車橋豎向隨機(jī)振動(dòng)的概率密度演化分析

余志武，毛建鋒，談遂，曾志平

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車橋豎向隨機(jī)振動(dòng)的概率密度演化分析

余志武，毛建鋒，談遂，曾志平

(中南大學(xué)土木工程學(xué)院，高速鐵路建造技術(shù)國家工程實(shí)驗(yàn)室，湖南長沙，410075)

基于車?橋豎向耦合模型，引入不平順功率譜隨機(jī)諧和函數(shù)，采用維超立方體點(diǎn)集(gp集)選取離散隨機(jī)頻率代表點(diǎn)，得到代表性軌道高低不平順隨機(jī)激勵(lì)樣本并進(jìn)行慢變調(diào)制；建立概率密度演化方法的隨機(jī)動(dòng)力方程，基于MATLAB編制車橋耦合隨機(jī)振動(dòng)概率密度演化分析程序；采用newmark-積分法及帶TVD格式的雙邊差分法計(jì)算車橋振動(dòng)響應(yīng)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差及時(shí)變概率密度演化分布。研究結(jié)果表明：與Monte Carlo法相比，概率密度演化法分析車橋隨機(jī)振動(dòng)精度更高，計(jì)算效率提高1~2個(gè)數(shù)量級；輸入均勻隨機(jī)分布頻率和初相位的軌道不平順激勵(lì)，輸出響應(yīng)并非均勻分布，隨車速先增加后減少，概率分布呈高斯型分布；軌道不平順引起的系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)受車速影響較大。

車橋耦合模型；概率密度演化方法；軌道高低不平順；維超立方體點(diǎn)集；功率譜

車橋系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜時(shí)變的隨機(jī)系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)參數(shù)、輸入激勵(lì)及輸出響應(yīng)等均具有極強(qiáng)的隨機(jī)性。國內(nèi)外學(xué)者針對高速鐵路車橋耦合振動(dòng)領(lǐng)域，對模型建立及輪軌激勵(lì)下的系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行了研究[1?4]。利用1條或幾條實(shí)測或模擬的軌道不平順激勵(lì)樣本產(chǎn)生的系統(tǒng)響應(yīng)具有很大的離散性[5]，對于由隨機(jī)激勵(lì)作用造成的系統(tǒng)影響及程度，現(xiàn)有的方法尚不能全面地考慮系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)特性，而經(jīng)典的Monte Carlo法因計(jì)算量巨大而研究較少。在工程實(shí)踐中，人們不但關(guān)心結(jié)構(gòu)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)量，而且重視對結(jié)構(gòu)響應(yīng)均值及最大值等的控制，僅進(jìn)行少數(shù)確定性時(shí)程分析，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，因此，迫切需要深入發(fā)展車橋耦合隨機(jī)振動(dòng)研究。目前，車橋隨機(jī)振動(dòng)分析方法主要有隨機(jī)模擬法、隨機(jī)攝動(dòng)法、概率密度演化方法[6?7]及虛擬激勵(lì) 法[8?9]等。李杰、陳建兵等[6]建立的廣義概率密度演化方程，在線性與非線性多自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)隨機(jī)反應(yīng)分析、可靠度計(jì)算等方面取得了較系統(tǒng)的成果。該法可輸出高精度系統(tǒng)響應(yīng)均值、標(biāo)準(zhǔn)差及概率密度演化過程。陳建兵等[10]還提出了基于功率譜的隨機(jī)諧和函數(shù)表達(dá)，使結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)理論趨于完善。軌道不平順激勵(lì)具有明顯的時(shí)變隨機(jī)性，用概率密度隨機(jī)理論來描述軌道不平順的隨機(jī)性是合理并具有較高計(jì)算精度。本文作者針對軌道高低不平順激勵(lì)的隨機(jī)性，結(jié)合廣義概率密度演化方法[11]，據(jù)車橋耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)的客觀實(shí)際狀態(tài)實(shí)現(xiàn)車橋系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)分析，以便得到系統(tǒng)振動(dòng)的時(shí)變響應(yīng)全概率演化信息。

1 代表性軌道不平順樣本激勵(lì)

1.1 軌道隨機(jī)不平順隨機(jī)模擬

在空間域中，軌道不平順為一系列以為橫坐標(biāo)的軌道空間位置，除了得到實(shí)測值外還可進(jìn)行數(shù)值模擬。軌道不平順功率譜模型與地震功率譜不同，其在截止頻率范圍內(nèi)譜值呈指數(shù)變化[12]。無論隨機(jī)頻率如何，具有隨機(jī)頻率和相位的隨機(jī)諧和函數(shù)過程的功率譜精確等于原功率譜[13]，因此，頻率截?cái)嗟募墧?shù)越多，便可得到輸出響應(yīng)的概率信息越精確。

