函數(shù)對稱問題的衍變與類化

江志杰

一、函數(shù)對稱性質(zhì)的衍變

我們知道，若函數(shù)y = f （x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱，則有f（a-x）=f（a+x）[或f （x）=f（2a-x）].倘若引入二元變量x1，x2后，該命題又可表述為：若函數(shù)y= f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱，則x1+x2=2a?f（x1）=f （x2）. 比如常見的二次函數(shù)就具備了上述典型特征.

假設(shè)上述對稱函數(shù)y=f （x）在直線x=a某一側(cè)的圖象發(fā)生了偏轉(zhuǎn)或改變，此時得到新的函數(shù)y=g（x）的圖象必然呈現(xiàn)非軸對稱狀態(tài)，于是就有：若x1+x2=2a，則g（x1）≠g（x2）；若g（x1）=g（x2），則x1+x2≠2a（即x1+x2>2a或x1+x2<2a成立）.

同理，若函數(shù)y= f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）中心對稱，則有f（a-x）+f（a+x）=2b[或f（x）+f（2a-x）=2b].倘若引入二元變量x1，x2后，該命題又可表述為：若函數(shù)y= f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）中心對稱，則x1+x2=2a?f（x1）+f（x2）=2b.比如常見的正、反比例函數(shù)、三次函數(shù)等就具備了上述典型特征.

類似地，假設(shè)上述對稱函數(shù)y=f（x）在點（a，b）某一側(cè)的圖象發(fā)生了偏轉(zhuǎn)或改變，此時得到新的函數(shù)y=g（x）的圖象必然呈現(xiàn)非中心對稱狀態(tài)，于是就有：若x1+x2=2a，則g（x1）+g（x2）≠2b；若g（x1）+g（x2）=2b，則x1+x2≠2a（即x1+x2>2a或x1+x2<2a成立）.

中學數(shù)學經(jīng)常需要研究非對稱函數(shù)的圖象特征或數(shù)量關(guān)系，為了形象貼切、便于參照理解，我們有時可將某些非對稱函數(shù)“類似地”當作“類對稱”進行研究.比如，類比對稱函數(shù)圖象特征不妨引入以下“類對稱”函數(shù)的相關(guān)概念：

若連續(xù)函數(shù)y=f（x）僅在x=a處取得極值，則直線x =a可視作y= f（x）的“類對稱軸”；

類似地，若點（a，f （a））是單調(diào)函數(shù)y= f（x）的拐點（凸曲線與凹曲線的連接點），則點（a，f （a））可視作y= f（x）的“類對稱中心”.

二、“類對稱”函數(shù)問題的類化

所謂問題的類化就是概括當前問題與原有知識的共同本質(zhì)特征，將所要解決的問題納入原有的同類知識結(jié)構(gòu)中去，對問題加以解決.基于非對稱函數(shù)存在著相應(yīng)不等的數(shù)量關(guān)系，因而在非對稱函數(shù)中蘊含豐富的不等式問題、變量取值范圍問題. 近年來很多高考或質(zhì)檢的函數(shù)壓軸試題經(jīng)常以此為素材，綜合考查學生的創(chuàng)新能力和數(shù)學素養(yǎng).非對稱函數(shù)問題若能參照對稱函數(shù)問題在“類對稱”的狀態(tài)下進行合理對照遷移，便可使我們清晰順暢地追溯數(shù)學命題的本源，有利于我們把握數(shù)學問題的實質(zhì)和關(guān)鍵所在，從而找準解題的切入點.

例1 已知函數(shù)f（x）=xe-x（x∈R）.

（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（II）已知函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，證明當x>1時，f（x）>g（x）；

（III）如果x1≠x2，且f（x1）≠f（x2），證明x1+x2>2.

【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力.第（I）小題由f′（x）=（1-x）e-x可得： f （x）的遞增區(qū)間為（-∞，1），遞減區(qū)間為（1，+∞），故其在x=1處取得極大值f（1）=；第（II）小題關(guān)鍵構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）利用導(dǎo)數(shù)知識證明F（x）>0在（1，+∞）上恒成立；第（III）小題只要利用第（II）小題的不等式模型結(jié)合第（I）小題的函數(shù)單調(diào)性即可得證.

