賞析高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的復(fù)數(shù)問題

林海

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-8882（2015）04-031-02

復(fù)數(shù)具有代數(shù)形式、三角形式、指數(shù)形式等多種表述方式，所蘊含的實際意義是以新的視角、新的途徑溝通了代數(shù)、三角和幾何等內(nèi)容之間的聯(lián)系，由此，該知識點是各類考試（尤其是數(shù)學(xué)聯(lián)賽和自主招生）選拔優(yōu)秀學(xué)生的的一個重要內(nèi)容。

一、復(fù)數(shù)知識

（一）復(fù)數(shù)的表示形式與運算

代數(shù)形式：

三角形式：

指數(shù)形式：

題1（2013年四川8）已知 是虛數(shù)單位， ，把復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)記為 ，則 =_________.

解 ，由周期性知每相鄰4個數(shù)的和為0，則 ， ，

題2（2010年浙江15）設(shè) 是虛數(shù)， ，則 的實部取值范圍為_____

解 法一：設(shè) ， ，由題意 是實數(shù)，

則 ，得

①當(dāng) 時， ，無解

②當(dāng) 時， ，得

法二：由復(fù)數(shù)除法的幾何意義知 表示的點與 表示的點關(guān)于 軸對稱，且到原點的距離都為1，由加法的幾何意義知 是以 為鄰邊的菱形的對角線，又 是實數(shù)，則 的實部是 的實部的2倍，所以 的實部取值范圍為 。

（二）復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)

題3（2014年山東7）已知 ，則 的值為_______

解 由乘法的性質(zhì)知 ， ，

題4（2011年湖北5）設(shè) 是模為2的復(fù)數(shù)，則 的最大值與最小值的和為_________

解 由 ，知 ，

，故

其最大值為 ，最小值為 。故所求為4。

（三）復(fù)數(shù)的單位根

題5（2010年山東7）已知 為復(fù)數(shù)， 為虛數(shù)單位。若 ，則當(dāng) 為實數(shù)時， 的最小值為（ ）

A. B.3 C. D.

解 法一：設(shè) ，由題意 ， 得 ，則

， 表示輔角為60°或120°的復(fù)數(shù)，至少當(dāng) 時 為實數(shù)，所以

法二：由復(fù)數(shù)及其加法的幾何意義知 ， 的終點在單位圓上， 與 關(guān)于 軸對稱且在單位圓上，因為 ，則 與 夾角為-60°或240°， 的輔角為60°或120°， 略

二、復(fù)數(shù)方法

（一）復(fù)數(shù)在代數(shù)中的應(yīng)用

題6（2012年天津9）如果復(fù)數(shù) 滿足 ，且 ，其中 為實數(shù)，則 的最大值是________

解 法一： ，則 ，求 的最大值，可以借助線性規(guī)劃求解，代表單位圓的動點 ，求 的最大值，轉(zhuǎn)化為相切的問題即得

法二：令 ，則 ，所以最大值為

法三：由不等式 ，得最大值為

（二）復(fù)數(shù)在幾何中的應(yīng)用

題7（2012年遼寧7）設(shè)

，則 在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)區(qū)域的面積是__________

解 ，設(shè) ，則有 ，

。

易知 ，故 ，所以復(fù)數(shù) 對應(yīng)的點形成的區(qū)域是以點（7，8）為圓心，4為半徑的圓面，其面積為 。

三、近五年各省對復(fù)數(shù)考查情況

在預(yù)賽中考查的省份有：山西、吉林、福建、江西、河南、陜西、甘肅、貴州，我們不難發(fā)現(xiàn)今年考查的比重頻率有上升趨勢，考查基本計算和靈活應(yīng)用性質(zhì)和幾何意義居多，尤其是14年在全國聯(lián)賽一試中已經(jīng)以解答題的形式出現(xiàn)，讓很多人無從下手，筆者預(yù)測15年各省預(yù)賽試題中將會大面積的出現(xiàn)復(fù)數(shù)的考查，這勢必要引起考生和教師的注意。

練習(xí)題

1.（2011年湖南5）已知復(fù)數(shù) 滿足 ，復(fù)數(shù) 的虛部為2，則 為實數(shù)的條件是 _________

2.（2012年山東6）設(shè) 為一對不相等的共軛復(fù)數(shù)，且 ， 為實數(shù)，則 的值為（）

3.（2013年遼寧3）設(shè) 均為非零復(fù)數(shù)，令 ，若 ，則 的值為（ ）

4.（2012年湖南4）設(shè)實數(shù) ，如果復(fù)平面上的動點 滿足 則動點 的軌跡是（ ）

5.（2013年安徽6）設(shè)復(fù)數(shù) 滿足 的實部與虛部之比為 ，其中 是虛數(shù)單位， ，則 的最大值為________

6.（2014年全國11）確定所有的復(fù)數(shù) ，使得對任意復(fù)數(shù) 均有

附答案：1. 2.3 3. 4.焦距為4的橢圓 5. 6.

參考文獻(xiàn)：

[1]2011年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽備考手冊[M].華東師范大學(xué)出版社，2010.

[2]2012年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽備考手冊[M].華東師范大學(xué)出版社，2011.

[3]2013年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽備考手冊[M].華東師范大學(xué)出版社，2012.

[4]2014年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽備考手冊[M].華東師范大學(xué)出版社，2013.

[5]2015年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽備考手冊[M].華東師范大學(xué)出版社，2014.

[6]劉詩雄.奧數(shù)教程第五版（高二年級）[M].華東師范大學(xué)出版社，2011.