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    巴拿赫代數(shù)上錐b-距離空間中壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理

    2015-10-18 00:47:06李文娟薛西鋒
    關(guān)鍵詞:不動(dòng)點(diǎn)廣義代數(shù)

    李文娟,薛西鋒

    (西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西西安710127)

    巴拿赫代數(shù)上錐b-距離空間中壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理

    李文娟,薛西鋒

    (西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西西安710127)

    給出了巴拿赫代數(shù)上錐b-距離空間的概念,利用迭代法探究了巴拿赫代數(shù)上錐b-距離空間中壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理,證明了廣義利普希茨映射在沒有正規(guī)性的條件下,仍存在不動(dòng)點(diǎn)并且是唯一的.

    巴拿赫代數(shù)上錐b-距離空間;廣義利普希茨映射;不動(dòng)點(diǎn)定理;c-序列

    1 引言

    文獻(xiàn)[1]提出了巴拿赫代數(shù)上錐距離空間中廣義利譜希茨映射不動(dòng)點(diǎn)定理,文獻(xiàn)[2]提出了巴拿赫代數(shù)上錐距離空間中在沒有正規(guī)性的條件下廣義利譜希茨映射不動(dòng)點(diǎn)定理,文獻(xiàn)[3]提出了錐b-距離空間中壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理.在文獻(xiàn)[1-3]的基礎(chǔ)上,本文提出了巴拿赫代數(shù)上錐b-距離空間的概念,并得到了巴拿赫代數(shù)上錐b-距離空間中壓縮映射在沒有正規(guī)性的條件下仍存在唯一不動(dòng)點(diǎn),從而推廣了文獻(xiàn)[1-3]中的主要結(jié)果.

    2 預(yù)備知識(shí)

    設(shè)A是巴拿赫代數(shù),θ和e分別為A的零元和單位元,取x∈A,若x的譜半徑r(x)<1,則e-x可逆且設(shè)P是A中的一個(gè)錐,設(shè)x,y∈A,若和則稱“≤”和“?”都為A中的偏序.假定P是A中的體錐(即int P≠Φ).

    定義2.1設(shè)X是非空集,A是巴拿赫代數(shù),s≥1為給定的實(shí)數(shù),假設(shè)映射d:X×X→A,對(duì)于任意的x,y,z∈X,滿足:

    (1)θ≤d(x,y),且d(x,y)=θ當(dāng)且僅當(dāng)x=y;

    (2)d(x,y)=d(y,x);

    (3)d(x,y)≤s(d(x,z)+d(z,y)),

    則稱(X,d)為巴拿赫代數(shù)A上的錐b-距離空間.

    定義2.2設(shè)(X,d)是巴拿赫代數(shù)A上的錐b-距離空間,映射T:X→X稱為廣義利普希茨映射,如果存在向量k∈P并且r(k)<1,對(duì)于任意的x,y∈X,有d(Tx,Ty)≤k(x,y).

    注2.1如果r(k)<1,則‖kn‖→0(n→∞).

    定義2.3設(shè)(X,d)為巴拿赫代數(shù)A上的錐b-距離空間,x∈X,{xn}是X上一序列,則

    (1){xn}收斂于x當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的c∈A并且θ?c,都存在自然數(shù)N,當(dāng)n≥N時(shí),有d(xn,x)?c,記為或xn→x(n→∞);

    (2){xn}是柯西序列當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的c∈A并且θ?c,都存在自然數(shù)N,當(dāng)n,m≥N時(shí),有d(xn,xm)?c;

    (3)(X,d)是完備的,如果每個(gè)柯西序列都收斂.

    引理2.1[4]設(shè)x,y,z∈A,如果x≤y且y?z,則x?z.

    引理2.2[4]設(shè)P是一個(gè)錐,如果對(duì)于任意的c∈int P,有θ≤u?c,則u=θ.

    引理2.3[5]設(shè)P是一個(gè)錐,如果‖xn‖→0(n→∞),則對(duì)于任意的c∈A并且θ?c,都存在自然數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí),有xn?c.