然而，對于這樣一道典型的高考試題不應(yīng)僅停留在就題解題上，假如本題沒有第（II）小題作鋪墊提示，恐怕第（III）小題很多人就無從下手了；但有了第（II）小題，則第（III）小題純粹只剩下簡單的代換轉(zhuǎn)化、變形整理.對于本題解答大多學生都是似懂非懂、云里霧里地被動接受.筆者認為：掌握本題的關(guān)鍵應(yīng)在于弄清問題產(chǎn)生的根源，實際上我們由第（I）小題結(jié)果以及函數(shù)值的符號、趨勢，不難勾勒出函數(shù)f（x）=xe-x的圖象（如圖1），圖中直線x=1是函數(shù)f（x）=xe-x的“類對稱軸”，由于“類對稱軸”兩邊增減幅度不同，當f（x1）=f（x2）時，可直觀得到：x1+x2>2，這就是第（II）、（III）小題的問題原始背景.

下面我們結(jié)合圖象尋找證明思路：（根據(jù)已知條件，不妨預(yù)設(shè)x1∈（0，1），x2∈（1，+∞））

x1+x2>2 ? x1>2-x2（注意到x1，2-x2均小于1）

?f（x1）>f（2-x2）（f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增）

?f（x2）>f（2-x2）（已知f（x1）=f（x2））

?f（x）>f（2-x）在（1，+∞）上成立

?F（x）=f（x）-f（2-x）>0在（1，+∞）上成立

于是解決問題的切入點轉(zhuǎn)為常規(guī)的構(gòu)造函數(shù)運用導(dǎo)數(shù)知識證明不等式恒成立問題.

【點評】這種對照函數(shù)圖象分析問題的方式或許更為自然合理、形象直觀，尤其是對第（I）、（II）小題的設(shè)置緣由變得更加明朗清晰，從而讓學生站在更高層面審視數(shù)學問題的來龍去脈，同時也使本題解法更具主動性、深刻性和廣闊性！另外，用“類對稱”眼光看待函數(shù)圖象，讓普通的非對稱函數(shù)曲線不再枯燥生硬，變得更為親切貼近、更具美感靈氣！

例2 已知函數(shù)f（x）=Inx-ax2+（2-a）x.

（I）討論f（x）的單調(diào)性；

（II）設(shè)a>0，證明：當0（-x）；

（III）若函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明：f′（x0）<0.

【解析】本題與例1有著異曲同工之妙！先由f′（x）=-2ax+2-a=-（x>0）得到：

i）若a≤0，則f′（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

ii）若a>0，f（x）在（0，）上單調(diào)遞增；在（，+∞）上單調(diào)遞減.

結(jié)合函數(shù)定義域及函數(shù)值變化趨勢作出f（x）的示意圖2：

當a>0，圖中直線x=是函數(shù)f（x）的“類對稱軸”，由“類對稱軸”兩邊增減幅度不同，可先直觀“承認”第（II）小題中的不等關(guān)系，進而得到第（III）小題中兩個零點x1，x2（0，即x0>.再代入f′（x）=

-（x>0）中便可得f′（x0）<0.

基于上述分析，第（III）小題可由第（II）小題中的等價結(jié)論得到：f（-x1）>f（x1）=f（x2），再結(jié)合f（x）在（，+∞）上單調(diào)遞減，證得x1+x2>，并以此為抓手即可得證.

例3 已知函數(shù)f（x）=Inx-ax，a為常數(shù).

（I）討論f（x）的單調(diào)性；

（II）若函數(shù)f（x）有兩個零點x1，x2，試證明：x1x2>e2.

【解析】本題第（II）小題原始解答十分煩瑣，讓人摸不透問題的主線.其實由（I）求得：

i）若a≤0，則f′（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

ii）若a>0，f（x）在（0，）上單調(diào)遞增；在（，+∞）上單調(diào)遞減.

當f（）>0即0，即ax1+ax2>2.再根據(jù)f（x1）=f（x2）=0，替換為Inx1+Inx2>2，從而得到x1x2>e2.

【點評】從上述高考典例可以看出：借助圖形直觀以及“類對稱”的觀點，可讓我們形象感知數(shù)量不等關(guān)系在“類對稱”函數(shù)模型中的客觀存在和解題意義，大大降低了思維的抽象性和問題的門檻，值得一提的是這種“類對稱”函數(shù)問題在近年高考函數(shù)壓軸題型中嶄露頭角，方興未艾，應(yīng)引起我們足夠的重視和關(guān)注！

例4 已知函數(shù)f（x）=Inx+x2-2x+.

（I）若f′（x1）=f′（x2），求x1+x2的取值范圍；

（II）若x1+x2=2，試判斷f（x1）+f（x2）的符號；

（III）若f（x1）+f（x2）=0，求x1+x2的取值范圍.

