麥克斯韋方程組的二階一般拉氏量和新物理

郗篤富

【摘 要】經(jīng)典場(chǎng)論的發(fā)展部分地起源于麥克斯韋方程組的發(fā)現(xiàn)，雖然在有些現(xiàn)象的預(yù)測(cè)的上麥克斯韋方程組不夠準(zhǔn)確，但是沒(méi)有人能否認(rèn)它在經(jīng)典物理學(xué)中的地位。量子電動(dòng)力學(xué)等量子場(chǎng)論都是從系統(tǒng)的拉格朗日量出發(fā)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。通過(guò)計(jì)算，我們可以將麥克斯韋方程組和自由電磁場(chǎng)的拉格朗日量聯(lián)系在一起，并得到一個(gè)新的二階一般拉格朗日量。通過(guò)對(duì)這個(gè)拉格朗日量的分析，我們可以尋找研究其它更廣泛正則約束系統(tǒng)的方法。

【關(guān)鍵詞】麥克斯韋方程組 比安基恒等式 約束正則系統(tǒng)

麥克斯韋在前人的基礎(chǔ)上將電磁規(guī)律總結(jié)為方程組，以極其簡(jiǎn)潔的形式概括了相關(guān)的電磁規(guī)律，揭示了電磁相互作用的統(tǒng)一，并以此為基礎(chǔ)建立了經(jīng)典場(chǎng)論。雖然麥克斯韋的方程組很好地揭示了電場(chǎng)與磁場(chǎng)之間優(yōu)美的對(duì)稱性，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)了電磁波的存在，但是在其他一些現(xiàn)象的預(yù)測(cè)上仍存在一些缺陷。后來(lái)發(fā)展起來(lái)的量子電動(dòng)力學(xué)（QED）在一些方面的研究中逐漸取代了經(jīng)典場(chǎng)論。人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到：麥克斯韋方程組可以看作是量子力學(xué)在經(jīng)典情況下的近似。量子電動(dòng)力學(xué)是量子場(chǎng)論中發(fā)展時(shí)間最長(zhǎng)也最為成功的一個(gè)理論，它完美地結(jié)合了量子力學(xué)和廣義相對(duì)論。在電磁相互作用、帶電粒子的產(chǎn)生和湮沒(méi)等方面，量子電動(dòng)力學(xué)實(shí)現(xiàn)了理論預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的吻合，并給出了光與物質(zhì)相互作用的本質(zhì)[1]。在與此相關(guān)的理論研究中，研究者們一般都是從拉格朗日量出發(fā)，因此可以看出對(duì)于系統(tǒng)拉格朗日量的分析是大多數(shù)研究的基礎(chǔ)和前提。

1導(dǎo)出麥克斯韋方程組的拉格朗日量

無(wú)論是在愛(ài)因斯坦場(chǎng)還是阿貝爾規(guī)范場(chǎng)中，比安基恒等式都有很重要的應(yīng)用。從阿貝爾規(guī)范場(chǎng)的比安基恒等式出發(fā)，我們可以得到麥克斯韋方程組中的兩個(gè)基本方程。在這個(gè)過(guò)程中，我們需要慎重考慮指標(biāo)的升降問(wèn)題，因?yàn)樵陔妱?dòng)力學(xué)中，我們一般都將指標(biāo)寫(xiě)成下指標(biāo)，而在場(chǎng)論中，我們需要考慮指標(biāo)的收縮問(wèn)題。對(duì)于麥克斯韋方程組中的另外兩個(gè)方程，我們可以通過(guò)把比安基恒等式作為約束補(bǔ)充到自由電磁場(chǎng)的拉氏量中，并求解該拉格朗日量的運(yùn)動(dòng)方程得到。在這里的運(yùn)算中，我們要保持運(yùn)算的自洽性，也就是要由與前面得出兩個(gè)方程的定義相一致的條件得出麥克斯韋方程組的后兩個(gè)方程。對(duì)自由電磁場(chǎng)的拉氏量進(jìn)行補(bǔ)充后，我們得到了一個(gè)新的二階一般拉氏量。通過(guò)計(jì)算它的Hess矩陣，我們可以知道它的Hess矩陣是退化的，也就是說(shuō)這個(gè)拉格朗日量是奇異的。它所描述的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是一個(gè)存在固有約束的正則哈密頓系統(tǒng)。我們還可以將這一部分加入到旋量電動(dòng)力學(xué)的拉氏量中，得到的也是一個(gè)奇異拉氏量。旋量電動(dòng)力學(xué)拉格朗日量描述的是自旋1/2的粒子與電磁場(chǎng)相互作用的系統(tǒng)，它本身的拉氏量也是奇異的。含有奇異拉格朗日量的系統(tǒng)在自然界中很常見(jiàn)，引力場(chǎng)、電磁場(chǎng)、超對(duì)稱、超引力和超弦理論等都屬于這類系統(tǒng)[2][3]，所有規(guī)范不變的的系統(tǒng)也都是用奇異拉格朗日量來(lái)描述的。因此對(duì)于這樣一個(gè)系統(tǒng)的研究可以有廣泛的應(yīng)用。

