壓裂裂縫網(wǎng)絡(luò)不穩(wěn)態(tài)流動半解析模型

賈 品，程林松，黃世軍，李 權(quán)

（中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院，北京102249）

壓裂裂縫網(wǎng)絡(luò)不穩(wěn)態(tài)流動半解析模型

賈 品，程林松，黃世軍，李 權(quán)

（中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院，北京102249）

與壓裂單條縫及多條縫的流動模式不同，包含相互交錯裂縫的壓裂裂縫網(wǎng)絡(luò)流動會在裂縫交匯處產(chǎn)生流向重定向和流量重分配的過程。通過引入星三角變換法，并結(jié)合有限差分方法對這一特殊流動過程進行描述，推導(dǎo)裂縫網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部流動數(shù)值解?；贚aplace空間源函數(shù)及疊加原理建立油藏流動解析解。耦合該兩部分流動，給出一個壓裂裂縫網(wǎng)絡(luò)不穩(wěn)態(tài)流動半解析模型，并利用現(xiàn)場實例驗證模型的實用性。結(jié)果表明：該模型可以處理裂縫空間位置和導(dǎo)流能力任意分布的裂縫網(wǎng)絡(luò)，能夠預(yù)測生產(chǎn)井的壓力、產(chǎn)量動態(tài)及不同生產(chǎn)階段的油藏壓力分布；在上下封閉無界儲層中，壓裂縫網(wǎng)存在裂縫內(nèi)部線性流、裂縫與地層雙線性流、地層線性流、過渡流以及擬徑向流；受井筒存儲效應(yīng)的影響，觀測不到裂縫內(nèi)部線性流；滲透率為1×10-7μm2級別的儲層在生產(chǎn)早、中期流體流動主要集中在密度大及導(dǎo)流能力高的裂縫附近，但最終（生產(chǎn)30～50 a）的泄流區(qū)域都局限在壓裂改造范圍內(nèi)，改造區(qū)外的儲層流體很少流動。

壓裂裂縫網(wǎng)絡(luò)；星三角變換法；有限差分；點源函數(shù)；瞬態(tài)響應(yīng)

利用水力壓裂技術(shù)有效開發(fā)低滲透油藏已有多年歷史。近年來，應(yīng)用于非常規(guī)油藏，如致密油藏及頁巖氣藏開發(fā)的水平井分段壓裂豐富了已有的壓裂技術(shù)，相關(guān)的壓裂縫滲流理論也成為了學(xué)者們研究的熱點。國內(nèi)外學(xué)者Gringarten［1］、Cinco-Ley［2］、張義堂［3］、Schulte［4］等均利用源函數(shù)等方法研究了壓裂直井單條裂縫無限導(dǎo)流及有限導(dǎo)流下的不穩(wěn)態(tài)流動過程。Guo和Evans［5］采用實空間源函數(shù)和Newmann乘積法得到了有多條壓裂縫的水平井不穩(wěn)態(tài)流動解析解。Raghavan［6］、Chen［7］、姚軍［8］、王曉冬［9］等基于Ozkan［10］給出的Laplace空間源函數(shù)，并結(jié)合勢疊加原理推導(dǎo)了多條橫向壓裂水平井不穩(wěn)態(tài)流動半解析解。以上方法明確了壓裂單條或多條縫的不穩(wěn)態(tài)流動特征，并對壓后產(chǎn)能評價、地層及裂縫參數(shù)反演提供了堅實的理論基礎(chǔ)。對于巖石脆性系數(shù)高且天然裂縫發(fā)育的儲層，生產(chǎn)井經(jīng)體積壓裂后，通常會在近井地帶形成壓裂裂縫網(wǎng)絡(luò)［11-12］。由于人工壓裂縫和天然縫空間位置上復(fù)雜交錯，裂縫網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部流動不再局限于單條縫或多條縫內(nèi)常見的線性流，而是在裂縫相交處還存在流向重定向和流量重分配的交匯流動。同時，各裂縫導(dǎo)流能力的不同使交匯流動更為復(fù)雜。對其不穩(wěn)態(tài)流動進行建模時，以上方法［1-9］的應(yīng)用就受到了一定的限制。對于壓裂裂縫網(wǎng)絡(luò)流動，國內(nèi)外學(xué)者在解析解和半解析解上研究很少，主要以數(shù)值模擬方法為主。Al-Ahmadi［13］假設(shè)人工裂縫和天然裂縫相正交，且等間距分布，通過耦合三個線性流模型推導(dǎo)了產(chǎn)量及壓力動態(tài)解析解。Zhou［14］規(guī)定了裂縫交匯處的流動方向，利用源函數(shù)和疊加原理得到縫網(wǎng)流動半解析解。袁彬［15］、蔡田田［16］、Mayerhofer［17］和Cipolla［18］等均利用數(shù)值模擬方法研究了正交裂縫網(wǎng)絡(luò)的產(chǎn)能?，F(xiàn)場中，縫網(wǎng)內(nèi)的裂縫往往成角度相交，假設(shè)裂縫正交局限性較大；同時流體在裂縫交匯處的流向及流量應(yīng)由相交裂縫之間的傳導(dǎo)率和壓力自動決定，人為規(guī)定流動方向?qū)⑹褂嬎憬Y(jié)果產(chǎn)生一定的誤差。目前關(guān)于壓裂裂縫網(wǎng)絡(luò)流動仍然缺少一種準確的、適用性強的數(shù)學(xué)模型。筆者通過耦合裂縫和油藏流動建立一個準確預(yù)測縫網(wǎng)不穩(wěn)態(tài)流動的半解析模型，利用該模型計算不同壓裂縫的生產(chǎn)動態(tài)，劃分地層流體的流動階段，分析油藏壓力分布特征，并進行實例研究。

