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    一類變種半群上的格林?關(guān)系

    2015-10-18 00:46:52秦美青
    關(guān)鍵詞:變種等價(jià)格林

    秦美青

    (菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)系,山東菏澤274015)

    一類變種半群上的格林?關(guān)系

    秦美青

    (菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)系,山東菏澤274015)

    研究了一類變換半群POPE(X;θ)上的格林?關(guān)系,利用格林?關(guān)系的定義,得到了半群POPE(X;θ)上元素之間存在格林?關(guān)系的條件,這些結(jié)果推廣了這類變換半群上的格林關(guān)系.

    部分變換;格林關(guān)系;格林?關(guān)系

    1 引言

    設(shè)X是一個(gè)非空集合,PX是X上的部分變換半群,E是集合X上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,文獻(xiàn)[1]考察了由等價(jià)關(guān)系E確定的保等價(jià)關(guān)系的部分變換半群

    的任意元素間的格林關(guān)系.文獻(xiàn)[2]是在X為全序集X={1,2,···,mn}(m≥2,n≥2),E為凸等價(jià)關(guān)系E=(A1×A1)∪(A2×A2)∪···∪(Am×Am),其中

    下面討論半群PE(X)的子半群保序且保等價(jià)關(guān)系的部分變換半群

    的任意元素間的格林關(guān)系.

    取定θ∈POPE(X)且設(shè)dom θ=X.定義半群POPE(X)上的一個(gè)新的運(yùn)算“?”:f?g=fθg,其中f,g∈POPE(X),乘積fθg為部分變換f,θ,g在一般意義下的合成運(yùn)算.這樣,在運(yùn)算“?”下,得到一個(gè)新的半群稱為半群POPE(X)的變種半群,記為POPE(X;θ).文獻(xiàn)[3]討論了半群POPE(X;θ)一般元素間的格林關(guān)系.本文主要考察當(dāng)X是有限全序集時(shí)半群POPE(X;θ)上的格林?關(guān)系.

    2 預(yù)備知識(shí)

    定義2.1[4]設(shè)E是X上的等價(jià)關(guān)系,Y,Z?X.設(shè)?:Y→Z為映射,若(x,y)∈E蘊(yùn)含(?(x),?(y))∈E,則稱?是E-保持的.若(x,y)∈E當(dāng)且僅當(dāng)(?(x),?(y))∈E,則稱?是E?-保持的.

    定義2.2[4]設(shè)ψ為映射.若對(duì)于任意的A∈X/E,存在B∈X/E,使對(duì)于任意P∈πA(f),有θ(B)∩ψ(P)≠?,則稱ψ是Eθ-容許的.若ψ:π(f)→π(g)是雙射且ψ與ψ-1都是Eθ-容許的,則稱ψ是容許的.

    定義2.3[5]設(shè)X是全序集,Y是X的子集.若對(duì)任意x,y∈Y且x<y時(shí),有

    則稱Y是X的凸子集.若每個(gè)E-類都是X的凸子集,則稱等價(jià)關(guān)系E為凸的.

    定義2.4[6]設(shè)f∈PX.對(duì)任意A?X,集合{y∈dom f:f(y)∈A},記為f-1(A).集合{P∈π(f):P∩A≠?},記為πA(f).

    定義2.5[6]集合{f-1(A):A∈X/E,A∩im f≠?},記為E(f).

    引理2.1[6]對(duì)每個(gè)f∈PE(X;θ),θ|imf是單射當(dāng)且僅當(dāng)π(θf)=π(f).

    設(shè)S是一個(gè)半群,a,b∈S,稱a,b是L?相關(guān)的.如果它們?cè)谀硞€(gè)半群T(S≤T)中是L相關(guān)的[7].對(duì)偶地給出兩元素R?相關(guān)的定義.稱a,b是J?相關(guān)的,如果它們?cè)谀硞€(gè)半群T(S≤T)中是J相關(guān)的.

    引理2.2[7]設(shè)S是為任意半群,a,b∈S,則下面的說法等價(jià):

    (1)(a,b)∈L?(R?);

    (2)對(duì)任意x,y∈S1,ax=ay(xa=ya)當(dāng)且僅當(dāng)bx=by(xb=yb).

