微積分在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活中的應(yīng)用

王興龍

（西京學(xué)院，陜西 西安 710000）

微積分在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活中的應(yīng)用

王興龍

（西京學(xué)院，陜西 西安 710000）

數(shù)學(xué)作為一種工具，借助這種工具可以解決現(xiàn)實(shí)生活的各種問(wèn)題。微積分作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，可以解決工作生活中沒(méi)有規(guī)律的一些問(wèn)題。為了更好的應(yīng)用微積分知識(shí)，本文通過(guò)闡述微積分知識(shí)，分析微積分在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，以及微積分在生活中的應(yīng)用，進(jìn)而為其他領(lǐng)域應(yīng)用微積分提供參考。

大學(xué)數(shù)學(xué)；微積分；應(yīng)用

隨著計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，微積分的應(yīng)用范圍進(jìn)一步拓寬。伴隨著函數(shù)概念的產(chǎn)生，以及科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，微積分應(yīng)運(yùn)而生。在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，微積分發(fā)揮著承上啟下的作用，可以說(shuō)微積分是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一項(xiàng)偉大創(chuàng)造。

1 微積分

在人類(lèi)發(fā)展史上，數(shù)學(xué)作為一項(xiàng)重要的工具，借助數(shù)學(xué)人們可以掌握其他自然學(xué)科知識(shí)，同時(shí)在日常工作生活中，借助數(shù)學(xué)人們可以非常便利地解決實(shí)際問(wèn)題。在大學(xué)數(shù)學(xué)中，微積分作為一個(gè)數(shù)學(xué)分支，其研究對(duì)象主要集中在函數(shù)的微分、積分，以及一些其他的內(nèi)容方面?？梢哉f(shuō)，微積分是大學(xué)數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)性學(xué)科，通常情況下，主要包括導(dǎo)數(shù)、變化率理論等內(nèi)容。微積分作為大學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，主要來(lái)源于實(shí)踐。在日常工作生活中，借助微積分可以解決最大化、最優(yōu)化等實(shí)際問(wèn)題。在組織開(kāi)展機(jī)械工作的過(guò)程中，借助微積分可以進(jìn)行圖形設(shè)計(jì)。在園藝施工方面，可以通過(guò)微積分對(duì)施工面積（可以是不規(guī)則圖形）進(jìn)行計(jì)算。在美術(shù)繪圖方面，借助微積分可以進(jìn)行繪圖操作。另外，在企業(yè)經(jīng)營(yíng)管理方面，利用微積分建立數(shù)學(xué)模型對(duì)未來(lái)的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。

綜上所述，微積分作為一種最為便捷的工具，廣泛應(yīng)用于人們的日常生活中。在日常的工作生活中，如果沒(méi)有出現(xiàn)大量的實(shí)際問(wèn)題，或者說(shuō)如果沒(méi)有數(shù)學(xué)家深入的研究分析，那么就不會(huì)出現(xiàn)當(dāng)前的微積分理論。在研究探索微積分理論的過(guò)程中，需要以實(shí)際情況為基點(diǎn)，對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象化處理，將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題?？梢哉f(shuō)，研究微積分的過(guò)程，就是推動(dòng)社會(huì)進(jìn)步的過(guò)程，在這一過(guò)程中，需要不斷提出新問(wèn)題，同時(shí)推動(dòng)數(shù)學(xué)向前發(fā)展，并且在一定程度上提出驗(yàn)證數(shù)學(xué)理論的標(biāo)準(zhǔn)體系。

2 微積分在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)涉及研究函數(shù)方面的內(nèi)容，在研究過(guò)程中，一般需要從量的角度對(duì)事物的運(yùn)動(dòng)變化進(jìn)行研究分析，這種研究方法被稱(chēng)為數(shù)學(xué)分析。從廣義上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)分析主要包括微積分、函數(shù)論等學(xué)科內(nèi)容。但是，為了便于研究分析，通常將數(shù)學(xué)分析等同于微積分，人為的混淆了數(shù)學(xué)分析與微積分之間的聯(lián)系。對(duì)于微積分來(lái)說(shuō)，其基本內(nèi)容主要涉及微分學(xué)、積分學(xué)等方面，如例1、2、3所示。其中，微分學(xué)主要涉及極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。而對(duì)于積分學(xué)來(lái)說(shuō)，主要包括定積分和不定積分等內(nèi)容。由于微積分具有較強(qiáng)的實(shí)踐性，從某種意義上可以說(shuō)，微積分是與應(yīng)用相互聯(lián)系的，比較有代表性的就是，利用微積分學(xué)、微分方程等，牛頓從萬(wàn)有引力定律導(dǎo)出開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律。此后，在微積分學(xué)的推動(dòng)下，數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)了快速的發(fā)展，同時(shí)也推動(dòng)了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)等學(xué)科的發(fā)展，并且，微積分在這些學(xué)科中的應(yīng)用范圍越來(lái)越廣，尤其是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，在一定程度上進(jìn)一步推動(dòng)了這些應(yīng)用的發(fā)展。