1　物理模型

在均質(zhì)上下封閉無界油藏中，一口水平井經(jīng)壓裂后在近井地帶形成如圖1（a）所示的非正交裂縫網(wǎng)絡(luò)。地層、裂縫及流體均微可壓縮，且壓縮系數(shù)為常數(shù)。單相流體在地層和裂縫中的流動服從不穩(wěn)定Darcy滲流。其中，水平井只在與裂縫相交處射孔，其他段均封閉。不考慮重力的影響，同時假設(shè)裂縫垂直并貫穿儲層，則流體在油藏中的流動為二維問題。

圖1　非正交壓裂縫分布及離散裂縫微元示意圖Fig.1 Schematics of un-orthogonal complex hydraulic fracture geometry and segments

如圖1（b）所示，將該裂縫網(wǎng)絡(luò)離散為NS=53個微元，并順序編號，每個裂縫微元可以有不同長度和導(dǎo)流能力。地層流體在每個裂縫微元上均勻分布，但每個裂縫微元的地層流量和壓力均不同。

2　數(shù)學(xué)模型

假設(shè)地層流體為單相黑油。生產(chǎn)井正常生產(chǎn)時，地層流體先從油藏流向裂縫，再由裂縫流向生產(chǎn)井筒，最后流向地面。若認為井筒內(nèi)管流摩阻可以忽略，即井筒無限導(dǎo)流，則以上流動可分為油藏流動和裂縫內(nèi)部流動，分別對這兩種流動過程進行建模，再在裂縫面進行壓力和流量耦合，建立壓裂裂縫網(wǎng)絡(luò)不穩(wěn)態(tài)流動半解析模型。為了統(tǒng)一和簡便，將各變量變換成無因次變量進行相關(guān)計算和研究。定義無因次參數(shù)如下：

式中，k為油藏滲透率，μm2；φ為油藏孔隙度；h為油藏厚度，m；pi為原始地層壓力，MPa；μ為地層流體黏度，mPa·s；B為地層流體體積系數(shù)；ct為綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；qw為井的產(chǎn)量，m3/d；t為時間，h；pfi為裂縫微元i的壓力，MPa；qfi為油藏流向裂縫微元i的流量，m3/d；（xfi，yfi）為裂縫微元i的幾何中心，m；ΔLfi裂縫微元i的長度，m；kfwf為裂縫微元i的導(dǎo)流能力，μm2·cm；φfi為裂縫微元i的孔隙度；cfti為裂縫微元的壓縮系數(shù)，MPa-1；ε為裂縫方向；LF為參考長度，m；下標w表示生產(chǎn)井；下標f表示裂縫，下標i表示裂縫微元索引，下標D代表無因次。值得注意的是，本文中雖以油藏為研究對象，但對于氣體流動，只須引入擬壓力函數(shù)，其余無因次變量與油藏相同。

2.1油藏流動

基于Laplace空間源函數(shù)求得油藏流動解析解。Ozkan［10］給出了Laplace空間中不同邊界條件下的點源函數(shù)。油藏流體向裂縫流動時，相當(dāng)于NS個裂縫微元同時生產(chǎn)?；趧莜B加原理，將多個裂縫微元同時生產(chǎn)產(chǎn)生的干擾由源函數(shù)的疊加實現(xiàn)。第i個裂縫微元的壓力卷積公式為

對式（1）進行Laplace變換，

將式（2）應(yīng)用到所有裂縫微元，得到包含NS個等式的矩陣方程為

其中

式中，s為Laplace變量；K0為零階第二類修正貝塞爾函數(shù)；f（s）為雙重孔隙介質(zhì)中的竄流函數(shù)，對于本文中的單孔介質(zhì)f（s）=s；θ為裂縫微元與x軸的夾角。

