簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的幾句話，但大部分題目會(huì)出現(xiàn)一些特殊的關(guān)鍵的句，如果能抓住這些關(guān)鍵句解題就會(huì)很順利。在教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生尋找關(guān)鍵句，并做一些特殊記號(hào)，會(huì)提高解題能力。

如：五年級(jí)教材例2。在教學(xué)中，首先讓學(xué)生找到關(guān)鍵句“白色皮共有20塊，比黑色皮的2倍少4塊”。然后讓他們寫出等量關(guān)系，通過分析、比較得出最簡(jiǎn)單的等量關(guān)系，再做一些通俗易懂的記號(hào)，列出最簡(jiǎn)單的方程。如“白色皮共有20塊，比黑色皮的2倍少4塊”這個(gè)關(guān)鍵句可寫成以下形式，雖不太嚴(yán)密，但確實(shí)很有效，學(xué)生理解容易。

2. 利用不變關(guān)系模型列方程。

利用所學(xué)的列代數(shù)式的基礎(chǔ)，將其最終用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表示出來，列出方程解決問題。例如在期末復(fù)習(xí)時(shí)出現(xiàn)這樣一道題目：一件標(biāo)價(jià)640元的服裝，在經(jīng)物價(jià)部門審核后，價(jià)格降至240元，仍可獲利20%。那么如果以原價(jià)出售，則商家可獲利多少元？

在這個(gè)問題中，涉及成本、原價(jià)與現(xiàn)價(jià)三種價(jià)格，單位“1”是成本，獲利20%其實(shí)是現(xiàn)價(jià)與成本比較的結(jié)果，而獲利是原價(jià)與成本比較的結(jié)果，因此，求成本是多少是這個(gè)問題解決的關(guān)鍵。

在解決這個(gè)問題的過程中，采用何種設(shè)元方法存在爭(zhēng)議。有的建議采用了直接設(shè)元法，設(shè)獲利為x，也有采用了間接設(shè)元法，并用640-x的形式表示出了進(jìn)價(jià)來計(jì)算，有些教師認(rèn)為這樣的同學(xué)在數(shù)量關(guān)系的掌握上更清楚。對(duì)這樣的觀點(diǎn)，我們不以為然。在分?jǐn)?shù)解決問題題中，我們一般設(shè)單位“1”為未知數(shù)來解題，這不僅因?yàn)轭}中分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的理解往往都是基于單位“1”的，而且在方程與函數(shù)觀念中，單位“1”的量往往作為題中的自變量，而其他的量是與其相對(duì)的應(yīng)變量，準(zhǔn)確尋找自變量是建立函數(shù)關(guān)系式的關(guān)鍵之所在（即成本的（1+20%）=售價(jià)，這樣的關(guān)系是不變的），是學(xué)生代數(shù)思維能力發(fā)展的一種體現(xiàn)。將簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化，這是小學(xué)方程認(rèn)識(shí)中的一大誤區(qū)，也正是前述學(xué)生的困惑所在。

三、 比較體驗(yàn)，感悟方程思想

由于受到知識(shí)水平和思維能力的限制，中、低年級(jí)學(xué)生解決問題的策略比較少，往往是以算術(shù)為主。學(xué)生已將這種方法視作經(jīng)典，甚至是唯一。而“列方程解決問題”的策略，這種思維方式與算術(shù)方法有很大不同，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中感受方程的思想，體會(huì)方程的價(jià)值，感悟到方程的魅力。

（一）正逆對(duì)比，體會(huì)優(yōu)勢(shì)

科技書有1200本，故事書比科技書的2倍少4本，故事書有多少本？

故事書有1200本，故事書比科技書的2倍少4本，科技書有多少本？

這一組一正一反的兩道相關(guān)類型的題目，互相受干擾。這兩個(gè)問題的關(guān)鍵句相同，因此等量關(guān)系也相同：科技書×2-4=故事書的本數(shù)。第2題中未知數(shù)與已知數(shù)都參與運(yùn)算，學(xué)生往往會(huì)列：1200÷2-4或1200÷2+4，等等。這一問題讓學(xué)生體會(huì)用算術(shù)法解決容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，而用方程解決則比較容易理解，方法簡(jiǎn)單，正確率高，這正是用方程解決問題的優(yōu)勢(shì)所在。

（二）難易比較，體會(huì)價(jià)值

方程最大的優(yōu)勢(shì)就是用它來解決問題的實(shí)用性。當(dāng)學(xué)生對(duì)方程有一定的基礎(chǔ)后，可練習(xí)一些簡(jiǎn)單的題目，讓他們發(fā)現(xiàn)算術(shù)和方程一樣的簡(jiǎn)單。當(dāng)學(xué)生沉浸在成功的喜悅里，然后一百八十度大轉(zhuǎn)彎，讓學(xué)生做一些比較復(fù)雜、有難度的題目。如：“丟番圖最著名的墓志銘”為例：“丟番圖的一生，幼年占六分之一，青少年占十二分之一，又過了七分之一才結(jié)婚，五年后生子，子先父四年而卒，壽為其父之半?！庇盟阈g(shù)計(jì)算的方法很難算出丟番圖的年齡，而用方程x/6+x/12+x/7+5+4+1/2x=x，由此知道丟番圖享年84歲。當(dāng)學(xué)生在用方程解決了某個(gè)實(shí)際問題的后，所帶來的愉悅感，“原來方程這么有用！”，這才是方程最直接、最真實(shí)的實(shí)用性表現(xiàn)。

（三）方法比較，感悟思想

方法比較一般是指對(duì)于同一題目用多種方法進(jìn)行解答，然后通過分析比較篩選找出最佳方法。解決問題學(xué)生一般會(huì)出現(xiàn)算術(shù)解或方程解。如：“雞兔同籠”，在教學(xué)中，筆者首先給予學(xué)生充分的探究空間，組織學(xué)生進(jìn)行討論研究，出現(xiàn)了列表、假設(shè)、方程，抬腿法等方法并一一寫在黑板上，然后利用學(xué)生生成的資源進(jìn)行比較分析。“你認(rèn)為哪種方法更容易理解？”學(xué)生在交流和碰撞中領(lǐng)悟到：“方程法”其實(shí)是把“未知數(shù)”看成“已知數(shù)”，順向思維，而“算術(shù)法”逆向思維，理解起來更困難一些，還容易出錯(cuò)，所以“方程法”比“算術(shù)法”更“好理解”。通過這樣的對(duì)比，有助于學(xué)生體會(huì)方程的價(jià)值，實(shí)現(xiàn)學(xué)生由“算術(shù)思維”向“代數(shù)思維”的轉(zhuǎn)變。

方程，它的引入讓學(xué)生踏上了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新領(lǐng)域，是數(shù)學(xué)思想方法認(rèn)識(shí)上的一次飛躍，它將使學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題的能力，以及思維的靈活性提高到一個(gè)新的水平。

參考文獻(xiàn)：

[1]惠君玲.例談小學(xué)數(shù)學(xué)列方程解應(yīng)用題的有效教學(xué)策略[J].新課程導(dǎo)學(xué)：八年級(jí)中旬，2016（3）：24-26.

作者簡(jiǎn)介：

潘梅紅，浙江省紹興市，浙江新昌縣七星小學(xué)。