在解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)面臨恒力做功的問(wèn)題，對(duì)于這些問(wèn)題，我們可以利用物理學(xué)知識(shí)給予解決。但是，如果涉及到的力是變力，在這種情況下，我們就不能簡(jiǎn)單地用物理學(xué)知識(shí)解決了，這時(shí)需要借助微積分，通過(guò)對(duì)位移進(jìn)行無(wú)限細(xì)分處理，處理后的結(jié)果就是可以將細(xì)分后的最小單位視為恒力，然后根據(jù)物理公式進(jìn)行求解，最后對(duì)每個(gè)單位上的功進(jìn)行無(wú)限求和，所得結(jié)果就是變力所做總功。在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，這種方式經(jīng)常會(huì)用到。另外，在物體勻速直線運(yùn)動(dòng)中，需要分析位移、速度兩者之間的關(guān)系，如果速度是恒定的，那么可以通過(guò)s=vt進(jìn)行計(jì)算。但是，物體勻速運(yùn)動(dòng)在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中是不存在的，對(duì)于這種問(wèn)題如何確定位移、速度之間的關(guān)系呢？對(duì)此，可以用微積分進(jìn)行解決，將物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間進(jìn)行無(wú)限細(xì)分處理，當(dāng)細(xì)分到一定程度時(shí)，在每個(gè)小單位的時(shí)間內(nèi)速度幾乎不發(fā)生變化，在這種情況下，可以將其視為勻速直線運(yùn)動(dòng)，然后根據(jù)公式進(jìn)行求解，最后把所有的位移加進(jìn)行匯總，匯總結(jié)果就是總的位移。

通過(guò)上述分析，在處理變化的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般需要對(duì)變化的量進(jìn)行無(wú)限細(xì)分處理，然后在最小單位內(nèi)視為不變，最后按照恒定問(wèn)題進(jìn)行解決。

解：分項(xiàng)積分法，將函數(shù)2y=x在點(diǎn)x=1展開(kāi)，得

解：在求函數(shù)極限時(shí)，常常不能直接采用基本的函數(shù)極限公式求解，需要事先對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形，將其轉(zhuǎn)化成基本的函數(shù)極限公式類(lèi)型的函數(shù)，然后求解。

3 微積分在生活中的應(yīng)用

在日常工作生活中，我們遇到的任何問(wèn)題都可能成為數(shù)學(xué)的研究對(duì)象。實(shí)際上，生活的各個(gè)方面都隱含著微積分知識(shí)，只有通過(guò)不斷地挖掘，我們才能真正看清現(xiàn)象的本質(zhì)，同時(shí)將具體的事物用抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)表現(xiàn)出來(lái)。當(dāng)我們難以理解某個(gè)抽象的事物時(shí)，在這種情況下，可以將其還原到具體的事物中，按照具體一抽象一具體的方式不斷深化，最終認(rèn)清事物的本質(zhì)。

3.1 排隊(duì)等待問(wèn)題（極限夾逼定理）

在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，數(shù)列極限夾逼定理是一條重要的定律，按照要求，畫(huà)出3條相互垂直的空間直線，分別代表3個(gè)相互垂直的平面，按照從左到右的順序依次將其記為Yn、a、Zn，假設(shè)a是固定的，而Yn、Zn都是無(wú)限地接近a，此時(shí)，在Yn、Zn兩個(gè)平面之間任意放入平面Xn，平面Xn都是向a無(wú)限逼近，這就是夾逼定理的相關(guān)內(nèi)容。按照夾逼定理的要求，我們可以將日常生活中的實(shí)例進(jìn)行對(duì)號(hào)入座，例如，排隊(duì)買(mǎi)票問(wèn)題，當(dāng)許多人排成一列長(zhǎng)隊(duì)按順序買(mǎi)票時(shí)，如果后面的人越來(lái)越多，那么隊(duì)伍中間的人就要想還有多長(zhǎng)時(shí)間才能輪到自己，這是被后面的人擠到購(gòu)票窗口前，這就是夾逼定理中直觀感受，其中Xn就是參與排隊(duì)買(mǎi)票的人，而Yn、Zn就是后面排隊(duì)的人，而購(gòu)票窗口就是事先規(guī)定的a。