2.2裂縫內(nèi)部流動

壓裂形成人工裂縫的寬度通常為毫米級別，相對整個油藏尺寸，其寬度可忽略。即在二維油藏流動中，裂縫流動可認為呈一維流動。對于壓裂裂縫網(wǎng)絡(luò)，流動不再局限于一維線性流，而是在裂縫相交處存在交匯流動。存在交匯流動的裂縫微元數(shù)在總裂縫微元數(shù)中所占比例不大。筆者建模思路為：在裂縫空間位置不變的前提下，給出暫不考慮裂縫交匯流動的擬縫網(wǎng)流動，然后利用星三角變換法對相對少量的相交裂縫微元流動方程進行變換，修正之前得到的擬縫網(wǎng)流動方程，進而得到真實的縫網(wǎng)流動等式。

實空間下裂縫內(nèi)不穩(wěn)態(tài)流動方程的無因次形式為

假設(shè)油藏初始時刻壓力分布均勻，裂縫端部封閉，生產(chǎn)井定產(chǎn)量生產(chǎn)，則初始條件及內(nèi)外邊界條件為

其中，tip表示裂縫端部，wellbore表示與井筒相連。將式（4）和（5）分別進行Laplace變換后如下：

將式（6）在裂縫微元上離散，得到以下有限差分形式：

式中，Bi、Ci、Di和Ei為系數(shù)。

式（7）中的定產(chǎn)邊界條件的離散形式為

基于壓力和流量在裂縫面的連續(xù)性，式（3）和（8）中的壓力和流量相同。聯(lián)立式（3）、（8）和（9），給出不考慮裂縫交匯流動下壓裂井定產(chǎn)量生產(chǎn)時的壓力動態(tài)方程。

2.3裂縫交匯流動

交匯流動只存在于相交裂縫處，如圖1中編號為2、9和48的裂縫微元。圖2給出了裂縫相交的幾種情況。以圖2（c）為例，標號為1～4的為裂縫微元，標號0表示交匯單元。在裂縫內(nèi)部流動方程中，須引入交匯單元及其壓力值確定地層流體在交匯處的流動方向與流量分配；在油藏流動中，交匯單元相對于裂縫微元體積太小，不能作為源匯項，即不能引入到油藏流動方程中。在耦合油藏和裂縫流動時，類似于標號0的交匯單元就成了奇異單元。該類奇異單元將會導(dǎo)致油藏流動矩陣方程和裂縫流動矩陣方程秩的不同而無法耦合，必須設(shè)法消去。

首先，考慮圖2（c）中相鄰兩個單元之間的流動，以交匯單元0和裂縫微元2為例，流動表達式為

其中

式中，p為單元壓力；Q20為從單元2到單元0的流量；kiwi為單元i的導(dǎo)流能力；Di為單元i幾何中心到連接界面中心的距離。

圖2　裂縫微元相交示意圖Fig.2 Schematics of fracture segments intersecting

考慮到交匯單元的尺寸相對于裂縫微元的尺寸非常小D2?D0，并假定交匯單元與相鄰的裂縫微元有相近的導(dǎo)流能力k2w2k0w0，因此有γ2?γ0，則兩單元之間的傳導(dǎo)率近似為

同理，對裂縫微元1、3和4分別有T40γ4、T10γ1和T30γ3。

為消去人工裂縫與天然裂縫之間的交匯單元，應(yīng)用電路網(wǎng)絡(luò)中電流與多孔介質(zhì)中滲流相似原理。圖3說明了電路網(wǎng)絡(luò)的星三角變換法。King［19］首次利用該方法計算了非均質(zhì)油藏中儲層有效滲透率。Karimi［20］將其應(yīng)用到離散裂縫網(wǎng)絡(luò)（DFN）流動模擬中，消除了由于裂縫交匯形成的控制體積。利用圖3的變換過程消去交匯單元0，使1～4裂縫微元直接相鄰，則地層流體在裂縫交匯處的流向重定向和流量重分配就可直接通過裂縫微元的壓力和傳導(dǎo)率自動決定。Karimi［20］指出變換后相鄰裂縫微元之間的傳導(dǎo)率計算式為

圖3　星三角變換法示意圖Fig.3 Schematics of star-delta transformation

2.4不穩(wěn)態(tài)流動過程求解

壓裂井的生產(chǎn)動態(tài)通過聯(lián)立油藏流動式（3）和經(jīng)星三角變換法修正得到的裂縫流動式（8）并結(jié)合邊界條件（9）得到。從以上3個表達式可以看出，求解任何一個等式都需要其他兩個等式中的未知量，因此壓力動態(tài)的計算是3個等式相互耦合的過程。本文中利用類似Al-Kobaisi［21］的耦合方法，以如圖4所示的簡單壓裂縫網(wǎng)說明耦合求解過程。標號為1～4表示人工裂縫微元，標號5～8為天然裂縫微元。耦合計算矩陣為

