巴拿赫代數(shù)上錐b-距離空間中壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理

李文娟，薛西鋒

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西西安710127）

巴拿赫代數(shù)上錐b-距離空間中壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理

李文娟，薛西鋒

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西西安710127）

給出了巴拿赫代數(shù)上錐b-距離空間的概念，利用迭代法探究了巴拿赫代數(shù)上錐b-距離空間中壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理，證明了廣義利普希茨映射在沒有正規(guī)性的條件下，仍存在不動(dòng)點(diǎn)并且是唯一的.

巴拿赫代數(shù)上錐b-距離空間；廣義利普希茨映射；不動(dòng)點(diǎn)定理；c-序列

1　引言

文獻(xiàn)［1］提出了巴拿赫代數(shù)上錐距離空間中廣義利譜希茨映射不動(dòng)點(diǎn)定理，文獻(xiàn)［2］提出了巴拿赫代數(shù)上錐距離空間中在沒有正規(guī)性的條件下廣義利譜希茨映射不動(dòng)點(diǎn)定理，文獻(xiàn)［3］提出了錐b-距離空間中壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理.在文獻(xiàn)［1-3］的基礎(chǔ)上，本文提出了巴拿赫代數(shù)上錐b-距離空間的概念，并得到了巴拿赫代數(shù)上錐b-距離空間中壓縮映射在沒有正規(guī)性的條件下仍存在唯一不動(dòng)點(diǎn)，從而推廣了文獻(xiàn)［1-3］中的主要結(jié)果.

2　預(yù)備知識(shí)

設(shè)A是巴拿赫代數(shù)，θ和e分別為A的零元和單位元，取x∈A，若x的譜半徑r（x）＜1，則e-x可逆且設(shè)P是A中的一個(gè)錐，設(shè)x，y∈A，若和則稱“≤”和“?”都為A中的偏序.假定P是A中的體錐（即int P≠Φ）.

定義2.1設(shè)X是非空集，A是巴拿赫代數(shù)，s≥1為給定的實(shí)數(shù)，假設(shè)映射d：X×X→A，對(duì)于任意的x，y，z∈X，滿足：

（1）θ≤d（x，y），且d（x，y）=θ當(dāng)且僅當(dāng)x=y；

（2）d（x，y）=d（y，x）；

（3）d（x，y）≤s（d（x，z）+d（z，y）），

則稱（X，d）為巴拿赫代數(shù)A上的錐b-距離空間.

定義2.2設(shè)（X，d）是巴拿赫代數(shù)A上的錐b-距離空間，映射T：X→X稱為廣義利普希茨映射，如果存在向量k∈P并且r（k）＜1，對(duì)于任意的x，y∈X，有d（Tx，Ty）≤k（x，y）.

注2.1如果r（k）＜1，則‖kn‖→0（n→∞）.

定義2.3設(shè)（X，d）為巴拿赫代數(shù)A上的錐b-距離空間，x∈X，｛xn｝是X上一序列，則

（1）｛xn｝收斂于x當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的c∈A并且θ?c，都存在自然數(shù)N，當(dāng)n≥N時(shí)，有d（xn，x）?c，記為或xn→x（n→∞）；

（2）｛xn｝是柯西序列當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的c∈A并且θ?c，都存在自然數(shù)N，當(dāng)n，m≥N時(shí)，有d（xn，xm）?c；

（3）（X，d）是完備的，如果每個(gè)柯西序列都收斂.

引理2.1［4］設(shè)x，y，z∈A，如果x≤y且y?z，則x?z.

引理2.2［4］設(shè)P是一個(gè)錐，如果對(duì)于任意的c∈int P，有θ≤u?c，則u=θ.

引理2.3［5］設(shè)P是一個(gè)錐，如果‖xn‖→0（n→∞），則對(duì)于任意的c∈A并且θ?c，都存在自然數(shù)N，當(dāng)n＞N時(shí)，有xn?c.

