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    雙無(wú)限環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和的極限定理

    2015-10-19 07:16:02萬(wàn)成高趙琦
    關(guān)鍵詞:中馬馬氏收斂性

    萬(wàn)成高,趙琦

    (湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430062)

    0 引言

    20世紀(jì)80年代初,Cogburn R等人開始研究隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的一般理論,取得了一系列深刻的結(jié)果[1-3].Orey S[4]在Cogburn R等人的研究基礎(chǔ)上對(duì)隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈進(jìn)行了深入的研究,并提出了一系列的問(wèn)題,引起了眾多概率論學(xué)者的廣泛關(guān)注,使得隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈一般理論的研究成為國(guó)際上又一新的研究方向.國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)這一領(lǐng)域進(jìn)行了深入的研究[5-8].大家知道,隨機(jī)變量加權(quán)和的強(qiáng)收斂性的研究一直是經(jīng)典極限理論研究中的熱門課題,取得的結(jié)果已十分深入.這種研究不僅僅是受到大數(shù)定律研究的推動(dòng),而且在考慮線性模型最小二乘估計(jì)的相容性時(shí)就要討論隨機(jī)變量加權(quán)和的強(qiáng)收斂性,因此這種研究無(wú)疑是非常重要的.對(duì)隨機(jī)環(huán)境情形,馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和強(qiáng)收斂性的研究結(jié)果并不多見.筆者研究了雙無(wú)限環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)的強(qiáng)極限定理,得到了雙無(wú)限環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和強(qiáng)收斂性成立的一系列充分條件.本文中約定:C總表示正常數(shù),且在不同的地方可以表示不同的值.集合A的示性函數(shù)記為ⅠA.

    除特別說(shuō)明外,本文中沿用文獻(xiàn)[1-4]中的符號(hào)和術(shù)語(yǔ).設(shè)(Ω,?,P)是一概率空間,(X,A)和(Θ,?)均為任意的可測(cè)空間,ξ?={ξn,n=…,-1,0,1,…}和X?={Xn,n≥0}分別是(Ω,?,P)上取值于Θ和X的隨機(jī)序列,{P(θ):θ∈Θ}是 (X,A)上的一族轉(zhuǎn)移函數(shù),且假設(shè)對(duì)任意的A∈A,P(·;·,A)是 ?×A 可測(cè)的.設(shè)記定義Ξ→Ξ上推移算子T:(Tθ?)n=θn+1.記Pn(C)=P((Xn,Tnξ?)∈C),其中C∈A×??.

    如果對(duì)任意A∈A,n≥0有

    則稱X?為雙無(wú)限環(huán)境ξ?中的馬氏鏈,稱ξ?為雙無(wú)限環(huán)境序列.若ξ?是一馬氏序列,則稱X?為馬氏環(huán)境ξ?中的馬氏鏈.

    設(shè){Xn,n≥0}是隨機(jī)變量序列,X為一非負(fù)隨機(jī)變量,C>0為常數(shù),若對(duì)任意的x>0,n≥0,都有則稱{Xn,n≥0}為概率一致有界于X,并記為{Xn}<X.

    1 引理和主要結(jié)論

    引理 1[7]設(shè)X?為雙無(wú)限環(huán)境ξ? 中的馬氏鏈,則 {(Xn,Tnξ?):n≥0}是一步轉(zhuǎn)移概率為Q(x,θ?,A×B)=P(θ0;x,A)ⅠB(Tθ?)的馬氏雙鏈.

    引理2設(shè)X為隨機(jī)變量,且對(duì)任意的x>0,都有P(|X|>x)≤CP(V>x),其中V為非負(fù)隨機(jī)變量,C>0為常數(shù),則對(duì)任意的x>0,q>0,有

    引理3[7]設(shè)X?為雙無(wú)限環(huán)境ξ?中馬氏鏈,{gn:n≥0}是(X,A)上的有界可測(cè)函數(shù)列.對(duì)任意的k≥1,記

    其中m=0,1,…,k-1,則{Yn,σn:n≥0}是鞅差序列.

    下面我們研究雙隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和的強(qiáng)收斂性.

    定理1設(shè)X?為雙無(wú)限環(huán)境ξ?中馬氏鏈,{an,n≥0}和{bn,n≥0}是任意的兩個(gè)正實(shí)數(shù)列,cn=bn/an,bn↑∞,{fn:n≥0}是(X,A)上的可測(cè)函數(shù)列,若有:

    則對(duì)任意的k≥1,有

    這里我們約定:對(duì)任意的k≥1,X-k≡0.

    推論1設(shè)X?為雙無(wú)限環(huán)境ξ?中馬氏鏈,{an,n≥0}和{bn,n≥0}是任意的兩個(gè)正實(shí)數(shù)列,cn=bn/an,bn↑∞,{fn:n≥0}是 (X,A)上的可測(cè)函數(shù)列且 {fn(Xn)}<V.對(duì)任意的x>0,定義N(x)=Card{n:cn≤x},若V滿足:

    (a)EN(V)<∞;

    則對(duì)任意的k≥1,有(2)式,(3)式成立.

