順應(yīng)兒童數(shù)學(xué)思維發(fā)展的操作材料

李娟+周惠靜+陳姍

建構(gòu)主義認為，所有知識都是被建構(gòu)的，主體只有作用于客體才能獲得知識，兒童必須通過外部動作或活動才能使概念內(nèi)化。當(dāng)前，大多數(shù)幼兒園教師已經(jīng)接納了這一理念并努力實踐著。但有時候教師由于對幼兒學(xué)習(xí)過程缺乏了解，因此提供的操作材料不能很好地順應(yīng)并促進幼兒數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。在行動研究過程中，我們不斷幫助教師厘清數(shù)學(xué)概念及其相互之間的復(fù)雜關(guān)系、幼兒學(xué)習(xí)這些概念的過程及思維發(fā)展特點。在此基礎(chǔ)上，教師提供給幼兒的操作材料跟原有的也有所不同了。在此，呈現(xiàn)兩組教師在行動研究前后提供的操作材料。

一、關(guān)于“數(shù)的分解”的操作材料

（一）原有的操作材料

在行動研究前，教師提供的關(guān)于“數(shù)的分解”方面的操作材料如圖1、圖2所示，如要把8分解成兩個數(shù)，幼兒就擺出6個點子和2個點子的葉子，或者5個點子和3個點子的葉子。類似材料可能很多幼兒園教師都制作過。這樣的材料與紙質(zhì)練習(xí)單相比有所進步，可供幼兒擺弄。但我們發(fā)現(xiàn)，幼兒操作幾次之后便再也沒有興趣了，而且幼兒并沒有“做中學(xué)”，而是頭腦中先有答案再擺出來的。這樣的操作材料對于那些尚沒有掌握數(shù)的分解的幼兒并無太大益處，也有悖于“通過讓幼兒操作材料達到運算的逐步內(nèi)化和對運算過程反省抽象”的初衷。

（二）調(diào)整后的操作材料

1.“玩轉(zhuǎn)保齡球”

如圖3，地上擺好10個瓶子，幼兒站在離瓶子一定距離處“打保齡球”，之后數(shù)一數(shù)自己打倒了幾個瓶子，站著的還有幾個瓶子。然后取出相應(yīng)的小木棍插入圖表下方的口袋里，并寫出相應(yīng)的分解式和加法算式。比如，打倒了6個瓶子，就在“瓶子倒了”圖表下的口袋里插入6根小木棍，在“站立瓶子”圖表下的口袋里插入4根小木棍，然后寫出“4+6=10”。對于那些還沒有接觸過加法算式的幼兒，教師可以改用數(shù)的分解式。

2.“打滑梯”

如圖4，幼兒根據(jù)紙上顯示的3個點子，將3個小球從“滑梯”上撒下來，3個小球就自然地被分到兩個小盒子里。幼兒可以在記錄單上記錄每次“打滑梯”的結(jié)果。

3.“分球”

如圖5，幼兒晃動3個球，這3個球會被隨機分到兩個格子里，幼兒記錄分配的結(jié)果。

（三）調(diào)整后的操作材料的優(yōu)點

數(shù)的分解這一概念涉及“整體與部分”“集合比較”“加減法”等概念。首先，幼兒應(yīng)知道被分解的數(shù)量與分解后的兩個數(shù)量之間是整體與部分的關(guān)系，且被分解的數(shù)量比較大；其次，幼兒需要更加精確地知道哪兩個集合的數(shù)量相加等于被分解的數(shù)量。這個概念對于幼兒來說是非常抽象的，而實物和行動過程演示有助于幼兒的理解。我們可以看出，幼兒在運用調(diào)整后的操作材料時可以把數(shù)的分解過程完全顯現(xiàn)出來。比如“10可以分成6和4”，完全可以用“打倒了6個瓶子，站立著4個瓶子”這一動作和形象表征出來。由于學(xué)前兒童處于具體形象思維階段，所以把內(nèi)部運算過程外顯化，有助于幼兒理解抽象的概念。

另外，多種感知覺結(jié)合起來能更好地促進幼兒概念的獲得。列烏申娜通過讓兒童一邊沿著幾何形狀的邊緣觸摸、一邊看、一邊說出幾何形狀的名字（觸覺、運動覺、視覺、聽覺結(jié)合起來），來提高兒童對幾何形狀的認識（轉(zhuǎn)引自陳幗眉，1993）。調(diào)整后的操作材料主要就是將幼兒的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與運動覺聯(lián)系起來，以促進幼兒對抽象的數(shù)量關(guān)系的理解。其實，數(shù)學(xué)教育中還有很多把不同感知覺聯(lián)系起來促進幼兒數(shù)學(xué)概念獲得的做法，比如利用音樂或樂器讓幼兒獲得模式的概念（聽覺、運動覺），提供不同粗糙程度的材料讓幼兒分類（觸覺、視覺），等等。

