談?wù)勅我庀鄬?duì)速度方向下的洛倫茲變換

李思農(nóng)

摘要：凡是提到相對(duì)論，都會(huì)只使用一種特殊的相對(duì)運(yùn)動(dòng)：相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向沿x軸。這種情況最簡(jiǎn)單，卻也容易引起歧義。所以本文將給出任意相對(duì)速度方向下的洛倫茲變換以供讀者參考、使用。

關(guān)鍵詞：相對(duì)論 任意相對(duì)速度 洛倫茲變換

一、引言

在許多文獻(xiàn)和參考書中，都提到了兩個(gè)做相對(duì)運(yùn)動(dòng)的慣性系，幾乎全部都選取了一個(gè)特殊的情況：相對(duì)速度v的方向與兩坐標(biāo)系的x軸方相同（如圖1）。這種情況下的洛倫茲變換關(guān)系是最簡(jiǎn)單的。盡管有簡(jiǎn)單的好處，但是在一般情況下，或者在講到四維動(dòng)量、四維力時(shí)，相對(duì)速度方向僅與x軸方向相同就顯得不太夠了，它展示出來的物理圖像過于“特殊情況”或者不完整，容易引起很多歧義。所以，本文將給出任意相對(duì)速度方向下的洛倫茲變換（如圖2），以供讀者參考、使用。

[z][y][x] [v] [z′][y′][x′]

圖1 兩個(gè)慣性系之間相對(duì)速度方向與x軸

方向相同，相對(duì)速度為v

[z][y][x] [v] [z′][y′][x′]

圖2 兩慣性系之間的相對(duì)速度方向

是任意方向

二、相對(duì)速度

如圖2顯示，相對(duì)速度方向是任意的，我們先分析一下相對(duì)速度。如圖3，藍(lán)色為相對(duì)速度矢量 。紅色為坐標(biāo)軸上的相對(duì)分量v1、v2、v3。我們采用逆變矢量方式：符號(hào)的指標(biāo)寫在上面，并不是表示次方的意思。綠色表示在 平面上的速度分量矢量和。

[y][x][v1] [] [v][v3][v2][v1][β][α]

圖3 藍(lán)色是相對(duì)速度矢量，紅色是其在坐標(biāo)軸上的分量，綠色是xy平面上的速度分量矢量和

很明顯最終的轉(zhuǎn)換公式中，這些分量全部都會(huì)出現(xiàn)，我們約定凡是兩個(gè)相同量相乘的連續(xù)寫出兩次，例如：v2v2表示兩個(gè)v2相乘，并不是四個(gè)v相乘，我們不再使用指數(shù)。

根據(jù)很簡(jiǎn)單的三角函數(shù)，我們可以得到關(guān)系：

三、坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)

對(duì)于任意相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度方向的情況，我們先將坐標(biāo)系進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，變成圖1的情況，然后利用簡(jiǎn)單的洛倫茲變換推出一般情況下的洛倫茲變換。這種旋轉(zhuǎn)分兩步進(jìn)行。會(huì)得到三個(gè)坐標(biāo)系，我們分別用紅、綠、藍(lán)三種顏色來表示（如圖3）。

從紅色坐標(biāo)系R（red）開始，先是繞z軸旋轉(zhuǎn)α角，得到綠色坐標(biāo)系G（green）。再繞綠色坐標(biāo)系的y軸旋轉(zhuǎn)β角，得到藍(lán)色坐標(biāo)系B（blue）。這個(gè)藍(lán)色坐標(biāo)系的x軸沿著相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的方向。

這里會(huì)有兩套這種坐標(biāo)，我們約定第一套的R、G、B坐標(biāo)分別為（ct，x，y，z）R、（ct，x，y，z）G、（ct，x，y，z）B。第二套的R′、G′、B′坐標(biāo)分別為

紅色坐標(biāo)系R與綠色坐標(biāo)系G轉(zhuǎn)換關(guān)系為

綠色坐標(biāo)系G與藍(lán)色坐標(biāo)系B轉(zhuǎn)換關(guān)系為

四、任意相對(duì)速度方向下的洛倫茲轉(zhuǎn)換關(guān)系

通過上面的準(zhǔn)備，現(xiàn)在可以進(jìn)入轉(zhuǎn)換關(guān)系的求解。大致過程如下，先從紅色坐標(biāo)系R開始，轉(zhuǎn)換成藍(lán)色坐標(biāo)系B，通過簡(jiǎn)單洛倫茲轉(zhuǎn)換變成藍(lán)色坐標(biāo)系B′，再通過逆轉(zhuǎn)換變回紅色坐標(biāo)系R′。

這兩個(gè)公式在研究四維力、四維動(dòng)量、電磁場(chǎng)的描述中將非常有用。而且只需將速度的第二與第三分量設(shè)為零，很容易轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄬?duì)速度沿x軸的簡(jiǎn)單情況。

至于加入虛指標(biāo)的情形，

由于逐漸被人們所淘汰，建議讀者不必過多使用。

參考文獻(xiàn)：

[1]B Schutz. A first course in general relativity[J]， 1985.

[2]Sean M. Carroll. Lecture notes on general relativity.

[3]Misner， Thorne， Wheeler. Gravitation[J].

[4]Cl′audio Nassif. A fundamental explanation for the tiny value of the cosmological constant[J].

[5]Tomohiro Harada. I： formulation and asymptotic analysis. Self-similar cosmological solutions with dark energy[J].

（責(zé)編 趙建榮）