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    一種求解指派問(wèn)題的進(jìn)步算法

    2015-10-15 03:32:10王竹芳潘雪
    關(guān)鍵詞:指派運(yùn)籌學(xué)短路

    王竹芳,潘雪

    (沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院,遼寧沈陽(yáng)110870)

    一種求解指派問(wèn)題的進(jìn)步算法

    王竹芳,潘雪

    (沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院,遼寧沈陽(yáng)110870)

    通過(guò)對(duì)運(yùn)籌學(xué)中的兩類經(jīng)典問(wèn)題:指派問(wèn)題和最短路問(wèn)題的對(duì)比分析,發(fā)現(xiàn)并證明了兩者之間存在一定的聯(lián)系,并試著借用這種聯(lián)系用解最短路的解法解決指派問(wèn)題,最終證明了這種進(jìn)步算法的有效性和效率性。

    運(yùn)籌學(xué);指派問(wèn)題;最短路

    引言

    線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中最主要的一個(gè)分支,其理論最完善、方法最成熟,應(yīng)用也最廣泛,涉及的很多問(wèn)題都是經(jīng)典的問(wèn)題,如運(yùn)輸問(wèn)題、指派問(wèn)題、最短路問(wèn)題、最小費(fèi)用流問(wèn)題等。在運(yùn)籌學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中,我們發(fā)現(xiàn)這些問(wèn)題中存在著許多的相似,利用這些相似,我們可以用不同的解法解決同種問(wèn)題,也可以用某一種解法解決所有相似問(wèn)題,這對(duì)我們將來(lái)研究線性規(guī)劃的算法有很大的幫助。本文正是試圖發(fā)現(xiàn)并證明最短路問(wèn)題與指派問(wèn)題之間的相似性,并利用解最短路的算法解決指派問(wèn)題。

    1 問(wèn)題及數(shù)學(xué)模型

    1.1指派問(wèn)題

    在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題,某單位需完成n項(xiàng)任務(wù),恰好有n個(gè)人可承擔(dān)這些任務(wù)。由于每人的專長(zhǎng)不同,個(gè)人完成任務(wù)不同(或所費(fèi)時(shí)間),效率也不同。于是產(chǎn)生應(yīng)指派哪個(gè)人去完成哪項(xiàng)任務(wù),使完成n項(xiàng)任務(wù)的總效率最高(或所需總時(shí)間最小)。這類問(wèn)題稱為指派問(wèn)題。

    指派問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式是:設(shè)有n種工作和n個(gè)人,要求每件工作只能由一個(gè)人來(lái)做;而且每個(gè)人也只允許做一件工作;第i個(gè)人做第j件工作所需費(fèi)用(或時(shí)間)為Cij(i,j=1,2,…,n),其費(fèi)用矩陣為:

    再設(shè)決策變量:

    問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為:

    1.2最短路問(wèn)題

    給定一個(gè)有向圖D=(V,A),對(duì)每一個(gè)弧a=(vi,vj),相應(yīng)地有權(quán)w(a)=wij,又給定D中的兩個(gè)頂點(diǎn)vs,vt。設(shè)P是D中從vs到vt的一條路,定義路P的權(quán)是P中所有弧的權(quán)之和,記為w(P)。最短路問(wèn)題就是要在所有從vs到vt的路中,求一條權(quán)最小的路,即求一條從vs到vt的路P0,使

    式中對(duì)D中所有從vs到vt的路P取最小,稱P0是從vs到vt的最短路。路P0的權(quán)稱為vs到vt的距離,記為d(vs,vt)。顯然,d(vs,vt)與d(vt,vs)不一定相等。

    問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為

    1.3關(guān)系

    定理:假設(shè)閉回路D中不存在負(fù)回路,令

    那么模型I等同于模型II

    證明:假設(shè)X={xij,i=1,2,…,n-1,j=2,3,…,n,i≠j}是模型I的最優(yōu)解,定義

    顯然X是模型II的可行解,而且

    結(jié)合(3)(4)我們證明了,在沒(méi)有負(fù)回路的假設(shè)前提下,模型(1)與模型(2)相同,也就是說(shuō)模型(2)的解就是模型(1)的解。

    2 算例

    2.1人數(shù)與任務(wù)數(shù)相等的指派問(wèn)題

    有一份說(shuō)明書(shū),要分別譯成英、日、德、俄四種文字,交甲乙丙丁四個(gè)人去完成,因個(gè)人專長(zhǎng)不同,他們完成翻譯不同文字所需的時(shí)間(h)如下表1所示。應(yīng)如何分配,是這四個(gè)人分別完成這四項(xiàng)任務(wù)總的時(shí)間最小。