根據(jù)式（3），有M1=A8×8，M2=-I［］0，I為8× 8的單位矩陣，O為8×1的全0向量。其余的矩陣和向量為

圖4　簡單縫網(wǎng)示意圖Fig.4 Schematics of simple hydraulic fracture network

由于受到縫網(wǎng)內(nèi)外邊界條件及交匯流動的影響，處于不同位置的裂縫微元其流動式（8）會有所不同，即對應(yīng)的壓力和流量項的系數(shù)會發(fā)生變化。以下對裂縫微元分類討論，并給出以上耦合矩陣中各系數(shù)的計算式。

（1）內(nèi)部裂縫微元。根據(jù)式（8），該類微元的離散控制方程為

式（14）的系數(shù)為

（2）交匯裂縫微元。標號為2、3、6和7均為交匯裂縫微元。以微元2為例，其在擬縫網(wǎng)流動中的式（8）經(jīng)星三角變換后為

利用式（12）推導(dǎo)得式（15）的系數(shù)為

對編號為3、6、7的裂縫微元進行類似以上的變換，完成從擬縫網(wǎng)流動到真實縫網(wǎng)流動的轉(zhuǎn)換。

（3）與井筒相鄰的裂縫微元。對于與井筒直接相鄰的裂縫微元（i=1），式（8）變?yōu)?/p>

其中

矩陣M4中的其余Hi（i≠1）均為0。

（4）封閉邊界處裂縫微元。對于處于封閉邊界的裂縫微元（i=4，5，8），式（8）中沒有Bi或Di。

（5）定產(chǎn)內(nèi)邊界條件。壓裂井定產(chǎn)量生產(chǎn)時式（10）寫成如下離散形式：

其中，壓力項的系數(shù)和右端常數(shù)分別對應(yīng)矩陣M4中的Li和Ri，L1=-1，L9=Nw，其余Li均為0；R9=其余Ri均為0。

Everdingen和Hurst［22］指出，在Laplace空間中將wD帶入以下等式可以考慮井筒存儲效應(yīng)和表皮系數(shù)的影響，

式中，S為表皮系數(shù)；CD為無因次井筒存儲系數(shù)（CD=C/（2πφcthL2F））。

定壓生產(chǎn)下的無因次產(chǎn)量表達式為

求解矩陣（13），并利用Stehfest數(shù)值方法［23］反演式（18）和（19），可得實空間下的壓力和產(chǎn)量動態(tài)。將式（3）應(yīng)用到油藏不同位置時，可以計算不同時刻油藏的壓力分布。最后需要注意的是：由于式（4）采用一維流動對縫內(nèi)流動進行建模，因此對于垂直于壓裂水平井的橫切縫，還須引入聚流表皮因子Sc［24］，并利用類似于式（18）的方法再次修正井底壓力，表達式為

3　不同形態(tài)裂縫的不穩(wěn)態(tài)流動過程

雖然本文中提出的半解析模型主要針對壓裂裂縫網(wǎng)絡(luò)，但由于對裂縫內(nèi)流動采用數(shù)值解，因此該模型同樣適用于簡單壓裂縫。為驗證模型的準確性和通用性，分別對壓裂單條縫、多條縫、正交縫網(wǎng)以及非正交縫網(wǎng)的生產(chǎn)動態(tài)進行預(yù)測，并與文獻［2］及文獻［8］的經(jīng)典結(jié)果進行對比。

3.1單條裂縫井底壓力動態(tài)

假設(shè)直井鉆完井后進行水力壓裂，形成兩側(cè)等長度的雙翼縫，裂縫完全穿透儲層。利用半解析模型預(yù)測其井底壓力動態(tài)，并與已有結(jié)果對比。設(shè)參考長度LF為裂縫半長，無因次裂縫導(dǎo)流能力為cfD=40，無因次裂縫導(dǎo)壓系數(shù)為ηfD=1.0×10-6。圖5為不考慮井筒存儲效應(yīng)和表皮系數(shù)的無因次井底壓力以及壓力導(dǎo)數(shù)對比曲線。從結(jié)果中可以看出，在整個生產(chǎn)時間段內(nèi)，本文中模型與文獻［2］結(jié)果吻合度很高。生產(chǎn)中也出現(xiàn)了較明顯的流動形態(tài)：①早期裂縫與地層雙線性流（壓力與壓力導(dǎo)數(shù)呈斜率1/4直線）；②早期地層線性流（壓力與壓力導(dǎo)數(shù)呈斜率1/2直線）；③中期過渡流；④晚期擬徑向流（壓力導(dǎo)數(shù)為0.5）。