2 拉格朗日量的特點(diǎn)

對(duì)于這種系統(tǒng)的量子化和正則對(duì)稱性質(zhì)的分析，目前已經(jīng)有了比較完整的闡述[4]。從狄拉克對(duì)動(dòng)力學(xué)齊次變量的分析開(kāi)始，Bergmann等人闡述了約束和不變性關(guān)系。他們的研究為約束系統(tǒng)的量子化奠定了基礎(chǔ)。Shanmugadhasan和Kamimura分別探究了奇異性對(duì)拉格朗日方程的影響和拉格朗日約束與哈密頓約束的關(guān)系。而Sudarshan和Mukunda等人，也曾經(jīng)從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，分析了狄拉克括號(hào)的結(jié)構(gòu)。現(xiàn)代物理學(xué)中的約束正則系統(tǒng)在現(xiàn)代量子場(chǎng)論中起到了很重要的作用。

3對(duì)拉格朗日量的分析

對(duì)于我們前面得到兩個(gè)的拉氏量，我們不能采取傳統(tǒng)或者簡(jiǎn)單的高階微商拉氏量的量子化方法。因?yàn)檫@個(gè)拉氏量中含有矢勢(shì)的一次項(xiàng)和二次項(xiàng)，是一個(gè)一般的二階拉氏量。傳統(tǒng)的正則量子化方法中，需要通過(guò)線性組合獲得最大數(shù)目的第一類約束，這種方法在這里不能使用。因?yàn)橥ㄟ^(guò)這個(gè)方法獲得的第一類約束形式可變，數(shù)目不能確定，會(huì)干擾我們?cè)诹孔踊械玫降慕Y(jié)果。而一般的高階微商場(chǎng)論的量子化方法是針對(duì)時(shí)間的高階項(xiàng)進(jìn)行的，與我們的拉格朗日量中含有的對(duì)矢勢(shì)的二階項(xiàng)有很大不同。通過(guò)正則動(dòng)量的定義，我們可以得到系統(tǒng)的初級(jí)約束，然后我們根據(jù)初級(jí)約束的自洽性條件，可以得到與一般約束系統(tǒng)不同的次級(jí)約束。

根據(jù)系統(tǒng)的初級(jí)約束、次級(jí)約束和正則Hamilton量，我們可以寫(xiě)出系統(tǒng)的總Hamilton量。只有在得到系統(tǒng)的所有初級(jí)約束和次級(jí)約束后，我們才可以判斷系統(tǒng)的約束屬于第一類約束還是第二類約束。通過(guò)分析，可以發(fā)現(xiàn)將比安基恒等式補(bǔ)充到電磁場(chǎng)的拉格朗日量中后得到的二階拉格朗日量在量子化過(guò)程中會(huì)得到三個(gè)初級(jí)約束中，兩個(gè)次級(jí)約束。初級(jí)約束中有一個(gè)第一類約束，兩個(gè)第二類約束。加上次級(jí)約束中一個(gè)第一類約束，我們就得到了兩個(gè)第一類約束。要完成該系統(tǒng)的量子化，確定系統(tǒng)的演化，針對(duì)兩個(gè)第一類約束，我們需要選擇兩個(gè)合適的規(guī)范固定條件進(jìn)行量子化。而在將比安基恒等式補(bǔ)充到旋量場(chǎng)的拉格朗日量中后，我們得到的二階拉氏量所描述的系統(tǒng)只有一個(gè)第一類約束。同樣，我們通過(guò)選取的規(guī)范固定條件可以將第一類約束轉(zhuǎn)變?yōu)榈诙惣s束，消除變量的規(guī)范自由度。

4結(jié)語(yǔ)

針對(duì)能導(dǎo)出麥克斯韋方程組的拉格朗日量，我們進(jìn)行了詳細(xì)的分析。通過(guò)上面的嘗試，我們得到了一系列的約束和規(guī)范固定條件。由所有約束與規(guī)范固定之間的泊松括號(hào)，我們可以得到一個(gè)泊松括號(hào)矩陣，這個(gè)矩陣是一個(gè)反對(duì)稱的方陣。利用該矩陣的逆矩陣就可以構(gòu)建狄拉克括號(hào)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的量子化。因此這個(gè)由約束和規(guī)范的泊松括號(hào)組成的矩陣必須是非退化的。也就是所有約束與規(guī)范固定之間的泊松括號(hào)構(gòu)成的矩陣的秩不能為零。在最后構(gòu)建出的狄拉克括號(hào)中，有些不為零的狄拉克括號(hào)，其中有些式子會(huì)與自由電磁場(chǎng)在輻射規(guī)范下的狄拉克括號(hào)相同，其它的則是我們得到的新結(jié)果。

參考文獻(xiàn)：

[1]Feynman， Richard （1985）. QED： The Strange Theory of Light and Matter. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12575-6.

[2]J.L. Anderson， P.G. Bergmann， Phys. Rev.83，1018（1951）.

[3]P.G. Bergmann， J. Goldberg， Phys. Rev.98，531（1955）.

[4]M. Henneaux， C. Teitelboim， Quantization of Gauge Systems（Princeton University Press， Princeton，1992）.