    推論2設(shè)X?為雙無(wú)限環(huán)境ξ?中馬氏鏈,{an,n≥0}和{bn,n≥0}是任意的兩個(gè)正實(shí)數(shù)列,cn=bn/an,bn↑∞,{fn:n≥0}是 (X,A)上的可測(cè)函數(shù)列且 {fn(Xn)}<V.對(duì)任意的x>0,定義N(x)=Card{n:cn≤x},若V滿足:

    (a)EN(V)<∞;

    則對(duì)任意的k≥1,有(2)式,(3)式成立.

    推論3設(shè)X?為雙無(wú)限環(huán)境ξ?中馬氏鏈,{an,n≥0}和{bn,n≥0}是任意的兩個(gè)正實(shí)數(shù)列,cn=bn/an,bn↑∞,{fn:n≥0}是 (X,A)上的可測(cè)函數(shù)列且 {fn(Xn)}<V.對(duì)任意的x>0,定義N(x)=Card{n:cn≤x},若V滿足:

    (a)EN(V)<∞;

    則對(duì)任意的k≥1,有(2)式,(3)式成立.

    定理2在定理1或推論1或推論2或推論3的條件下,若

    則對(duì)任意的N≥1,有

    其中

    定理3在定理2的條件下,若

    2 主要結(jié)論的證明

    引理2的證明 由積分等式

    定理1的證明 先考慮k=1的情況.對(duì)任意的m≥0,記

    由條件(i)及Borel-Cantelli引理知Z′m僅有限項(xiàng)成立 a.s..因此

    由條件(ii)知

    對(duì)任意的δ≥0,令則τ為0時(shí),并且有

    從而

    由單調(diào)收斂定理知

    所以

    由δ的任意性及(8)式得

    因此

    綜合(6~7)及(10)式知(2)式對(duì)k=1的情形成立,又由Kronecker引理知(3)式對(duì)k=1的情形也成立.

    下面再考慮k>1的情形.對(duì)任意的n=1,2,3,…,k-1,對(duì){Xmk+n:m≥0}完全類似于k=1的證明有

    從而

    亦即(2)式對(duì)k>1成立,又由Kronecker引理知(3)式對(duì)k>1也成立.

    推論1的證明只須驗(yàn)證定理1的(i)、(ii)、(iii)成立即可.由于

    由(a)知(i)成立.

    因?yàn)?/p>

    由(a)、(b)知(ii)成立.

    由引理2有

    以及

    上面最后一個(gè)不等式成立基于下列事實(shí):

    由(13~14)式及(a),(c)知(iii)成立,推論1證畢.

    推論2的證明 沿用推論1的證明方法,由(13)式,我們只需證

    推論3的證明沿用推論1的證明方法,由(e)我們有

    從而推論3成立.

    定理2的證明由定理1可知對(duì)任意的N≥1和k=1,2,…,N,有

    注意到

    從而有

    其中

    于是有

    類似于(10)式的證明有

    從而

    由(11)式,完全類似地可以證明

    再由 Hο¨lder不等式

    綜合(17)~(20)式,并利用條件,對(duì)所有k≥1,s≥1,就有

    定理3的證明由于

    由定理2,欲證(6)式成立,只需證

    從而由(5)式知(21)式成立,繼而(6)式成立.

    [1]Cogburn R.The ergodic theory ofMarkov chains in random environments[J].ZWahrsch Verw Gebiete,1993,66(2):109-128.

    [2]Cogburn R.Markov chains in random environments:the case of Markovian environment[J].Ann Prob,1980,8(3):908-916.

    [3]Cogburn R.On the central limit theorem forMarkov chains in random environments[J].Ann Prob,1991,19(2):587-604.

    [4]Orey S.Markov chains with stochastically stationary transition probabilities[J].Ann Prob,1999,19(4):907-928.

    [5]王漢興,戴永隆.馬氏環(huán)境中馬氏鏈的Poisson極限律[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1997,40(2):265-270.

    [6]方大凡.馬氏環(huán)境中馬氏鏈的Shannon-McMillan-Breiman定理[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),2000,16(3):295-298.

    [7]郭明樂(lè).雙無(wú)限隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2005,18(1):174-180.

    [8]李應(yīng)求.雙無(wú)限隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的瞬時(shí)性與不變函數(shù)[J].數(shù)學(xué)年刊,2003,24A(4):515-520.

    [9]李應(yīng)求,王蘇明,胡楊利.馬氏環(huán)境中馬氏鏈的一類強(qiáng)極限定理[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,2008,27A(5):539-550.

    [10]李應(yīng)求,汪和松,王眾,馬氏環(huán)境中馬氏鏈轉(zhuǎn)移函數(shù)概率幾何平均及其泛函的強(qiáng)極限定理[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2011,31A(2):508-517.

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