時(shí)域采樣定理MATLAB實(shí)現(xiàn)

吳順喜 李坤 趙聰 黃文晉 鄧文博 嚴(yán)東

【摘 要】取樣定理是把模擬信號(hào)變成數(shù)字信號(hào)取樣頻率選取的一條重要準(zhǔn)則。對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行等間隔采樣形成采樣信號(hào)，采樣信號(hào)的頻譜是原連續(xù)信號(hào)的頻譜以采樣頻率為周期進(jìn)行周期性延拓形成的。本文選取一模擬信號(hào)， 在 Matlab平臺(tái)上用不同的取樣頻率對(duì)其采樣，利用MATLAB實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)采樣、頻譜分析和采樣信號(hào)恢復(fù)，計(jì)算在臨界采樣、過(guò)采樣、欠采樣三種不同條件下恢復(fù)信號(hào)的誤差，從而驗(yàn)證時(shí)域采樣定理。

【關(guān)鍵詞】時(shí)域采樣定理 連續(xù)信號(hào) 頻譜分析儀 MATLAB

從模擬信號(hào)到數(shù)字信號(hào)，即從連續(xù)信號(hào)到離散信號(hào)的轉(zhuǎn)換都是通過(guò)離散采樣完成的，采樣頻率就是每秒鐘采樣的個(gè)數(shù)。根據(jù)香農(nóng)采樣定理，要保證信號(hào)不失真，采樣頻率要大于信號(hào)最高頻率的兩倍。

1 采樣定理介紹

假設(shè)離散時(shí)間信號(hào) 是通過(guò)對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào) 取樣獲得

取樣定理的敘述為： 如果 在 > 時(shí) ， = 0， 則連續(xù)時(shí)間信號(hào) 完全可以由離散時(shí)間信號(hào)重建恢復(fù) ， 其充要條件是：取樣頻率 ≥2 ； = 2被稱為連續(xù)時(shí)間信 號(hào)的奈奎斯特 （Nyquist） 頻率。當(dāng) <2時(shí) ， 則會(huì)在進(jìn)行 頻譜復(fù)制時(shí)產(chǎn)生重疊 ， 通常稱為混疊 （Aliasing）， 則連續(xù)時(shí)間信

號(hào)不能由它的取樣信號(hào)重建恢復(fù)。

2 運(yùn)用MATLAB舉例分析

下面選定一個(gè)連續(xù)信號(hào)，計(jì)算在臨界采樣、過(guò)采樣、欠采樣三種不同條件下恢復(fù)信號(hào)的誤差，從而驗(yàn)證時(shí)域采樣定理。

f1 = 'sin（2*pi*60*t）'

fs0 = caiyang（f1，40）； %頻率fs<2fmax，欠采樣

fr0 = huifu（fs0，40）；

Fs1 = caiyang（f1，120）； %頻率 fs=2fmax， 臨界采樣

fr1 = huifu（fs1，120）；

fs2 = caiyang（f1，160）； %頻率 fs>2fmax， 過(guò)采樣

fr2 = huifu（fs2，160）；

2.1創(chuàng)建一個(gè)caiyang.m文件

function fz = caiyang（fy，fs）

fs0 = 10000； tp = 0.1；

t = [-tp：1/fs0：tp]；

k1 = 0：999； k2 = -999：-1；

m1 = length（k1）； m2 = length（k2）；

f = [fs0*k2/m2，fs0*k1/m1]；

w = [-2*pi*k2/m2，2*pi*k1/m1]；

fx1=eval（fy）；

FX1 = fx1*exp（-j*[1：length（fx1）]'*w）；

figure

subplot（2，2，1），plot（t，fx1，'r'）

title（'原信號(hào)'），xlabel（'時(shí)間t（s）'）

axis（[min（t），max（t），min（fx1），max（fx1）]）

subplot（2，2，2），plot（f，abs（FX1），'r'）

title（'原信號(hào)幅度頻譜'），xlabel（' 頻率f（Hz）'）

axis（[-100，100，0，max（abs（FX1））+5]）

Ts = 1/fs；

t1 = -tp：Ts：tp；

f1 = [fs*k2/m2，fs*k1/m1]；

t = t1；

fz = eval（fy）；

FZ = fz*exp（-j*[1：length（fz）]'*w）；

subplot（2，2，3），stem（t，fz，'.'），

title（'取樣信號(hào)'），xlabel（'時(shí)間t（s）'）

line（[min（t），max（t）]，[0，0]）

subplot（2，2，4），plot（f1，abs（FZ），'m'）

title（'取樣信號(hào)幅度頻譜'），xlabel（'頻率f（Hz）'）

2.2創(chuàng)建一個(gè)huifu.m文件

function fh = huifu（fz，fs）

T = 1/fs； dt = T/10； tp = 0.1；

t = -tp：dt：tp； n = -tp/T：tp/T；

TMN = ones（length（n），1）*t-n'*T*ones（1，length（t））；

fh = fz*sinc（fs*TMN）；

k1 = 0：999； k2 = -999：-1；

m1 = length（k1）； m2 = length（k2）；

w = [-2*pi*k2/m2，2*pi*k1/m1]；

FH = fh*exp（-j*[1：length（fh）]'*w）；

figure

subplot（2，1，1），plot（t，fh，'g'），

st1 = sprintf（'由取樣頻率fs = %d'，fs）；

st2 = '恢復(fù)后的信號(hào)'；

st = [st1，st2]；title（st），xlabel（'時(shí)間 t（s）'）

axis（[min（t），max（t），min（fh），max（fh）]）

line（[min（t），max（t）]，[0，0]）

f = [10*fs*k2/m2，10*fs*k1/m1]；

subplot（2，1，2），plot（f，abs（FH），'g'）

title（'恢復(fù)后信號(hào)的頻譜'），xlabel（'頻率f（Hz）'）

axis（[-100，100，0，max（abs（FH））+2]）；

下面是利用MATLAB分析的圖1-圖6：

從圖1、圖3、圖5的連續(xù)傅里葉變換可以看出，信號(hào)f1的頻率為60Hz、，如果采樣頻率f≥120Hz就可滿足時(shí)域采樣定理。圖2、圖4、圖6分別為當(dāng)采樣頻率為40Hz、120Hz、160Hz時(shí)采樣恢復(fù)后的信號(hào)頻譜，當(dāng)f≥120Hz時(shí)，信號(hào)無(wú)明顯失真；而f<120Hz時(shí)，不滿足取樣定理，恢復(fù)后的信號(hào)頻譜失真。

3 結(jié)語(yǔ)

取樣定理表明，在一定條件下，一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)完全可以用該信號(hào)在等時(shí)間間隔上的采樣值來(lái)表示，并且可以用這些采樣值把信號(hào)完全恢復(fù)過(guò)來(lái)。這樣，采樣定理為連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)的相互提供了理論依據(jù)。在數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)廣泛應(yīng)用的今天，連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散處理顯得日益重要。

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