二、關(guān)于“加減法”的操作材料

（一）原有的操作材料

在行動研究前，教師提供的關(guān)于加減運算的操作材料如圖6～9所示：教師轉(zhuǎn)動滾筒出現(xiàn)不同的加減題目，讓幼兒口頭說出總數(shù)；把算術(shù)題和得數(shù)拼在一起；把得數(shù)正確的算式套在相應(yīng)的手指頭上；變換瓶蓋列出正確的加減運算題目。這是教師利用各種廢舊材料制作的自認為生動有趣的操作材料，但是投放到區(qū)角后，教師發(fā)現(xiàn)很少有幼兒光顧。即便有時教師“揪”幾個孩子過來玩，他們也表現(xiàn)不出太大的熱情。經(jīng)過觀察和研討，我們達成了共識：（1）這些操作材料跟紙質(zhì)練習(xí)單并無本質(zhì)差別，幼兒只是心算完題目之后擺出正確答案而已。這些材料顯然沒有給幼兒任何思維上的支持。（2）四種材料中有三種材料都涉及進位加法，這對于大班幼兒來說有一定難度。當(dāng)然，對那些數(shù)概念發(fā)展較好的幼兒，教師可以采取個別化教學(xué)，讓其接觸一些進位加法，但教師仍需給予一定的支持。

（二）調(diào)整后的操作材料

1.“好長的毛毛蟲”

加減運算的過程與位值概念的發(fā)展是不可分割的，尤其是在遇到包含進位和借位的加減運算時。有研究證實，兒童對位值的理解與兒童在進行加減運算時所使用的策略存在相關(guān)。當(dāng)兒童的位值概念有所發(fā)展時，他們會從使用基本的策略（如口頭數(shù)數(shù)、數(shù)手指）向使用高級的策略轉(zhuǎn)化（如湊十法）?！?〕

位值（place value）是指在一個多位數(shù)中單個數(shù)字的值是根據(jù)它所處的位置決定的。我們所使用的位值制，是以“十”作為基底的，也就是十進制位值制?！?〕比如“11”中第一個“1”代表“1個10”，第二個“1”代表一個“1”，雖然幼兒不會這樣繞口地表達，但是幼兒對此有自己的感知。比如，教師提供捆在一起的10支鉛筆，還有一些散落的鉛筆，然后讓幼兒拿出11支鉛筆。有位值概念的幼兒會很快拿一捆（10支）鉛筆，再拿1支鉛筆。位值概念沒建立起來的幼兒則會直接拿11支散落的鉛筆。

那么如何促進兒童位值概念的發(fā)展呢？有研究者指出，“部分—整體概念”（如上述10支鉛筆捆在一起就變成了一個更大的單位：1個10）、“分群”（以不同的群來計數(shù)：大班點名時，有的幼兒2個2個數(shù)，有的幼兒5個5個數(shù)）是幼兒理解位值的關(guān)鍵?！?〕所以，我們制作了有利于幼兒獲得這兩個概念的操作材料。

如圖10所示，我們提供不同長度的單位（分別是：1個圈為一個單位，2個圈為一個單位，5個圈為一個單位，10個圈為一個單位），第一行的毛毛蟲由那些10個圈為一個單位的長度組成。第二行中，讓幼兒用其他單位長度與第一行的毛毛蟲對應(yīng)。在擺弄中，幼兒可以獲得“部分與整體”及“分群”的概念，從而慢慢獲得位值的概念。endprint

2.“雪花條”

沃建中對5～10歲兒童加法策略運用的研究表明，我國兒童運用的加法策略主要有：從頭開始數(shù)策略、從小數(shù)數(shù)策略、從大數(shù)數(shù)策略、湊十策略和心里盤算策略?！?〕我們通過對班上幼兒的觀察發(fā)現(xiàn)，在進行加減運算時大部分幼兒會選擇從大數(shù)數(shù)策略，有些幼兒會用湊十法。我們在之前的教學(xué)中非常希望幼兒會用湊十法這種“更高級一點”的策略，所以會讓幼兒背誦“口訣”，比如“8+3”的口訣是“8說，我多么想變成10啊，3說，我借給你2，3就剩1個了，最后得11”。但是，幼兒在背誦“湊十”口訣時是憑空想的，靠的是頭腦里的表象，所以往往比較困難。于是，我們在區(qū)域投放材料（見圖11）供數(shù)概念發(fā)展較好的幼兒操作。