根據(jù)文獻(xiàn)[13]，豎向軌道不平順激勵(lì)可模擬為隨機(jī)諧和函數(shù)：

則由式(1)表達(dá)的隨機(jī)過程y()的功率譜函數(shù)為。因而，功率譜密度函數(shù)滿足[10, 14]

1.2 gp集選取離散代表點(diǎn)

軌道高低不平順隨機(jī)諧和函數(shù)y()中，隨機(jī)向量維數(shù)為2，不平順空間頻率離散點(diǎn)的選取直接影響計(jì)算的精度。為得到隨機(jī)函數(shù)全概率信息的代表性樣本，可先討論2維隨機(jī)向量的選點(diǎn)問題。據(jù)方開泰等[14]的研究，由平方根序列法生成2維超立方體點(diǎn)集(gp集)：

可認(rèn)為式(4)是2維超立方體中的均勻散布點(diǎn)集，其中為互不相同的素?cái)?shù)，表示小數(shù)部分。文獻(xiàn)[15]建議在一般情況下，依次取前個(gè)素?cái)?shù)，空間頻率與角頻率的關(guān)系為，為軌道不平順波長，為列車運(yùn)行速度，則由下式變換得到離散代表點(diǎn)：

其中：=1，2，…，；=1，2，…，n。每一組點(diǎn)集的初始賦值概率均為，n為代表點(diǎn)集總組數(shù)。根據(jù)gp集合的偏差[14]，，=1，2，…；為構(gòu)成的點(diǎn)集。將式(5)代入式(1)，則可得代表性軌道高低不平順激勵(lì)函數(shù)：

1.3 軌道不平順激勵(lì)的空間域與時(shí)域轉(zhuǎn)換及慢變 調(diào)制

橋面上的軌道平順性比一般路基地段的高[2]，因此，需要對橋上軌道不平順進(jìn)行調(diào)制。假設(shè)軌道不平順為空間域內(nèi)的均勻調(diào)制演變非平穩(wěn)隨機(jī)過程(其中，為正弦慢變調(diào)制函數(shù)，y()為以空間坐標(biāo)為自變量的零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程)。通過關(guān)系式可將軌道不平順激勵(lì)由空間域轉(zhuǎn)換為時(shí)間域，即

2 車橋豎向振動(dòng)概率密度演化方程的建立及求解

2.1 輪軌關(guān)系假設(shè)

假設(shè)：1) 車輛始終以速度勻速運(yùn)行；2) 車體、輪對與鋼軌均視為剛體；3) 輪對不脫離鋼軌，車輪在鋼軌上運(yùn)行時(shí)不發(fā)生滑動(dòng)，無爬軌、跳軌和脫軌現(xiàn)象發(fā)生。

根據(jù)假定，考慮豎向軌道不平順激勵(lì)的隨機(jī)性，輪軌幾何關(guān)系表述為

2.2 車橋豎向隨機(jī)動(dòng)力方程

由輪軌關(guān)系假設(shè)可知，輪軌不具有彼此獨(dú)立的自由度，車輛系統(tǒng)具有6個(gè)獨(dú)立自由度，記為。由彈性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)總勢能不變值原理[3]及形成矩陣的“對號入座”法則即可得系統(tǒng)有限元振動(dòng)方程。車輛系統(tǒng)動(dòng)力方程為

其中：

橋梁結(jié)構(gòu)假設(shè)為Bernoulli?Euler簡支梁，對橋梁進(jìn)行有限元離散得到動(dòng)力方程：

車橋動(dòng)力系統(tǒng)是復(fù)雜耦合的動(dòng)力系統(tǒng)，系統(tǒng)方程具有很強(qiáng)的時(shí)變性和隨機(jī)性。由于車橋時(shí)變系統(tǒng)中非線性因素難以把握及求解困難等，在一般情況下，動(dòng)力方程(11)描述為適定的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，暫不考慮非線性因素。在給定的初始條件作用時(shí)，車橋耦合隨機(jī)振動(dòng)方程依賴于隨機(jī)變量，其解答存在且唯一。

