數(shù)形結(jié)合，讓算理與算法交融

王芳

算理和算法在計(jì)算教學(xué)中相輔相成，缺一不可。算理和算法又十分抽象，對(duì)于以直觀形象思維為主的小學(xué)生來(lái)說(shuō)是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。數(shù)形結(jié)合思想是通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題的思想方法。有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以化抽象為直觀，幫助學(xué)生理解算理和掌握算法，提高計(jì)算教學(xué)效率。下面以“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”一課為例談?wù)劸唧w的做法。

一、以形解數(shù)，感知算理

基于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和思維，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)計(jì)算的算理和算法對(duì)于他們來(lái)說(shuō)很抽象、難以理解的。所以，為分?jǐn)?shù)找對(duì)應(yīng)的圖形，以圖形來(lái)表達(dá)分?jǐn)?shù)，解釋其中的算理，使學(xué)生在直觀操作中理解算理。

【片斷一】

1.探究1/2 ×1/4

師：像1/2 ×1/4 這樣的分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)問(wèn)題怎樣研究呢？如果用一個(gè)長(zhǎng)方形表示“1”，那么怎樣畫(huà)圖表示出算式中的分?jǐn)?shù)？請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈辉嚒?/p>

師：畫(huà)圖時(shí)先分了什么，表示了哪個(gè)分?jǐn)?shù)？

生：先把單位“1”平均分成2份，取這樣的1份。

師：接著怎么分的？又取了幾份？

生：再把這一份平均分成4份，取其中的1份。

課件演示：

師：通過(guò)畫(huà)圖我們知道了1/2 ×1/4 實(shí)際上是求1/2 的1/4 是多少。那1/2 的1/4 到底是多少呢？是怎么知道的？

生：只要把剛才平均分的虛線畫(huà)下去，也就是把空白部分一起平均分，就能看出是1/8 。

師：8在哪里？1在哪里？

2.探究1/2 ×3/4

師：怎樣在長(zhǎng)方形圖中表示出1/2×3/4？請(qǐng)大家畫(huà)畫(huà)看。

學(xué)生反饋：

師：1/2 的3/4 積是多少呢？怎樣修改這幅圖？

生：只要把整個(gè)大長(zhǎng)方形豎著平均分成4份，整個(gè)大長(zhǎng)方形一共平均分成了8份，所以1/2×3/4 =3/8 。

【教學(xué)分析】

在探究算理的過(guò)程中，以長(zhǎng)方形作為探究材料。第一次讓學(xué)生嘗試畫(huà)圖，理清畫(huà)圖的方法，得出“分了取，再分再取”的畫(huà)法，“以形助數(shù)”，使學(xué)生理解1/2×1/4 = 1/8 是怎樣得到的；第二次畫(huà)圖則更注重以形解數(shù)，在追問(wèn)中讓學(xué)生感知1/2×3/4 = 3/8 中3/8 的算理。兩次經(jīng)歷從數(shù)到形，再?gòu)男纬橄蟪鰯?shù)的過(guò)程，學(xué)生初步感知了算理。因此，在探究算理時(shí)，先教給學(xué)生準(zhǔn)確的畫(huà)圖方法，再引導(dǎo)學(xué)生以形解數(shù)，層層遞進(jìn)來(lái)感知算理。

二、以數(shù)思形，深化算理

畫(huà)圖操作初步理解算理后，常會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生很難用完整的數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)操作的結(jié)果加以提煉和概括，主要是因?yàn)閷W(xué)生由動(dòng)手操作到抽象概括缺少了“表象”這一支撐點(diǎn)。兒童的認(rèn)識(shí)規(guī)律，一般是從直接感知到表象，再到形成科學(xué)概念的過(guò)程，表象介于感知和形成科學(xué)概念之間，所以需要幫助學(xué)生建立這個(gè)支撐點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生由具體思維合理地向抽象思維轉(zhuǎn)化，從而深化算理。

