關(guān)于數(shù)論函數(shù)方程S（SL（n））=φ（n）的可解性

張利霞，趙西卿，郭瑞，許宏鑫

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000）

關(guān)于數(shù)論函數(shù)方程S（SL（n））=φ（n）的可解性

張利霞，趙西卿，郭瑞，許宏鑫

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000）

對(duì)于任意正整數(shù)n，S（n），SL（n），φ（n）分別為Smarandache函數(shù)，Smarandache LCM函數(shù)和Euler函數(shù).本文利用S（n），SL（n），φ（n）的基本性質(zhì)結(jié)合初等方法推廣了方程S（n）=φ（n）和SL（n）=φ（n），研究了方程S（SL（n））=φ（n）的可解性，給出并證明了該方程僅有正整數(shù)解n=1，8，9，12，18.

Smarandache函數(shù)；Smarandache LCM函數(shù)；Euler函數(shù)；正整數(shù)解

1　引言

對(duì)于任意正整數(shù)n，著名的F.Smarandache函數(shù)S（n）定義為最小的正整數(shù)m使得n|m！，即S（n）=min｛m：m∈N，n|m?。?］.Smarandache LCM函數(shù)定義為最小的正整數(shù)k使得n|［1，2，···，k］，即SL（n）=min｛k：k∈N，n|［1，2，···，k］｝［2］.Euler函數(shù)φ（n）定義為小于n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù).關(guān)于Smarandache函數(shù)的有關(guān)方程問題的研究，有許多學(xué)者已經(jīng)取得了一些重要的結(jié)果，例如文獻(xiàn)［3］給出了S（n）=φ（n）的所有正整數(shù)解為n=1，8，9，12，18.文獻(xiàn)［4］研究了方程SL（n）=φ（n），并給出它有且僅有n=1和形如n=3·2α（α≥2）的解.文獻(xiàn)［5］研究了函數(shù)方程Z（n）+S?（n）=n，得出它僅有偶數(shù)解n=6和奇數(shù)解n=pk，其中p為奇素?cái)?shù)，k為任意正整數(shù).

本文在前人關(guān)于Smarandache函數(shù)的有關(guān)方程問題的研究成果的基礎(chǔ)上，主要研究Smarandache函數(shù)S（n）和Smarandache LCM函數(shù)SL（n）的復(fù)合函數(shù)與Euler函數(shù)φ（n）之間的關(guān)系，即意在探討方程S（SL（n））=φ（n）的可解性，具體結(jié)果有

定理1.1方程S（SL（n））=φ（n）有且僅有n=1，8，9，12，18的解.

2　相關(guān)引理

引理2.1［6］對(duì)任意正整數(shù)n，其中為素?cái)?shù)，特別地SL（pα）=pα.

引理2.2［7］如果p為某一素?cái)?shù)，那么S（pα）≤kp.如果k＜p，那么S（pk）=kp，其中k為任意給定的正整數(shù).

引理2.3［8］Euler函數(shù)是積性函數(shù).即對(duì)任意互素的正整數(shù)a和b，有φ（ab）=φ（a）φ（b）.

引理2.4對(duì)于正整數(shù)n，（1）方程φ（n）=1，僅有整數(shù)解n=1，2；（2）方程φ（n）=2，僅有整數(shù)解n=3，4，6.

證明（1）當(dāng)n=1，2時(shí)，顯然φ（n）=1.

當(dāng)n＞2時(shí)，由文獻(xiàn)［2］第6-1節(jié)得φ（n）=2k（k=1，2，3，···），顯然φ（n）≠1.綜上方程φ（n）=1，僅有整數(shù)解n=1，2.

（2）證明參照文獻(xiàn)［9］.

3　定理的證明

［1］張文鵬.關(guān)于F.Smarandache函數(shù)的兩個(gè)問題［J］.西北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，38（2）：173-176.

［2］張文鵬.初等數(shù)論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2007.

［3］Ma Jinping.An equation involving the Smarandache function［J］.Journal of Scientia Magna，2005，1（2）：89-90.

［4］趙教練.包含Euler函數(shù)的方程的可解性［J］.唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，32（5）：33-35.

［5］李梵蓓.一個(gè)與Smarandache函數(shù)有關(guān)的函數(shù)方程及其正整數(shù)解［J］.西北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，38（6）：892-893.

［6］Liu Yn，Li L，Liu B L.Smarandache Unsolved Problems and New Progress［M］.Ann Arbor，MI：High American Press，2008.

［7］Mark F，Patrick M.Bounding the Smarandache Function［C］.Washington D C：American Research Press，2002：37-42.

［8］Tom M Apostol.Introduction to Analytic Number Theory［M］.New York：Spring-Verlag，1976.

［9］多布杰.關(guān)于歐拉函數(shù)方程?（?（x））=2t的可解性［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2014，30（6）：564-568.

Solvability of arithmetic function equation S（SL（n））=φ（n）

Zhang Lixia，Zhao Xiqing，Guo Rui，Xu Hongxin

（College of Mathematics and Computer Science，Yan′an University，Yan′an716000，China）

For any positive integer n，S（n），SL（n），φ（n）is Smarandache function，Smarandache LCM function and Euler function.In the present paper，the equation S（n）=φ（n）and SL（n）=φ（n）were promoted，and the solvability of equation S（SL（n））=φ（n）was studied and all the positive integer solutions n=1，8，9，12，18 of the equation were given by using the property of S（n），SL（n），φ（n）and elementary method.

Smarandache function，Smarandache LCM function，Euler function，positive integer solutions

O156.4

A

1008-5513（2015）05-0533-04

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.014

2015-03-25.

陜西省教育廳科研計(jì)劃資助項(xiàng)目（2013JK0557）；延安大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目.

張利霞（1989-），碩士生，研究方向：數(shù)論.

趙西卿（1965-），副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：解析數(shù)論.

2010 MSC:11A99