基礎(chǔ)共能力一卷 創(chuàng)新與應(yīng)用齊飛

徐剛　陳發(fā)志

隨著新課改的逐步深入，高考命題也不斷與時(shí)俱進(jìn).縱觀2015年各省市的數(shù)學(xué)高考試題，不難發(fā)現(xiàn)在命題方面有很多共同點(diǎn)，除了延續(xù)“總體穩(wěn)定、深化能力立意、積極改革創(chuàng)新”的命題原則，還從原來的注重雙基向優(yōu)化雙基轉(zhuǎn)變，突出對(duì)創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查.

規(guī)律揭秘：2015年高考考什么

1.立足課本重基礎(chǔ)，平穩(wěn)過渡是主流

高考試題既注重考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法，又突出對(duì)支撐學(xué)科知識(shí)體系主干內(nèi)容的考查，做到了重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)考查.

從上述表格中不難看出，試題的設(shè)計(jì)分別取材于構(gòu)成高中數(shù)學(xué)主題框架內(nèi)容的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、立體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計(jì)等，不僅考查分值比例高，而且有機(jī)融合了與之相關(guān)的技能和方法.我們可以預(yù)測(cè)，2016年的高考數(shù)學(xué)仍將圍繞著這些主干知識(shí)展開命題.

例1 （2015·山東卷）一條光線從點(diǎn)（-2，-3）射出，經(jīng)y軸反射后與圓（x+3）2+（y-2）2=1相切，則反射光線所在直線的斜率為（ ）

A. 或 B.或

C. 或 D.或

點(diǎn)評(píng)：試題考查直線與圓的位置關(guān)系，取材于人教版高中數(shù)學(xué)必修2第152頁B組的第5題，一條光線從點(diǎn)（-2，-3）射出，經(jīng)x軸反射后與圓C：（x-3）2+（y-2）2=1相切，求反射光線所在直線的方程. 很多高考試題都“源于課本，高于課本”，在課本練習(xí)的基礎(chǔ)上經(jīng)過加工改造、組合嫁接而成，這也是很多高考選擇題和填空題的命題思路.

例2 （2015·上海卷）已知函數(shù)f（x）=ax2+ ，其中a為常數(shù).

（1）根據(jù)a的不同取值，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；

（2）若a∈（1，3），判斷函數(shù)f（x）在[1，2]上的單調(diào)性，并說明理由.

點(diǎn)評(píng)：試題考查函數(shù)的核心內(nèi)容“三性”中的單調(diào)性和奇偶性.函數(shù)的性質(zhì)是函數(shù)的基礎(chǔ)內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)、最典型的問題，在教材中都有很多類似的例題和習(xí)題. 這道題目根植于書本，很好地考查了考生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度.同時(shí)，隨著新課改的推行，導(dǎo)數(shù)作為工具性作用更為突出，但是數(shù)學(xué)的概念學(xué)習(xí)不會(huì)被削減，支撐起數(shù)學(xué)本質(zhì)的核心概念仍然會(huì)重點(diǎn)考查.

2.突出主干重能力，數(shù)學(xué)思想是核心

高考試題雖然大都以常規(guī)題出現(xiàn)，但是從不削弱對(duì)基本能力的要求.對(duì)支撐學(xué)科知識(shí)體系的主干知識(shí)重點(diǎn)考查，不回避熱點(diǎn)，同時(shí)通過多道主干知識(shí)問題的設(shè)置，淡化壓軸題，突出多題把關(guān).在突出主干知識(shí)，注重基本技能的同時(shí)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的考查，問題的設(shè)計(jì)始終以數(shù)學(xué)思想為核心，堅(jiān)持能力立意，全面考查空間想象、抽象概括、數(shù)據(jù)處理、推理論證、運(yùn)算求解等能力.

例3 （2015· 天津卷）已知函數(shù)f（x）= ，

函數(shù)g（x）=b-f（2-x） ，其中b∈R . 若函數(shù)y=f（x）-g（x） 恰有4個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍是（ ）

A. （，+∞） B. （-∞，） C. （0，） D. （，2）

點(diǎn)評(píng)：本題可以將y=f（x）-g（x）的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象交點(diǎn)問題.根據(jù)圖象的性質(zhì)可知y=f（x）與y=-f（2-x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1， 0）對(duì)稱，故g（x）=b-f（2-x）為函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1， 0）對(duì)稱后上下平移|b|個(gè)單位而得到，由此做出兩個(gè)函數(shù)圖象，并對(duì)y=-f（2-x）的圖象進(jìn)行上下平移，尋求4個(gè)交點(diǎn)的臨界位置，進(jìn)而求出b的取值范圍.

該題是典型的利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題.高考對(duì)數(shù)形結(jié)合的考查形式主要有集合及其運(yùn)算問題（韋恩圖與數(shù)軸）、用函數(shù)圖象解決有關(guān)問題（如方程、不等式、函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)等）、考查運(yùn)用向量解決有關(guān)問題、考查三角函數(shù)的圖象及其應(yīng)用、解析幾何和立體幾何中的數(shù)形結(jié)合等，其中尤其以結(jié)合函數(shù)圖象解決性質(zhì)問題最為突出.

例4 （2015·全國新課標(biāo)卷I）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是 .