圖5　本文模型與文獻［2］模型單條裂縫壓力動態(tài)對比曲線Fig.5 Comparison of pressure and derivative responses of this model and reference 2 model for single fracture

3.2多條裂縫井底壓力動態(tài)

新鉆水平井分4段壓裂，壓裂設(shè)計人工縫等間距分布，各裂縫半長與導(dǎo)流能力均相等。利用本文模型預(yù)測其壓力動態(tài)，并與前人計算結(jié)果對比。其中取參考長度LF為裂縫半長，cfD=40，ηfD=1.0×10-6，相鄰裂縫間距為LF的5倍，對比結(jié)果如圖6所示。從圖6的對比結(jié)果中看出，本文的壓力及壓力導(dǎo)數(shù)與文獻［8］的計算結(jié)果吻合很好。同時也反映了多段壓裂水平井壓力動態(tài)曲線的基本特征，流動方式的順序是：①早期雙線性流動（壓力與壓力導(dǎo)數(shù)為斜率1/4直線）；②早期地層線性流動（壓力與壓力導(dǎo)數(shù)為斜率1/2直線）；③中期徑向流動（壓力導(dǎo)數(shù)為0.5/4= 0.125）；④雙徑向流動（壓力導(dǎo)數(shù)為斜率0.36直線）；⑤晚期擬徑向流動（壓力導(dǎo)數(shù)為0.5）。

3.3非正交裂縫網(wǎng)絡(luò)生產(chǎn)動態(tài)

現(xiàn)場體積改造所形成的縫網(wǎng)中，裂縫常成不同角度復(fù)雜交錯。以圖1（c）所示的裂縫網(wǎng)絡(luò)為例，計算其壓力及壓力導(dǎo)數(shù)，劃分其流動形態(tài)。同時求解不同時刻儲層不同位置的壓力值，預(yù)測油藏壓力分布。計算非正交裂縫網(wǎng)絡(luò)生產(chǎn)動態(tài)基本參數(shù)：油藏厚度為70 m，油藏滲透率為1×10-7μm2，油藏孔隙度為0.05，油藏初始壓力為20 MPa，綜合壓縮系數(shù)為1.4×10-4MPa-1，地層流體黏度為0.8 mPa·s，人工裂縫導(dǎo)流能力為20 μm2·cm，人工裂縫孔隙度為0.46，人工裂縫壓縮系數(shù)為1.2×10-4MPa-1，天然裂縫導(dǎo)流能力為5 μm2·cm，天然裂縫孔隙度為0.54，天然裂縫壓縮系數(shù)為1.1×10-4MPa-1，產(chǎn)量為0.7 m3/d，表皮系數(shù)為0，無因次井筒存儲系數(shù)為0。

圖7為非正交縫網(wǎng)的壓力及壓力導(dǎo)數(shù)動態(tài)曲線。由動態(tài)曲線可以得出，縫網(wǎng)的流態(tài)過程可分為5個階段：①早期裂縫內(nèi)部線性流，即油藏流體未流動，只有裂縫內(nèi)部流體流動，這一流動過程與Cinco -Ley［25］文中的解析式（8）相似，由于處理單縫或多縫有限導(dǎo)流時通常假設(shè)裂縫內(nèi)為穩(wěn)態(tài)流動，加之裂縫總長度較小，因此很難觀測到裂縫內(nèi)部線性流，本文中對裂縫流動采用不穩(wěn)態(tài)建模，同時整個縫網(wǎng)裂縫總長度較大，因此裂縫線性流較明顯；②早期裂縫與地層雙線性流，類似于單縫和多縫的雙線性流，該流動由裂縫內(nèi)部線性流和油藏線性流組成，壓力以及壓力導(dǎo)數(shù)呈斜率為1/4的直線，此時裂縫之間還未出現(xiàn)壓力干擾；③早期地層線性流，壓力以及壓力導(dǎo)數(shù)呈斜率為1/2的直線，油藏流體以垂直于距其最近的裂縫流動；④中期過渡流，從壓力場看，裂縫之間壓力干擾明顯，生產(chǎn)所需的流體大部分來自于縫網(wǎng)內(nèi)部儲層；⑤晚期擬徑向流，縫網(wǎng)外部地層流體開始流動，此時壓力波以近似于圓形向外傳播，壓力導(dǎo)數(shù)為0.5的直線。