【教學(xué)分析】

在深化算理的環(huán)節(jié)中，教師讓學(xué)生靜靜地“想一想，先畫(huà)什么？再畫(huà)什么？”看似多余的一個(gè)過(guò)程卻非常有必要。因?yàn)椤胺謹(jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”算理模型的構(gòu)建從具體思維向抽象思維轉(zhuǎn)化，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是具有難度的，如果沒(méi)有留給學(xué)生一個(gè)思考的空間，沒(méi)有借助“在腦中畫(huà)圖”這種半具體半抽象的表象操作，那么一些學(xué)生難以實(shí)現(xiàn)從形象思維到抽象思維的有效轉(zhuǎn)化。

三、以數(shù)質(zhì)形，向算法過(guò)渡

算理是算法的依據(jù)，它保證了計(jì)算的合理性和正確性；而算法是算理的概括，它為計(jì)算提供了快捷的操作方法。學(xué)生只有真正理解了算理和算法，才能靈活、準(zhǔn)確地進(jìn)行計(jì)算。因此，在對(duì)算理有了較深的理解后，要幫助學(xué)生從算理過(guò)渡到算法。

四、數(shù)形互釋?zhuān)伤惴?/p>

算理和算法是計(jì)算教學(xué)中不可分割的兩個(gè)方面，只有實(shí)現(xiàn)算理和算法的相互交融，才能促進(jìn)算法的有效生成。那么如何溝通“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系，促進(jìn)算理和算法的交融，讓學(xué)生更進(jìn)一步明晰“分母相乘、分子相乘”這一算理，從而有效生成算法呢？

【片斷二】

1.師：如果按照剛才的想法，3/5×4/7 怎樣計(jì)算？

生：5乘7作分母，3乘4作分子，積是12/35 。

師：我們利用長(zhǎng)方形圖來(lái)驗(yàn)證一下，該怎么分怎么??？

生：先把這個(gè)長(zhǎng)方形橫著平均分成5份，取3份；再豎著平均分成7份，這樣一共平均分成了35份。

師：再取4份，最終取了多少份？

生：最終取了12份。所以3/5 ×4/7 的積是12/35

2.師：只驗(yàn)證一題，還不能夠說(shuō)明。換一題再試一試，行嗎？

出示：5/6 ×7/8

師：從圖中你知道了什么？

生：6×8算的是把整個(gè)長(zhǎng)方形一共平均分成了多少份，5×7算的是最終取了多少份。

師：觀察剛才兩題的驗(yàn)證過(guò)程，想一想，分母相乘實(shí)際算的是什么呢？分子相乘又是算的什么呢？

生：分母相乘是求把單位“1”平均分成的份數(shù)，分子相乘就是取的份數(shù)。

師引導(dǎo)學(xué)生自主歸納出“分母相乘就一共分了多少份，分子相乘表示一共取了多少份”。

【教學(xué)分析】

上述教學(xué)中教師緊緊抓住引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證的過(guò)程，通過(guò)數(shù)形互釋?zhuān)蛲怂憷砗退惴ㄖg的聯(lián)系，有效促進(jìn)算理和算法的相互交融。用“數(shù)解釋形” ，讓學(xué)生明白一共35份是指把整個(gè)長(zhǎng)方形平均分成了5行7列，5×7就是35份；最終取了3×4=12份。由“形解釋數(shù)” ，使學(xué)生清晰了6×8算的是把整個(gè)長(zhǎng)方形一共分成了48份，5×7算的是最終取的35份，從而自然得出“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，分母相乘的積作分母，分子相乘的積作分子”的計(jì)算方法。學(xué)生再次經(jīng)歷了自主驗(yàn)證的過(guò)程，通過(guò)觀察、比較、驗(yàn)證、歸納，在算法形成與鞏固的過(guò)程中進(jìn)一步明晰算理，在真正理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法，從而形成計(jì)算技能。再次利用圖形來(lái)溝通算理和算法的聯(lián)系，在數(shù)形互釋中進(jìn)一步理解算理和掌握算法，使學(xué)生對(duì)計(jì)算方法做到知其然，更知其所以然。

在計(jì)算教學(xué)中，有的放矢地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法，為學(xué)生構(gòu)建一個(gè)算理算法交融的課堂，引導(dǎo)學(xué)生在算法探究中理解算理，在理解算理的基礎(chǔ)上形成算法，那么計(jì)算課堂同樣會(huì)是精彩的。

【作者單位：太倉(cāng)市城廂鎮(zhèn)第四小學(xué) 江蘇】