點(diǎn)評(píng)：該題考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，將解三角形的原理推廣運(yùn)用到四邊形中，要求考生打破常規(guī)思路，獨(dú)立思考，積極探究.考生對(duì)解三角形的問題很熟練，平時(shí)也練得很多，如果只是陷入題海，不能轉(zhuǎn)化與化歸，本題也無從下手.本題解決的關(guān)鍵是將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，以B，C為定點(diǎn)，直線BC為定直線構(gòu)造一個(gè)三角形BCD，然后根據(jù)∠A=75°構(gòu)造一條動(dòng)直線AD，從運(yùn)動(dòng)的規(guī)律找出點(diǎn)A的臨界位置，從而求出AB的范圍.轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，高考對(duì)這種思想方法的考查所占比重很大，是歷年高考考查的重點(diǎn).

3.創(chuàng)新問題重情境，文化滲透是亮點(diǎn)

數(shù)學(xué)源于生活與實(shí)踐，數(shù)學(xué)知識(shí)是解決實(shí)際問題的有力工具，各省市高考試題都注重對(duì)問題情境的設(shè)計(jì)，通過一些涉及應(yīng)用背景的創(chuàng)新問題，體現(xiàn)高考命題的實(shí)用性.

例5 （2015·全國新課標(biāo)卷I）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖1，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆為一個(gè)圓錐的四分之一，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（ ）

A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛

圖1

點(diǎn)評(píng)：試題在設(shè)置的過程中滲透了傳統(tǒng)文化，以《九章算術(shù)》這一古代數(shù)學(xué)中的問題為背景，考查了立體幾何模型的體積計(jì)算，體現(xiàn)了中國文化的博大精深和源遠(yuǎn)流長.

例6 （2015·湖北卷）如圖2，圓C與x軸相切于點(diǎn)T（1，0），與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B（B在A的上方），且|AB|=2.endprint

（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .

（2）過點(diǎn)A任作一條直線與圓O：x2+y2=1相交于M，N兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：

① =；② -=2；

③ +=2.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是 . （寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

點(diǎn)評(píng)： 本題第（2）問的設(shè)計(jì)隱含阿波尼斯圓的幾何性質(zhì). 阿波尼斯圓：在平面上給定兩點(diǎn)A、B，設(shè)P點(diǎn)

在同一平面上且滿足=k（k>0，且k≠1）的點(diǎn)P的

軌跡是一個(gè)圓，它是由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的. 以阿波尼斯圓為背景的高考試題并非第一次在高考試題中出現(xiàn)，在教材中也有其身影，如人教版數(shù)學(xué)必修2第131頁B組第3題：已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O（0， 0），A（3， 0）的距離之

比為，利用信息技術(shù)手段，探求點(diǎn)M的軌跡，并求出

它的方程.

備考錦囊：2016年高考怎么考

1. 夯實(shí)基礎(chǔ)——咬定青山不放松

高考注重對(duì)主干知識(shí)的考查，因此我們備考時(shí)要針對(duì)主干內(nèi)容（如函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、解析幾何、立體幾何等）進(jìn)行突破，把所學(xué)過的知識(shí)連成線、鋪成面、織成網(wǎng)，梳理出知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成有序立體的知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 在構(gòu)建知識(shí)體系的過程中，可采用思維導(dǎo)圖等方法，結(jié)合典型例題，熟知知識(shí)的前后關(guān)聯(lián)、橫縱比較、綜合交匯，通過不斷的強(qiáng)化訓(xùn)練，達(dá)到舉一反三的效果.

要注重通性通法的訓(xùn)練，淡化技巧.在這幾年的高考試題中，這一點(diǎn)都得以體現(xiàn).對(duì)于解決一類問題的一般方法要重點(diǎn)訓(xùn)練，通過題組、變式訓(xùn)練等方式鞏固通性通法.對(duì)于典型問題的常見思想方法要加以概括、歸納，形成方法體系網(wǎng)絡(luò).

2.提升能力——藝高膽大勤訓(xùn)練

考生要圍繞《考試大綱》涉及的五種基本能力（空間想象、抽象概括、數(shù)據(jù)處理、推理論證、運(yùn)算求解）的要求進(jìn)行專項(xiàng)強(qiáng)化訓(xùn)練.這五種能力的互相關(guān)系也不同，每個(gè)考生的側(cè)重點(diǎn)也不一樣，如運(yùn)算能力是相當(dāng)一部分考生需要突破的瓶頸，尤其是解析幾何綜合題的求解，總是看得到思路卻求不出結(jié)果.因此，我們要對(duì)解析幾何復(fù)雜運(yùn)算過程進(jìn)行訓(xùn)練，通過分步運(yùn)算，一個(gè)階段給出運(yùn)算目標(biāo)，通過不斷的目標(biāo)調(diào)整提高運(yùn)算能力.

3.實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新——功夫還是在書外

創(chuàng)新問題的設(shè)計(jì)情境新穎，注重問題求解的多樣性和思維的發(fā)散性.因此創(chuàng)新問題的訓(xùn)練應(yīng)該在書外，考生要注重多個(gè)章節(jié)知識(shí)和內(nèi)容的遷移交匯，通過各章節(jié)知識(shí)點(diǎn)的有機(jī)融合，在解題過程中看清知識(shí)發(fā)生的本源，看透知識(shí)的形成、推廣和應(yīng)用過程.

小編寄語：高考試題是“年年歲歲題相似”，卻總是“歲歲年年意不同”，有延續(xù)、有傳承，更有創(chuàng)新、有突破.只要肯鉆研、肯學(xué)習(xí)、肯下苦功夫，高考的成功一定屬于我們.endprint