2.3 隨機(jī)振動(dòng)的概率密度演化求解

假定車橋系統(tǒng)只有軌道高低不平順隨機(jī)激勵(lì)源，中間沒有新的隨機(jī)源產(chǎn)生，則此系統(tǒng)滿足概率守恒條件[15]。

1) 由式(1)及式(4)提供的gp集獲得軌道高低不平順樣本，并經(jīng)式(7)對隨機(jī)不平順樣本進(jìn)行調(diào)制非平穩(wěn)化及頻域與時(shí)域的轉(zhuǎn)換，從而得到非平穩(wěn)的軌道不平順樣本，并確定各軌道高低不平順代表樣本的初始賦得概率P。

2) 基于式(11)建立的隨機(jī)激勵(lì)車橋動(dòng)力方程，利用newmark-高效逐步積分法，求解給定隨機(jī)變量的代表性樣本激勵(lì)作用下的隨機(jī)振動(dòng)方程(11)，輸出系統(tǒng)響應(yīng)，和。

在車橋耦合動(dòng)力分析中，位移、速度和加速度等是衡量行車安全和穩(wěn)定的重要因素。對于一般性結(jié)構(gòu)而言，結(jié)構(gòu)響應(yīng)均可其位移和速度響應(yīng)確定[16]。據(jù)此，可設(shè)為待求解系統(tǒng)隨機(jī)向量(其中，為需求解響應(yīng)數(shù)量)，則有，將式(12)代入得

或

式中：Pr為概率函數(shù)；為時(shí)刻變量的時(shí)域分布，為隨機(jī)變量的響應(yīng)分布，D/D為對概率密度函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)Reynold轉(zhuǎn)換定理和相關(guān)推導(dǎo)，并將式(14)代入式(15)和(16)，可得廣義密度演化方程[12]：

確定初始條件式(18)后，利用帶TVD格式的雙邊差分法[6]求解偏微分方程(18)，獲得的解答，即可得系統(tǒng)響應(yīng)的概率密度函數(shù)：

3 算例分析及驗(yàn)證

本文以32 m標(biāo)準(zhǔn)簡支箱梁、德國ICE動(dòng)車組為工程背景，建立三跨簡支梁豎向車橋耦合動(dòng)力方程，在MATLAB計(jì)算平臺上編制基于概率密度演化方法的車橋豎向耦合振動(dòng)程序，以軌道高低隨機(jī)不平順作為輸入激勵(lì)。為方便與Monte Carlo法進(jìn)行比較，采用4列車編組即動(dòng)+拖+拖+動(dòng)，運(yùn)行時(shí)速為60~400 km/h；采用德國低干擾軌道高低不平順譜，空間頻率Ω[0.05，3] rad/m，隨機(jī)頻率數(shù)=30，高低不平順代表性樣本組數(shù)n=300；箱梁基本參數(shù)為：=3.45×104N/mm2，=8.89 m2，I=10.95 m4，其一階、二階自振頻率分別為5.12 Hz和17.04 Hz；橋上不平順調(diào)制系數(shù)=0.65，調(diào)制過渡段長度0=20 m，列車從距離橋頭?150 m處開始運(yùn)行，保證列車振動(dòng)穩(wěn)定后再上橋。

3.1 計(jì)算效率與精度的驗(yàn)證

圖1~3所示為軌道高地不平順隨機(jī)激勵(lì)作用下的豎向車橋時(shí)變耦合系統(tǒng)概率密度演化分析結(jié)果，包括三維概率密度演化圖、等概率密度曲線圖、均值及標(biāo)準(zhǔn)差曲線圖。為驗(yàn)證本文方法的高精確性，分別與經(jīng)典Monte Carlo 隨機(jī)分析方法各計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比。分析對比圖1~3所示響應(yīng)，Monte Carlo法200次、1 000次和5 000次的運(yùn)行結(jié)果與概率密度演化?newmark逐步積分法(PDF-NEWMARK)300組代表時(shí)程計(jì)算結(jié)果的最大偏差如下：橋梁跨中撓度標(biāo)準(zhǔn)差分別為18.62%，7.55%和2.02%；第1節(jié)列車豎向位移標(biāo)準(zhǔn)差分別為19.87%，4.58%和1.75%；第1節(jié)列車豎向加速度標(biāo)準(zhǔn)差分別為15.47%，5.42%和1.23%。研究表明，采用PDF-NEWMARK 300組代表性樣本分析時(shí)即可達(dá)到Monte Carlo 法5 000次計(jì)算相當(dāng)?shù)木?，?00組PDF需時(shí)95.1 min，而5 000次Monte Carlo法耗時(shí)1 623 min，可見與Monte Carlo法相比，計(jì)算效率提高了1~2個(gè)數(shù)量級。因此，概率密度演化方法具有較高的精度與計(jì)算效率，驗(yàn)證了文獻(xiàn)[6]中的結(jié)論。