圖8為對應(yīng)生產(chǎn)階段的油藏壓力場。圖8直觀地反映出壓力降首先產(chǎn)生在小間距和高導(dǎo)流能力裂縫的附近儲層，然后向外擴展。壓裂井的正常生產(chǎn)主要通過裂縫網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部油藏降壓保證。即使生產(chǎn)50 a，油藏衰竭區(qū)域也僅限在經(jīng)壓裂改造的儲層中，改造區(qū)外的儲層流體很少流動。由此可見，增大裂縫網(wǎng)絡(luò)體積、降低裂縫間距、提高裂縫導(dǎo)流能力是開發(fā)滲透率在1×10-7μm2級別儲層的一種有效措施。

圖8　非正交縫網(wǎng)不同生產(chǎn)階段裂縫及附近地層壓力分布Fig.8 Pressure distribution of un-orthogonal fracture network for different prodcution periods

3.4正交裂縫網(wǎng)絡(luò)生產(chǎn)動態(tài)

雖然將裂縫網(wǎng)絡(luò)假設(shè)為正交縫網(wǎng)過于理想，但從內(nèi)容的完整性講，研究正交縫網(wǎng)的生產(chǎn)動態(tài)也有一定必要性。由于正交縫網(wǎng)關(guān)于水平井筒對稱，以縫網(wǎng)的一半（圖9）為例，其中人工縫半長120 m，共3條；天然縫長180 m，共5條。無因次井筒存儲系數(shù)CD=1×10-4，表皮系數(shù)S=0.01，其余參數(shù)同上。

如圖10所示的壓力及壓力動態(tài)曲線，考慮井筒存儲效應(yīng)和表皮系數(shù)影響后，井筒續(xù)流段（圖10中流動階段①）掩蓋了早期裂縫內(nèi)部線性流。其余流動階段皆與圖8中的流動段②～⑤類似。圖11為縫網(wǎng)不同生產(chǎn)時間的油藏壓力分布特征，也與非正交縫網(wǎng)相似。

圖9　正交裂縫網(wǎng)絡(luò)示意圖Fig.9 Schematics of orthogonal hydraulic fracture network

圖10　正交裂縫網(wǎng)絡(luò)壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線Fig.10 Transient pressure and derivative of orthogonal hydraulic fracture network

圖11　正交縫網(wǎng)不同生產(chǎn)時間裂縫及附近地層壓力分布Fig.11 Pressure distribution of orthogonal fracture network for different prodcution periods

4　實例應(yīng)用

本文模型的實例應(yīng)用須明確壓裂裂縫網(wǎng)絡(luò)空間位置及導(dǎo)流能力分布。國內(nèi)關(guān)于該方面的文獻較少，國外研究較多。以Barnett頁巖區(qū)一口分段多簇壓裂水平井W1為例［26］，應(yīng)用本文模型預(yù)測其生產(chǎn)動態(tài)。

W1井分4段壓裂，壓后對第1段進行了詳細的微地震監(jiān)測，地層及流體參數(shù)也較為全面。文獻［26］結(jié)合監(jiān)測結(jié)果和裂縫擴展模型得到了裂縫空間位置及導(dǎo)流能力分布，如圖12（a）所示。本文實例所用的縫網(wǎng)如圖12（b）所示。其中，基質(zhì)滲透率為1×10-7μm2，油藏、人工裂縫及天然裂縫的孔隙度分別為0.13、0.47和0.53，油藏厚度為140 m，初始壓力為27.6 MPa，井底流壓為8.6 MPa，其余參數(shù)可參見文獻［26］。圖13為氣體PVT高壓物性。值得注意的是，以下計算中并未考慮頁巖氣體的擴散、滑脫及解析吸附過程，目的是把重點落在復(fù)雜壓裂縫網(wǎng)流動的處理上。相對于油藏流動，氣藏流動只須引入擬壓力函數(shù)即可。裂段的無因次井底壓力，再利用式（19）以及Stehfest數(shù)值反演方法計算無因次產(chǎn)量，最后將無因次產(chǎn)量因次化，得到日產(chǎn)氣量及累積產(chǎn)氣量曲線，結(jié)果如圖14所示。圖15為不同生產(chǎn)時間下裂縫及油藏壓力分布。可以看出在生產(chǎn)早、中期，氣藏流動主要集中在裂縫間距?。戳芽p密度大）和裂縫導(dǎo)流能力高的附近儲層；同時從生產(chǎn)30 a的壓力場可以看出，氣藏最終泄流區(qū)域均局限在壓裂改造的儲層范圍內(nèi)。

圖12　文獻［26］及本文實例所用的復(fù)雜壓裂縫網(wǎng)Fig.12 Complex hydraulic fracture network from reference 26 and used for field example in this paper

圖13　儲層條件下的氣體高壓物性Fig.13 Gas properties at reservoir conditions

圖14　第1壓裂段的產(chǎn)氣速度和累積產(chǎn)氣量Fig.14 Gas rate and cumulative gas production profile in stage one