定義2.4［6］設(shè)P是巴拿赫空間中的一個(gè)體錐，序列｛xn｝?P稱為c-序列，如果對(duì)于任意的θ?c，都存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n≥N，有xn?c.

引理2.4［2］設(shè)（X，d）為巴拿赫代數(shù)A上完備的錐距離空間，P是A上的一個(gè)體錐，｛xn｝、｛yn｝?P，如果｛xn｝、｛yn｝都是c-序列，并且α，β＞0，向量k∈P，則｛αxn+βyn｝，｛kxn｝都是c-序列.如果｛xn｝收斂于x∈X，則｛d（xn，x）｝也是c-序列.

引理2.5［2］設(shè)A是巴拿赫代數(shù)，向量x，y，k∈A，如果x，y可交換，則下列式子成立：

（1）r（sx）=sr（x）；

（2）r（xy）≤r（x）r（y）；

（3）r（（e-k）-1）≤（1-r（k））-1，其中0≤r（k）＜1.

3　主要結(jié)果及其證明

定理3.1設(shè)（X，d）是巴拿赫代數(shù)A上完備的錐b-距離空間，系數(shù)s≥1，P是體錐，向量k∈P，其中假設(shè)映射T：X→X滿足廣義利譜希茨條件：

則T在X上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，并且對(duì)于任意的x∈X，迭代序列｛Tnx｝收斂于該不動(dòng)點(diǎn).

定理3.2設(shè)（X，d）是巴拿赫代數(shù)A上完備的錐b-距離空間，系數(shù)s≥1，P是體錐，向量k∈P，其中假設(shè)映射T：X→X滿足廣義利譜希茨條件：

則T在X上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，并且對(duì)于任意的x∈X，迭代序列｛Tnx｝收斂于該不動(dòng)點(diǎn).

［1］Liu H，Xu S Y.Cone metric spaces with Banach algebras and fixed point theorems of generalized Lipschitz mappings［J］.Fixed Point Theory and Applications，2013，DOI：10.1186/1687-1812-2013-320.

［2］Xu S Y，Stojan R.Fixed point theorems of generalized Lipschitz mappings on cone metric spaces over Banach algebras without assumption of normality［J］.Fixed Point Theory and Applications，2014，DOI：10.1186/1687-1812-2014-102.

［3］Huang H，Xu S Y.Fixed point theorems of contractive mapping in cone b-metric spaces and applications［J］.Fixed Point Theory and Applications，2013，DOI：10.1186/1687-1812-2013-112.

［4］Jankovic S，Kadelburg Z，Radenovic S.On cone metric spaces：a survey［J］.Nonlinear Analysis，2011，4（7）：2591-2601.

［5］Hussian N，Shah M H.KKM mappings in cone b-metric spaces［J］.Comput.Math.Appl.，2011，62（4）：1677-1684.

［6］Dordevi? M，Dori? D，Kadelburg Z，et al.Fixed point results under c-distance in tvs-cone metric spaces［J］.Fixed Point Theory Appl.2011，DOI：10.1186/1687-1812-2011-29.

Fixed point theorems of contraction mapping in cone b-metric spaces with Banach algebra

Li Wenjuan，Xue Xifeng

（College of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China）

This paper introduces the concept of cone b-metric spaces with Banach algebras，by using iterative method we explore some fixed point theorems of contraction mapping in cone b-metric spaces with Banach algebra，and obtain some new fixed point theorems for the generalized Lipschitz mapping without the assumption normality.

cone b-metric spaces with Banach algebras，the generalized Lipschitz mapping，fixed point theorems，c-sequence

O177.91

A

1008-5513（2015）05-0537-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.015

2014-12-16.

陜西省自然科學(xué)基金（2012JM1017）.

李文娟（1990-），碩士生，研究方向：非線性泛函分析.

2010 MSC:60B12