    表1 四個(gè)人分別完成四項(xiàng)任務(wù)總的時(shí)間h

    點(diǎn)wijd(t)(vl,vj)v2v3v4v5t = 1 t = 2 t = 3 v15 7 8 8 5 5 5 v20 1 -1 -2 7 6 6 v32 0 4 2 8 4 4 v45 7 0 0 8 3 3

    通過(guò)回溯,最短路為1-2-5。即x12=1,x25=1,x33=1,x44=1,其余為0。原指派問(wèn)題的解甲譯英,乙譯德,丙譯俄,丁譯日。

    2.2人數(shù)與工作數(shù)不等的指派問(wèn)題

    效率矩陣如表2所示,問(wèn)如何分配使完成任務(wù)使總時(shí)間最小。

    表2 分配使完成任務(wù)使總時(shí)間h

    首先,我們將效率矩陣轉(zhuǎn)換為

    點(diǎn)d(t)(v1,vj)v2v3v4v5v6t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 v10 4 6 1 7 1 2 0 0 0 0 v20 -1 -1 3 -1 9 -6 4 -1 -7 -7 v37 0 1 1 3 5 6 -1 3 -1 3 -1 3 v41 4 6 0 -1 3 9 1 7 -1 9 -2 6 -2 6 1 2 -6 -6 -6 w i j

    通過(guò)回溯,最短路為1-2-4-5,即x12=1,x24=1,x45=1,x33=1,其余為0。原指派問(wèn)題的解任務(wù)甲在機(jī)器1上做,任務(wù)乙在機(jī)器3上做,任務(wù)并在機(jī)器2上做,任務(wù)丁在機(jī)器4上做。

    3 結(jié)語(yǔ)

    本文通過(guò)對(duì)運(yùn)籌學(xué)中的兩類經(jīng)典問(wèn)題:指派問(wèn)題和最短路問(wèn)題的對(duì)比分析,發(fā)現(xiàn)并證明了兩者之間的聯(lián)系,并借用這種聯(lián)系用解最短路的解法解決指派問(wèn)題。但是如果閉回路中存在負(fù)回路就不存在最短路,這種解法就會(huì)失效,所以我們需要繼續(xù)研究使其更加完美,并把它應(yīng)用到解決更多特殊的指派問(wèn)題中。

    [1]錢頌迪.運(yùn)籌學(xué)[Ml.北京:清華大學(xué)出版社,1996.

    [2]謝凡榮.求解指派問(wèn)題的一個(gè)算法[J].運(yùn)籌與管理,2004(6):37-40.

    [3]戴儉華,毛學(xué)榮.指派問(wèn)題與最短路徑問(wèn)題的相互關(guān)系[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1992(1):132-140.

    [4]Oh Y H,Hang H,Cha C N,Lee S.A dock-door assignment problem for the Korean mail distribution center[J].Computers&Industrial Engineering,2006(51):288-296.

    [5]高興佑,張向輝.一種基于伏格爾法的指派問(wèn)題新算法[J].曲靖師范學(xué)院學(xué)報(bào),2008(3):12-14.

    [6]Huang G F,Lin A.A hybrid genetic algorithm for the three index assignment problem[J].European Journal of Operational Research,2006(172):249-257.

    [7]張勁松.求解指派問(wèn)題的對(duì)角調(diào)整法[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2007(23): 164-165.

    (編輯:劉楠)

    A progressive Algorithm Assignment Problem

    Wang Zhufang,Pan Xue
    (Management School of Shenyang Industry University,Shenyang Liaoning 110870)

    Based on the two types of operations research in the classic question:assignment problem and comparative analysis of the short-circuit problem,we find and prove the existence of certain links between the two,and try to borrow such a link with a solution to solve assignment shortest path method question,the ultimate proof of this progress effectiveness and efficiency.

    operations research;the assignment problem;path

    O241

    A

    2095-0748(2015)21-0065-03

    10.16525/j.cnki.14-1362/n.2015.21.28

    2015-10-06

    王竹芳(1972—),女,山東萊州人,博士,副教授,研究方向:經(jīng)濟(jì)管理中的數(shù)學(xué)方法與系統(tǒng)優(yōu)化。

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