    從引理2.2不難看出:關(guān)系L?和R?都是半群S上的等價(jià)關(guān)系,并且L?L?R?R?.半群S上的等價(jià)關(guān)系D?和H?如下定義:H?=L?∩R?D?=L?∨R?.半群S上的關(guān)系L?,R?,D?,H?,J?通稱為格林?關(guān)系.半群S上的格林?關(guān)系是格林關(guān)系的推廣.

    引理2.3[8]設(shè)f,g∈PE(X;θ),則以下條件等價(jià):

    (1)(f,g)∈L;

    (2)π(θf)=π(f)=π(g)=π(θg)和E(θf)=E(f)=E(g)=E(θg);

    (3)存在E?-保持的雙射?:im f→im g,使得g=?f且θ|imf和θ|img是E?-保持的單射.

    引理2.4[8]設(shè)f,g∈PE(X;θ),則以下條件等價(jià):

    (1)(f,g)∈R;

    (2)對(duì)每個(gè)A∈X/E,存在B,C∈X/E,使得

    (3)存在E?θ-容許的雙射ψ:π(f)→π(g),使得f?=g?ψ.

    引理2.5[9]等價(jià)關(guān)系L和R是可交換的.

    引理2.6[9]設(shè)ρ,σ是集合S上的等價(jià)關(guān)系且滿足ρ?σ=σ?ρ則ρ∨σ=ρ?σ.

    引理2.7[9]若S是周期半群,則D=J.

    文中未說明的概念與符號(hào)參看文獻(xiàn)[9].

    3 主要結(jié)果

    定理3.1設(shè)f,g∈POPE(X;θ)且f≠g則以下條件等價(jià):

    (1)(f,g)∈L?;

    (2)π(θf)=π(f)=π(g)=π(θg)和E(θf)=E(f)=E(g)=E(θg);

    (3)存在E?-保持的雙射?:im f→im g,使得g=?f且θ|imf和θ|img是E?-保持的單射.

    定理3.2設(shè)f,g∈POPE(X;θ)且f≠g則以下條件等價(jià):

    (1)(f,g)∈R?;

    (2)對(duì)每個(gè)A∈X/E,存在B,C∈X/E,使得

    (3)存在E?θ-容許的雙射ψ:π(f)→π(g),使得f?=g?ψ.

    定理3.3設(shè)f,g∈POPE(X;θ)且f≠g,則以下條件等價(jià):

    (1)(f,g)∈H?;

    (2)π(θf)=π(f)=π(g)=π(θg)和E(θf)=E(f)=E(g)=E(θg)且對(duì)任意A∈X/E,存在B,C∈X/E,使得

    證明由H?的定義和定理3.1以及定理3.2即得.

    根據(jù)引理2.5和引理2.6知半群上的格林關(guān)系D=L∨R=L?R,易證半群上的等價(jià)關(guān)系L?,R?是可交換的,從而有D?=L?∨R?=L??R?.

    定理3.4設(shè)f,g∈POPE(X;θ)且f≠g,則以下條件等價(jià):

    (1)(f,g)∈D?;

    (2)存在E?θ-容許的雙射ψ:π(f)→π(g)和E?-保持的雙射?:im f→im g,使得g?ψ=?f?且θ|imf和θ|img是E?-保持的單射.

    證明(1)?(2)假設(shè)(f,g)∈D?,則存在k∈POPE(X;θ),使得(f,k)∈L?,(k,g)∈R?.因?yàn)椋╢,k)∈L?,所以由定理3.1知π(f)=π(k)和存在E?-保持的雙射?:im f→im k,使得k=?f且θ|imf和θ|imk是E?-保持的單射.再因?yàn)椋╧,g)∈R?,所以由定理3.2知im k=im g且存在E?θ-容許的雙射ψ:π(k)→π(g),使得k?=g?ψ.用π(f)代替π(k),im g代替im k,從而存在E?θ-容許的雙射ψ:π(f)→π(g),E?-保持的雙射?:im f→im g,使得對(duì)任意P∈π(f),g?ψ(P)=k?(P)=?f?(P)且θ|imf和θ|img是E?-保持的單射.