3.2 投資決策問(wèn)題

在經(jīng)濟(jì)生活中，初等數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍也非常廣泛，例如在解決投資決策問(wèn)題時(shí)，如果以均勻流（將資金按照流水的方式定期地存入銀行）的方式向銀行存款，那么t年后，應(yīng)該取出多少資金，這種問(wèn)題可以通過(guò)定積分的方式給予解決。例如，一個(gè)企業(yè)向某項(xiàng)目一次性投入2千萬(wàn)元，并且一年后建成投產(chǎn)同時(shí)獲得回報(bào)。如果不考慮資金的時(shí)間價(jià)值，那么收回投資本金的時(shí)間為5年，如果考慮資金的時(shí)間價(jià)值，那么實(shí)際情況就會(huì)發(fā)生改變。在這種情況下，借助微積分，可以確保投資決策的科學(xué)性、合理性，同時(shí)可以規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，提高投資收益率。

3.3 切菜問(wèn)題（“微元法”計(jì)算立體的體積）

利用微積分解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，例如，已知平行截面的面積，如何利用定積分計(jì)算空間立體的體積。假設(shè)空間存在某個(gè)立體面，并且該立體面由一個(gè)曲而和垂自于x軸的兩個(gè)平面構(gòu)成，從x軸上任選一點(diǎn)垂直截所圍立體，并且所得截面面積就是已知連續(xù)函數(shù)，那么就可以通過(guò)定積分表示此立體體積。對(duì)于這種方式可以通過(guò)“微元法”得出結(jié)論。在日常生活中，這種方式應(yīng)用范圍比較廣，可以視為切黃瓜，在水平的桌面上，放置洗凈的黃瓜，用菜刀按照垂直于菜板的方向切掉黃瓜的兩端，如何計(jì)算剩余黃瓜的體積？首先如何計(jì)算不規(guī)則黃瓜的體積？按照垂直于菜板的方向，以較小的間隔切一個(gè)黃瓜片，可以將這片黃瓜片視為一個(gè)圓柱體，其體積就是截面面積與黃瓜片厚度的乘積。以此類(lèi)推，如果將這根黃瓜切成若干薄片，分別計(jì)算每片黃瓜的體積，然后相加就得出所求黃瓜體積的近似值。如何提高黃瓜體積數(shù)值的精度？就是將其進(jìn)行無(wú)限細(xì)分處理，然后再進(jìn)行無(wú)限求和，這樣就可以提高計(jì)算值的精度。

另外，微積分作為大學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，其應(yīng)用范圍不僅局限于解決有關(guān)變化的實(shí)際問(wèn)題，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，微積分在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用范圍也在不斷拓寬，并且取得一定的成就。

4 結(jié)論

綜上所述，微積分的發(fā)明與使用是一個(gè)不斷積累的過(guò)程，在這一過(guò)程中，不僅展現(xiàn)了人類(lèi)集體智慧的結(jié)晶，同時(shí)需要專(zhuān)家、學(xué)者們的共同努力，不斷改進(jìn)和完善。在日常的工作生活中，微積分不僅可以解決實(shí)際問(wèn)題，更重要的體現(xiàn)了人類(lèi)的聰明才智。

［1］ 吳強(qiáng)， 李建平，戴清平. 在軍事院校大一新學(xué)員高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的思考與體會(huì)［J］. 大學(xué)數(shù)學(xué)， 2012 ， 4（3）： 32-21.

［2］ 喻偉， 高建， 付英定. 理工科大學(xué)大面積微積分研究性教學(xué)的探索與實(shí)踐［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)， 2014， 25 （4）： 51-54.

O172；O1-4

A

1003-5168（2015）11-279-02