    定義2.4[6]設(shè)P是巴拿赫空間中的一個(gè)體錐,序列{xn}?P稱為c-序列,如果對(duì)于任意的θ?c,都存在自然數(shù)N,使得當(dāng)n≥N,有xn?c.

    引理2.4[2]設(shè)(X,d)為巴拿赫代數(shù)A上完備的錐距離空間,P是A上的一個(gè)體錐,{xn}、{yn}?P,如果{xn}、{yn}都是c-序列,并且α,β>0,向量k∈P,則{αxn+βyn},{kxn}都是c-序列.如果{xn}收斂于x∈X,則{d(xn,x)}也是c-序列.

    引理2.5[2]設(shè)A是巴拿赫代數(shù),向量x,y,k∈A,如果x,y可交換,則下列式子成立:

    (1)r(sx)=sr(x);

    (2)r(xy)≤r(x)r(y);

    (3)r((e-k)-1)≤(1-r(k))-1,其中0≤r(k)<1.

    3 主要結(jié)果及其證明

    定理3.1設(shè)(X,d)是巴拿赫代數(shù)A上完備的錐b-距離空間,系數(shù)s≥1,P是體錐,向量k∈P,其中假設(shè)映射T:X→X滿足廣義利譜希茨條件:

    則T在X上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn),并且對(duì)于任意的x∈X,迭代序列{Tnx}收斂于該不動(dòng)點(diǎn).

    定理3.2設(shè)(X,d)是巴拿赫代數(shù)A上完備的錐b-距離空間,系數(shù)s≥1,P是體錐,向量k∈P,其中假設(shè)映射T:X→X滿足廣義利譜希茨條件:

    則T在X上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn),并且對(duì)于任意的x∈X,迭代序列{Tnx}收斂于該不動(dòng)點(diǎn).

    [1]Liu H,Xu S Y.Cone metric spaces with Banach algebras and fixed point theorems of generalized Lipschitz mappings[J].Fixed Point Theory and Applications,2013,DOI:10.1186/1687-1812-2013-320.

    [2]Xu S Y,Stojan R.Fixed point theorems of generalized Lipschitz mappings on cone metric spaces over Banach algebras without assumption of normality[J].Fixed Point Theory and Applications,2014,DOI:10.1186/1687-1812-2014-102.

    [3]Huang H,Xu S Y.Fixed point theorems of contractive mapping in cone b-metric spaces and applications[J].Fixed Point Theory and Applications,2013,DOI:10.1186/1687-1812-2013-112.

    [4]Jankovic S,Kadelburg Z,Radenovic S.On cone metric spaces:a survey[J].Nonlinear Analysis,2011,4(7):2591-2601.

    [5]Hussian N,Shah M H.KKM mappings in cone b-metric spaces[J].Comput.Math.Appl.,2011,62(4):1677-1684.

    [6]Dordevi? M,Dori? D,Kadelburg Z,et al.Fixed point results under c-distance in tvs-cone metric spaces[J].Fixed Point Theory Appl.2011,DOI:10.1186/1687-1812-2011-29.

    Fixed point theorems of contraction mapping in cone b-metric spaces with Banach algebra

    Li Wenjuan,Xue Xifeng

    (College of Mathematics,Northwest University,Xi′an710127,China)

    This paper introduces the concept of cone b-metric spaces with Banach algebras,by using iterative method we explore some fixed point theorems of contraction mapping in cone b-metric spaces with Banach algebra,and obtain some new fixed point theorems for the generalized Lipschitz mapping without the assumption normality.

    cone b-metric spaces with Banach algebras,the generalized Lipschitz mapping,fixed point theorems,c-sequence

    O177.91

    A

    1008-5513(2015)05-0537-05

    10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.015

    2014-12-16.

    陜西省自然科學(xué)基金(2012JM1017).

    李文娟(1990-),碩士生,研究方向:非線性泛函分析.

    2010 MSC:60B12

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