    (2)?(1)假設(shè)條件(2)成立,只須在半群POPE(X;θ)的某個(gè)擴(kuò)半群中找到k,使得(f,k)∈L,(k,g)∈R.定義映射k:dom f→X,對(duì)任意x∈dom f,k(x)=?f(x),顯然k是良定義的,且由f∈POPE(X;θ),?|imf是E?-保持的知k∈PE(X;θ).任取z∈im f,設(shè)x1,x2∈f-1(z)∈π(f),即f(x1)=f(x2).k(x1)=?f(x1)=?f(x2)=k(x2),從而存在y∈im k,使得x1,x2∈k-1(y)∈π(k),故π(f)是π(k)的細(xì)化.任取z′∈im k.設(shè)x′1,x′2∈k-1(z′)∈π(k).這樣?f(x′1)=k(x′1)=k(x′2)=?f(x′2).因?yàn)?|imf是雙射,所以f(x′1)=f(x′2).故存在y′∈im f,使得x′1,x′2∈f-1(y′)∈π(f),從而π(k)是π(f)的細(xì)化.綜上知π(k)=π(f).對(duì)任意的P∈π(k)=π(f),k?(P)=?f?(P)=g?ψ(P),從而k?=g?ψ且im k=im g,這樣存在E?θ-容許的雙射ψ:π(k)→π(g),使得k?=g?ψ,故根據(jù)引理2.4知(k,g)∈R.用im k代替im g,存在E?-保持的雙射?:im f→im k,使得k=?f且θ|imf和θ|imk是E?-保持的單射,故根據(jù)引理2.3知(f,k)∈L,綜上知(f,g)∈D?.

    定理3.5半群POPE(X;θ)上有D?=J?.

    證明假設(shè)f,g∈POPE(X;θ)且(f,g)∈D?,則存在半群POPE(X;θ)的某個(gè)擴(kuò)半群T,使得在半群T中,(f,g)∈D.因?yàn)閄是有限集合,所以T是有限半群,從而是周期半群.根據(jù)引理2.7知,在半群T中(f,g)∈J,從而在半群POPE(X;θ)中(f,g)∈J?,類似可知若在半群POPE(X;θ)中(f,g)∈J?,可推出(f,g)∈D?,故D?=J?.

    [1]Pei Huisheng,Zhou Huijuan.Semigroups of partial transformatons preserving an equivalence relation[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,2009,38(1):103-118.

    [2]劉振玲.幾類變換半群的正則性及格林關(guān)系[D].山東:山東師范大學(xué)圖書館,2008.

    [3]秦美青.一類變種半群的格林關(guān)系[J].江南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,11(5):614-617.

    [4]孫壘,裴惠生.一類廣義變換半群的格林關(guān)系[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2010,26(1):73-78.

    [5]裴惠生,鄧偉娜.保持序和等價(jià)關(guān)系的自然偏序變換半群[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2012,55(2):235-250.

    [6]秦美青,許新齋.保等價(jià)部分變換半群的變種半群上的正則元[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2010,26(5):822-827.

    [7]裴惠生,鄧偉娜.保持雙向等價(jià)關(guān)系的變換半群的若干結(jié)果[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,34(8):6-10.

    [8]秦美青.一類部分變換半群的變種半群的格林關(guān)系[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,29(4):305-308.

    [9]Howie J M.Fundamentals of Semigroup Theory[M].New York:Oxford University Press,1995.

    The Green′s?-relations on a class of transformation semigroups

    Qin Meiqing
    (Department of Mathematics,Heze University,Heze274015,China)

    In this paper,we study the Green′s?-relations on a class of transformation semigroup POPE(X;θ).Using the definition of Green′s?-relations,we get the conditions of Green′s?-relations between elements.These results generalize the Green′s relation on the semigroup POPE(X;θ).

    partial transformation,Green′s relation,Green′s?-relations

    O152.7

    A

    1008-5513(2015)05-0480-07

    10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.007

    2015-02-03.

    山東省自然科學(xué)基金(ZR2014AM032).

    秦美青(1982-),碩士,講師,研究方向:半群的代數(shù)理論.

    2010 MSC:20M20

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