我們把10個黃色雪花片用透明膠帶粘成一長條（作為一個單位），擺在第一排作為參照。把其他超過5的雪花片也粘成長條，再提供給幼兒一些散落的雪花片。比如，幼兒操作“8+3”時，第一步，拿出一整條黃色的10個雪花片放在第一排作為參照，然后拿出一整條紅色的8個雪花片，把兩條雪花片的左端對齊；第二步，拿出散落的3個雪花片，接著往后擺8個雪花片，然后會發(fā)現(xiàn)與第一排的10個雪花片相比，第二排多出了1個雪花片，從而得出“8+3=11”。其實，這個操作材料就是把憑空背誦的“湊十法口訣”視覺化。

在幼兒操作這個材料時，我們并不要求幼兒心里想著“湊十法”或一定要運用“湊十法”。有些幼兒在操作時，只是在8個雪花片后面接著再數(shù)3個雪花片，這是完全可以的。因為幼兒的發(fā)展水平不一，選擇的策略也不一。但是，幼兒即便是在運用“大數(shù)接著數(shù)”的策略，也會在視覺上感知位值，感知加數(shù)、被加數(shù)、得數(shù)與10的關(guān)系。

這里需要指出的是，《3～6歲兒童學(xué)習(xí)與發(fā)展指南》只提出了“學(xué)前兒童掌握10以內(nèi)加減法”的要求，但《指南》是針對全國大多數(shù)幼兒的發(fā)展水平而言的。對于那些對數(shù)概念較為敏感、發(fā)展水平較高的幼兒來說，我們也應(yīng)該為他們提供一些具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)內(nèi)容，與此同時一定要提供幫助他們發(fā)展思維的腳手架，不然很容易造成“小學(xué)化”。

（三）調(diào)整后的操作材料的優(yōu)點

調(diào)整后的操作材料雖然不那么花哨，卻是真正從幼兒數(shù)學(xué)概念獲得的過程出發(fā)，為幼兒數(shù)學(xué)概念的發(fā)展作鋪墊的。位值與幼兒加減法尤其是與涉及進位和借位的加減法關(guān)系密切，位值概念的獲得會影響幼兒加減法策略的選擇。所以，我們首先提供材料讓幼兒了解“部分與整體”“分群”，以促進幼兒位值概念的獲得。然后提供“雪花條”，為幼兒理解十進位和湊十法提供視覺上的提示。這兩種操作材料是在教師真正理解了加減法、位值、部分與整體、分群等概念及其相互之間關(guān)系的基礎(chǔ)上設(shè)計出來的，更加符合幼兒學(xué)習(xí)加減法概念的思維特點。

三、啟示

（一）以幼兒數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程為出發(fā)點

以往，我們在制作操作材料時，首先想到的要么是“好玩”“有趣”，要么是“達到練習(xí)的目的”。但是，這樣的操作材料有時候卻不那么受幼兒歡迎，因為那些不符合幼兒思維發(fā)展特點、花哨的操作材料對幼兒并沒有持久的吸引力。

操作材料的確要“好玩”“有趣”，但僅僅如此還不夠。我們更應(yīng)該從專業(yè)的角度去思考以下問題：“我要制作的操作材料是想讓幼兒獲得哪些關(guān)鍵經(jīng)驗？”“想讓幼兒獲得的這個關(guān)鍵經(jīng)驗與其他數(shù)學(xué)概念有何關(guān)系？”“幼兒在獲得這個概念的過程中會有哪些不同的階段？”“應(yīng)該針對幼兒思維發(fā)展的不同階段制作哪些不同的操作材料？”“制作的操作材料是否有助于外顯那些抽象的數(shù)量關(guān)系？”

（二）提高自身的“幼兒園數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識”水平

我們大體能說出“幼兒加減運算時應(yīng)該是從具體到抽象”，但不能詳細指出“從頭開始數(shù)策略、從小數(shù)數(shù)策略、從大數(shù)數(shù)策略、湊十策略和心里盤算策略”，也并不清楚加減運算與其他數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，比如與位值之間的關(guān)系，這就急需補充“幼兒數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識”。厘清幼兒數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程、思維發(fā)展特點、數(shù)學(xué)概念及其相互之間的復(fù)雜關(guān)系等問題，有助于我們制作符合幼兒學(xué)習(xí)特點并吸引幼兒的操作材料。

參考文獻：

〔1〕劉易.4～6歲兒童數(shù)表征和位值概念的發(fā)展研究〔D〕.上海：華東師范大學(xué)，2006.

〔2〕MIURA I T，OKAMOTO Y.Comparisons of U.S and Japanese first graders cognitive representation of number and understanding of place value〔J〕.Journal of Education Psychology，1989，81（1）：109-113.

〔3〕JONES G A，THORNTON C A.Childrens understanding of place value：A framework for curriculum development and assessment〔J〕.Young Children，1993，48（5）：12-18.

〔4〕沃建中，李峰，張宏.5～10歲兒童策略優(yōu)越性及策略選擇的個體差異的研究〔J〕.心理科學(xué)，2004，27（1）.endprint