圖15　W1井第1壓裂段不同生產(chǎn)時間裂縫及附近地層壓力分布Fig.15 Pressure distribution of stage one of well W1 for different prodcution periods

5　結(jié) 論

（1）結(jié)合星三角變換法和有限差分方法解決了相交裂縫間的交匯流動問題。通過耦合油藏流動解析解和裂縫內(nèi)部流動數(shù)值解，得到了壓裂裂縫網(wǎng)絡(luò)不穩(wěn)態(tài)流動半解析模型。該模型適用于裂縫空間位置和導(dǎo)流能力任意分布的裂縫網(wǎng)絡(luò)，可以計算生產(chǎn)井的產(chǎn)量和壓力動態(tài)，同時可以預(yù)測不同生產(chǎn)時刻儲層的壓力分布。

（2）在上下封閉無界儲層中，壓裂縫網(wǎng)存在裂縫內(nèi)部線性流、裂縫與地層雙線性流、地層線性流、過渡流以及擬徑向流。受井筒存儲效應(yīng)的影響，觀測不到裂縫內(nèi)部線性流。滲透率為1×10-7μm2級別的儲層在生產(chǎn)早、中期流體流動主要集中在密度大及導(dǎo)流能力高的裂縫附近；但最終（生產(chǎn)30～50 a）的泄流區(qū)域都局限在壓裂改造范圍內(nèi)，改造區(qū)外的儲層流體很少流動。

（3）Barnett頁巖區(qū)一口分段多簇壓裂水平井實例驗證了本文模型的實用性。

［1］ GRINGARTEN A C，RAMEY H J.The use of source and green's functions in solving unsteady flow problems in reservoirs［R］.SPE 3818，1973.

［2］ CINCO LEY H，SAMANEIGO V F，DOMINGUEZ N. Transient pressure behavior for a well with a finite-conductivity vertical fracture［R］.SPE 6014，1978.

［3］ 張義堂，劉慈群.垂直裂縫井橢圓流模型近似解的進一步研究［J］.石油學(xué)報，1996，17（4）：71-77. ZHANG Yitang，LIU Ciqun.Further study on the approximate solutions of the elliptical flow model for wells with vertical fractures［J］.Acta Petrolei Sinica，1996，17（4）：71-77.

［4］ SCHULTE W M.Production from a fractured well with well inflow limited to part of the fracture height［R］. SPE 12882，1996.

［5］ GUO G L，EVANS R D.Pressure-transient behavior and inflow performance of horizontal wells intersecting discrete fracture［R］.SPE 26446，1993.

［6］ RAGHAVAN R，CHEN C C，AGARWAL B.An analysis of horizontal wells intercepted by multiple fractures［R］.SPE 27652，1997.

［7］ CHEN C C，RAGHAVAN R.A multiply-fractured horizontal well in a rectangular drainage region［R］.SPE 37072，1997.

［8］ 姚軍，劉丕養(yǎng)，吳明錄.裂縫性油氣藏壓裂水平井試井分析［J］.中國石油大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，37（5）：107-119. YAO Jun，LIU Piyang，WU Minglu.Well test analysis of fractured horizontal well in fractured reservoir［J］.Journal of China University of Petroleum（Edition of Natural Science），2013，37（5）：107-119.

［9］ 王曉冬，羅萬靜，侯曉春，等.矩形油藏多段壓裂水平井不穩(wěn)態(tài)壓力分析［J］.石油勘探與開發(fā)，2014，41（1）：74-78. WANG Xiaodong，LUO Wanjing，HOU Xiaochun，et al. Transient pressure analysis of multiple-fractured horizontal wells in boxed reservoirs［J］.Petroleum Exploration and Development，2014，41（1）：74-78.

［10］ OZKAN E，RAGHAVAN R.New solutions for well-testanalysis problems：part I-analytical consideration［R］. SPE 23593，1991.

［11］ FISHER M K，HEINZE J R，HARRIS C D，et al.Optimizing horizontal completion techniques in the barnett shale using microseismic fracture mapping［R］.SPE 90051，2004.

［12］ XU W，THIERCELIN M，GANGULY U，et al.Wiremesh：a novel shale fracturing simulator［R］.SPE 132218，2010.

［13］ AL-AHMADI H A，WATTENBARGER R A.Triple-porosity models：one further step towards capturing fractured reservoirs heterogeneity［R］.SPE 149054，2011.

［14］ ZHOU W，BANERJEE R，POE B，et al.Semi-analyti-cal production simulation of complex hydraulic fracture networks［R］.SPE 157367，2012.

［15］ 袁彬，蘇玉亮，豐子泰，等.體積壓裂水平井縫網(wǎng)滲流特征與產(chǎn)能分布研究［J］.深圳大學(xué)學(xué)報：理工版，2013，30（5）：545-550. YUAN Bin，SU Yuliang，F(xiàn)ENG Zitai，et al.Productivity distribution and flow characteristics of volume-fractured horizontal wells［J］.Journal of Shenzhen University（Science and Engineering），2013，30（5）：545-550.