(a) 撓度PDF；(b) 等概率密度曲線；(c) 撓度均值；(d) 撓度標(biāo)準(zhǔn)差1—Monte Carlo 200；2—Monte Carlo 1 000；3—Monte Carlo 5 000；4—PDF-NEWMARK 300

(a) 位移PDF；(b) 等概率密度曲線；(c) 位移均值；(d) 位移標(biāo)準(zhǔn)差1—Monte Carlo 200；2—Monte Carlo 1 000；3—Monte Carlo 5 000；4—PDF-NEWMARK 300

(a) 加速度PDF；(b) 等概率密度曲線；(c) 加速度均值；(d) 加速度標(biāo)準(zhǔn)差

分析圖1可知：120 km/h速度下第1跨梁跨中豎向撓度均值最大值為1.13 mm，相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差最大值為0.02 mm，變異系數(shù)為1.79%，軌道不平順對橋梁動(dòng)力響應(yīng)較小，其等概率密度演化曲線分布范圍相對狹窄，概率密度峰值符合響應(yīng)均值趨勢分布。

對圖2所示的對等概率密度演化曲線、均值及標(biāo)準(zhǔn)差曲線進(jìn)行分析可知：120 km/h速度下第1節(jié)列車重心豎向位移響應(yīng)均值最大值為?0.73 mm，相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差為1.04 mm，變異系數(shù)為143.0%。對比圖1與圖2可知：軌道高低不平順激勵(lì)對車體豎向位移響應(yīng)的影響遠(yuǎn)大于橋梁撓度響應(yīng)的影響。列車豎向位移均值在通過三跨橋梁時(shí)，存在隨橋梁撓度變化一致的耦合響應(yīng)規(guī)律及在出橋時(shí)刻的動(dòng)力增大效應(yīng)，這一現(xiàn)象對于單一或少數(shù)軌道不平順樣本激勵(lì)作用下的響應(yīng)曲線是難以發(fā)現(xiàn)的，這亦驗(yàn)證了概率密度演化法能精確模擬列車與橋梁的動(dòng)力耦合作用。標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值變化符合橋上軌道不平順慢變調(diào)制規(guī)律，上橋后的標(biāo)準(zhǔn)差與未上橋時(shí)的比例接近0.65。

分析圖3可知：120 km/h速度下第1節(jié)列車重心豎向加速度響應(yīng)均值最大值為0.90 cm/s2，相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差為3.88 cm/s2，變異系數(shù)達(dá)431.0%，列車振動(dòng)加速度受軌道不平順影響很大；列車過橋時(shí)加速度變化范圍亦受橋梁撓度及調(diào)制函數(shù)的影響，加速度均值基本在零均值附近擺動(dòng)，在三跨橋位置均明顯增大，之后趨于平緩；加速度標(biāo)準(zhǔn)差隨調(diào)制函數(shù)的變化趨勢顯著，加速度概率密度曲線與實(shí)際曲線相吻合。

3.2 振動(dòng)響應(yīng)及車速影響分析

隨著列車車速的增加，車橋耦合振動(dòng)呈現(xiàn)不同的響應(yīng)規(guī)律，因此，將車速分為13個(gè)等級，每30 km/h為1個(gè)工況，從60 km/h到420 km/h等間距分布。圖4~7所示分別為不同車速等級下，列車通過橋梁出現(xiàn)最大均值響應(yīng)時(shí)的第1跨橋梁跨中豎向撓度、第1節(jié)列車重心位移及加速度均值、標(biāo)準(zhǔn)差及概率分布。圖5~7中：和分別為均值和標(biāo)準(zhǔn)差；±，±2和±3分別代表1倍標(biāo)準(zhǔn)差上下界、2倍標(biāo)準(zhǔn)差上下界、3倍標(biāo)準(zhǔn)差上下界。

v/(km·h?1)：1—60；2—120；3—180；4—240；5—300；6—360；7—390

(a) 加速度均值；(b) 加速度標(biāo)準(zhǔn)差；(c) 加速度概率1—μ±σ；2—μ±2σ；3—μ±3σ

(a) 豎向位移均值；(b) 豎向位移標(biāo)準(zhǔn)差；(c) 豎向位移概率1—μ±σ；2—μ±2σ；3—μ±3σ

(a) 撓度均值；(b) 撓度標(biāo)準(zhǔn)差；(c) 撓度概率1—μ±σ；2—μ±2σ；3—μ±3σ

圖4所示為不同速度等級下列車通過第1跨橋梁跨中時(shí)列車豎向加速度響應(yīng)分布的概率密度曲線，為清晰顯示，圖中只給出了間隔60 km/h時(shí)速的概率密度演化曲線，每一概率演化曲線閉合面積為概率值1。從圖4可見：隨著車速增加，概率密度曲線主體重心逐漸右移，概率密度曲線峰值逐漸減小而相應(yīng)的加速度響應(yīng)分布范圍逐漸增大，這也符合圖5中列車加速度響應(yīng)均值和標(biāo)準(zhǔn)差的分布規(guī)律。

