函數(shù)f（x）=應(yīng)用舉例

石冶郝+林玲

盡管函數(shù)f（x）=是兩個基本初等函數(shù)相除的結(jié)果，但是一些涉及數(shù)列、不等式、方程的問題，巧妙借助于函數(shù)f（x）=，可使問題化難為易，化繁為簡. 我們還可以在高考題中找到函數(shù)f（x）=的身影.

例如2005年高考全國卷III第6題：若a=，b=，c=，則（ ）.

A. a

C. c

又如2013年北京高考理科數(shù)學(xué)卷第18題：設(shè)l為曲線C：y=在點(diǎn)（1，0）處的切線，

（Ⅰ）求l的方程；

（Ⅱ）證明：除切點(diǎn)（1，0）之外，曲線C在直線l的下方.

先用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）=的性質(zhì)， 求導(dǎo)得f′（x）=

′=，令f′（x）=0，x=e，當(dāng)x∈（0，e）時，f′（x）>0；當(dāng)x∈（e，+∞）時，f′（x）<0，因此f（x）=在（0，e）嚴(yán)格遞增，在（e，+∞）嚴(yán)格遞減，最大值為f（e）=；又f（1）=0，根據(jù)羅比塔法則[lim=][x→+∞][lim=][x→+∞][lim=0][x→+∞]，函數(shù)f（x）=的圖象如圖1 .

下面通過具體例子介紹函數(shù)f（x）=在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

一、求數(shù)列{}的最大項(xiàng)

考察函數(shù)f（x）=[x][]=[e][]，x≥1，求導(dǎo)得f′（x）=[e][]

′=[x][][-2]（1-lnx），令f′（x）=0，x=e；當(dāng)x∈[1，e）時，f′（x）>0；當(dāng)x∈（e，+∞）時，f′（x）<0，因此f（x）=[x][]在[1，e）嚴(yán)格遞增，在（e，+∞）嚴(yán)格遞減，點(diǎn)x=e為函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為f（e）=[e][]，又函數(shù)只有唯一的極大值點(diǎn)，極大值也是最大值，根據(jù)2

二、比較ab與ba（a>0，b>0）的大小

因?yàn)閍b=[eln][ab]=[e][blna]=[e][ab][]，ba=[eln][ba]=[e][alnb]=[e][ab][]，所以比較ab與ba的大小最終歸結(jié)為比較與的大小，不妨設(shè)a>b，

（1） a>b≥e，<，ab

（2） e≥a>b，>，ab>ba；

（3） a>e>b，當(dāng)0，ab>ba；

當(dāng)b>1時，與大小無法比較，因此abba都有可能. 例如52<25，42=24，32>23.

三、指數(shù)函數(shù)y=ax與冪函數(shù)y=xμ（a>0，a≠1，x>0）的交點(diǎn)個數(shù)

問題等價于討論方程ax=xμ（a>0，a≠1，x>0）有幾個不同的正實(shí)根.

方程兩邊取對數(shù)得lnax=lnxμ ，即xlna=μlnx，

整理得==[lna][]，

當(dāng)[lna][]>即[a][]>[e][]時，方程無解；

當(dāng)[lna][]=即[a][]=[e][]時，方程有一個解；

當(dāng)>[lna][]>0，即[e][]>[a][]>1時，方程有兩個不同的解；

當(dāng)0>[lna][]即1>[a][]>0時，方程有一個解.

特殊情形當(dāng)μ=1時，方程ax=x（a>0，a≠1，x>0）的根的結(jié)論是：

當(dāng)a>[e][]時，方程無解，即曲線y=ax與直線y=x無交點(diǎn)；

當(dāng)a=[e][]時，方程有一個解，即曲線y=ax與直線y=x有一個交點(diǎn)，此時曲線與直線相切；

當(dāng)[e][]>a>1時，方程有兩個不同的解，即曲線y=ax與直線y=x有兩個交點(diǎn)；

當(dāng)1>a>0時，方程有一個解，即曲線y=ax與直線y=x有一個交點(diǎn).

僅僅憑借冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象，很難正確從圖形直觀上判斷出它們的交點(diǎn)數(shù)，直覺有時會欺騙人的眼睛.

四、感悟

縱觀上述三個應(yīng)用，雖然表面上風(fēng)馬牛不相及，但是通過構(gòu)造輔助函數(shù)，最終歸結(jié)為討論函數(shù)f（x）=的性質(zhì). 尤其在高三復(fù)習(xí)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生探究知識產(chǎn)生的源頭和背景，利用函數(shù)思想解決問題，舉一反三，觸類旁通，跳出題海，提高解題能力和學(xué)習(xí)效率.