［16］ 蔡田田.低滲透油藏體積壓裂數(shù)值模擬研究［D］.大慶：東北石油大學(xué)石油工程學(xué)院，2013. CAI Tiantian.Study on the volume fracturing numerical simulation in low-permeability reservoir［D］.Daqing：College of Petroleum Engineering in Northeast Petroleum University，2013.

［17］ MAYERHOFER M J，LOLON E P，YOUNGBLOOD J E，et al.Integration of microseismic fracture mapping results with numerical fracture network production modeling in the barnett shale［R］.SPE 102103，2006.

［18］ CIPOLLA C L.Modeling production and eveluating fracture performance in unconventional gas reservoirs［R］. SPE 118536，2009.

［19］ KING P R.The use of renormalization for calculating effective permeability［J］.Transport in Porous Media，1989，4（1）：37-58.

［20］ KARIMI-FARD M，DURLOFSKY L J，AZIZ K.An efficient discrete fracture model applicable for general purpose reservoir simulators［R］.SPE 79699，2003.

［21］ AL-KOBAISI M，OZKAN E，KAZEMI H.A hybrid numerical/analytical model of a finite-conductivity vertical fracture intercepted by a horizontal well［R］.SPE 92040，2006.

［22］ van EVERDINGEN A F，HUST W.The application of the laplace tranformation flow problems in reservoirs［J］.Journal of Petroleum Technology，1949，1（12）：305-327.

［23］ STEHFEST H.Numerical inversion of laplace tranform［J］.Communications of Acm，1970，13（1）：47-49.

［24］ MUKHERJEE H，ECONOMIDES M J.A parametric comparison of horizontal and vertical well performance［R］.SPE 18303，1991.

［25］ CINCO LEY H，SAMANIEGO V F.Transient pressure analysis for fractured wells［R］.SPE 7490，1981.

［26］ CIPOLLA C L，F(xiàn)ITZPATRICK T，WILLIAMS M J，et al.Seismic-to-simulation for unconventional reservoir development［R］.SPE 146876，2011.

（編輯 李志芬）

A semi-analytical model for transient flow behavior of hydraulic fracture networks

JIA Pin，CHENG Linsong，HUANG Shijun，LI Quan
（College of Petroleum Engineering in China University of Petroleum，Beijing 102249，China）

Comparing with the flow in single and multiple fractures，the flow behaviors in hydraulic fractured networks that consist of interconnected fractures are featured of flow redirection and flux redistibution at fracture intersections.In this paper，the flow behavior in fractured networks was modeled and the numerical solution was given by combining star-delta transformation and finite difference methods.An analytical solution for the flow in reservoir matrix was obtained based on source functions in Laplace domain and superposition principles.A semi-analytical model for the transient flow in hydraulic fractured networks was derived by dynamically coupling these two flow processes.The model was verified with a field case study.The results show that the semi-analytical model can be applied to fracture networks with arbitrary geometry and variable fracture conductivity.The transient bottomhole pressure and production rate can be solved along with reservoir pressure distribution during different production periods.In an infinite slabed reservoir，the flow in hydraulic fractured networks can be classified into five flow regimes，including the fracture linear flow，bilinear flow，formation linear flow，transient flow and pseudo-radial flow.The afterflow caused by wellbore storage effect may overshadow the fracture linear flow.For the reservoirs with permeability of 1×10-7μm2，the fluid drainage occurs primarily in the vicinity of the fractures with large density and higher conductivity at the earlymiddle production periods.However，the ultimate depletion（e.g.after 30-50 years of production）is still limited to the region of the stimulated reservoir volume and the fluid flow beyond the stimulated region makes little contribution to the total produc-tion.

hydraulic fracture networks；star-delta transformation；finite difference method；point source function；transient responses

TE 312

A

1673-5005（2015）05-0107-10

10.3969/j.issn.1673-5005.2015.05.015

2015-01-09

國家自然科學(xué)基金項目（51174215，E0403）

賈品（1990-），男，博士研究生，研究方向為油藏工程和滲流理論。E-mail：jiapin1990@163.com。

引用格式：賈品，程林松，黃世軍，等.壓裂裂縫網(wǎng)絡(luò)不穩(wěn)態(tài)流動半解析模型［J］.中國石油大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2015，39（5）：107-116.

JIA Pin，CHENG Linsong，HUANG Shijun，et al.A semi-analytical model for transient flow behavior of hydraulic fracture networks［J］.Journal of China University of Petroleum（Edition of Natural Science），2015，39（5）：107-116.