從圖5~7中的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分布可知：隨著車速增加，車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)均不同程度增大，橋梁跨中撓度值均和標(biāo)準(zhǔn)差、列車豎向加速度均值和標(biāo)準(zhǔn)差及列車豎向位移的均值和標(biāo)準(zhǔn)差均在300 km/h附近出現(xiàn)響應(yīng)峰值。這是由于32 m標(biāo)準(zhǔn)跨橋梁一階自振頻率5.12 Hz與列車在時(shí)速300 km/h下通過橋梁時(shí)發(fā)生的強(qiáng)振頻率較接近，系統(tǒng)發(fā)生共振耦合而形成的。對比圖5~7可知：在±響應(yīng)范圍內(nèi)，概率保證度保持在(65±5)%；在范圍內(nèi)，概率保證度達(dá)95%以上；在±范圍內(nèi)，概率保證度基本可以達(dá)到99.5%以上，基本符合高斯型正態(tài)分布。

4 結(jié)論

1) 概率密度演化法能精確分析車橋耦合隨機(jī)振動(dòng)，與Monte Carlo法相比，驗(yàn)證了概率密度演化法的高效性和高精度性，計(jì)算效率提高1~2個(gè)數(shù)量級。

2) 輸入具有均勻隨機(jī)分布的頻率和初相位的軌道不平順激勵(lì)，對應(yīng)輸出的系統(tǒng)響應(yīng)并非均勻分布，而是呈現(xiàn)高斯正態(tài)分布規(guī)律。

3) 軌道高低隨機(jī)不平順激勵(lì)對列車豎向振動(dòng)影響遠(yuǎn)大于橋梁振動(dòng)的影響，在一定時(shí)速范圍內(nèi)兩者振動(dòng)響應(yīng)均值、標(biāo)準(zhǔn)差隨車速增加而增大。

4) 振動(dòng)響應(yīng)概率分布范圍隨車速的增加逐漸平緩擴(kuò)大，概率特性基本符合高斯型分布。

5) 列車與橋梁具有較強(qiáng)的耦合作用，并受橋上軌道不平順慢變調(diào)制函數(shù)影響明顯。

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(編輯 陳燦華)

Probability density evolution analysis of track-bridge vertical coupled vibration with irregularity random excitation

YU Zhiwu, MAO Jianfeng, TAN Sui, ZENG Zhiping

(National Engineering Laboratory for High Speed Railway Construction, School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

Based on the simple vertical model of the train-bridge system, the random harmonic functions of track vertical irregularity power spectrum were introduced. The representativepoints of random frequency were selected by utilizing the-dimensional hypercube point set method, which formed the sample of random excitation modulated by the slowly varying function. The random dynamicequation for probability density evolution method was formulated, and by using MATLAB, program for the probability density evolution and analysis of train-bridge coupled random vibration were developed. Eventually, newmarkintegration method and double edge difference method of TVD format were adopted to obtain the mean value, the standarddeviation and the distribution of the time dependent probability density evolution. The results show that compared to the Monte Carlo method, the probability density evolution method has higher accuracy and computation efficiency, with efficiency improved by 1?2 order of magnitudes. When the excitation with randomly distributed frequency and initial phrase for track vertical irregularity is input, the output is not uniformly distributed, rather it distributes in Gaussian style, i.e., with the increase of train speed, the response of system firstly increases and then decreases. The random system response incurred by track vertical irregularity is significantly influenced by trains speed.

train-bridge system model; probability density evolution method; vertical track irregularity;-dimensional hypercube point set; power spectrum

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.04.032

U24

A

1672?7207(2015)04?1420?08

2014?04?12；

2014?06?23

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51278496，51378513)；長江學(xué)者創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(IRT1296)；鐵道部科技開發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目(2013G003-A-3)(Projects (51278496, 51378513) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (IRT1296) supported by the Program for Changjiang Scholars and Innovative Research Team in University; Project (2013G003-A-3) supported by Ministry of Railway Technology Development Projects)

毛建鋒，博士研究生，從事車橋耦合隨機(jī)振動(dòng)研究；E-email：csumjf@csu.edu.cn