【解析】由f′（x）=+x-2=≥0，得f（x）函數(shù)在（0，+∞）定義域上單調(diào)遞增，且注意到f′（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，于是函數(shù)f（x）的圖象在（0，1）上呈上凸，在（1，+∞）上呈下凸，點P（1，0）是拐點（如圖4）.類似的，點P（1，0）是函數(shù)f（x）的“類對稱中心”，由于點P（1，0）左右兩邊增速不同，可憑圖形直觀得到：

若x1+x2=2，則f（x1）+f（x2）≤0（當且僅當x1=x2時取“=”）；

若f（x1）+f（x2）=0，則x1+x2≥2（當且僅當x1=x2時取“=”）.

據(jù)此，可猜想第（III）小題中x1+x2的取值范圍為[2，+∞）.理由可類比例1分析如下：

（根據(jù)已知條件，不妨預(yù)設(shè)x1∈（0，1]，x2∈[1，+∞）

x1+x2≥2 ?x2≥2-x1（注意到x2，2-x1均不小于1）

?f（x2）≥f（2-x1）（f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增）

?-f（x1）≥f（2-x1）（已知f（x1）+f（x2）=0）

?-f（x）≥f（2-x）在（0，1]上成立

?F（x）=f（x）+f（2-x）≤0在（0，1]上成立

利用導(dǎo)數(shù)知識可求得F（x）max=F（1）=0，從而上述猜想得證.

【點評】筆者主張借助函數(shù)圖象以直觀感知、形象對照；在獲得相關(guān)猜想的基礎(chǔ)上，從問題目標入手，不斷地向已知條件求索轉(zhuǎn)化，逐步形成解題思路，最后才給出嚴格的推理論證.這樣做可以使“類對稱”函數(shù)的研究過程通俗化、形象化，又可以為理解非對稱函數(shù)的抽象性質(zhì)提供有效的支撐，并逐步形成處理“類對稱”函數(shù)問題的通性通法！

三、“類對稱”函數(shù)問題的啟示

1.函數(shù)圖象是數(shù)學命題的源泉、探究的載體和解題的助手.很多函數(shù)綜合問題的產(chǎn)生往往來自于對函數(shù)圖象特征的探究，比如常見不等式成立問題是源于函數(shù)曲線間的位置關(guān)系.上述一系列“類對稱”函數(shù)的不等數(shù)量關(guān)系都可以在其圖象上得到直觀體現(xiàn).因此，加強函數(shù)作圖能力的培養(yǎng)是提升分析、解決函數(shù)問題的重要基礎(chǔ)，數(shù)學老師在日常函數(shù)教學中務(wù)必做好示范，潛移默化，帶動學生畫準圖、用好圖，提高圖形鑒賞能力與數(shù)形結(jié)合能力.

2.尋找新、舊數(shù)學問題之間的樞紐或聯(lián)系點，將舊問題的知識方法、技能合理地遷移到新的問題情境中去，從而實現(xiàn)新問題的類化.如已學的對稱函數(shù)性質(zhì)特征可以為研究非對稱函數(shù)提供參照，即便運用“類對稱”角度分析非對稱函數(shù)問題后，但真正解題時仍回歸常規(guī)的通性通法.數(shù)學老師應(yīng)培養(yǎng)學生主動運用已有的知識儲備去開拓探索嶄新的數(shù)學空間.

3.充分挖掘數(shù)學問題中各個子問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，善于捕捉問題中蘊藏的有效信息，弄清各個子問題之間的設(shè)置目的.上述每一個“類對稱”函數(shù)問題的設(shè)置并非“空穴來風”，均能做到層層遞進，前置問題能巧妙地為后續(xù)問題的解決提供合理的臺階.數(shù)學老師應(yīng)鼓勵學生做到循序漸進、步步為營，增強解題信心.

4.樹立問題目標轉(zhuǎn)化意識，鍛煉逆向思維能力.前述分析數(shù)學問題往往從問題目標入手，不斷地向已知條件求索轉(zhuǎn)化，逐步形成解題思路.這說明數(shù)學思維教學中，觀察、分析、比較、類比、歸納、綜合、抽象、概括等都是培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維的重要環(huán)節(jié)，正是參與了數(shù)學問題的分析解決過程，學生才能建構(gòu)自己的認知結(jié)構(gòu)及相應(yīng)的數(shù)學思考和行為習慣.

5.留心數(shù)學語言的表述方式和表達實質(zhì).高中數(shù)學語言豐富多樣，有時簡單明了、形象直觀，有時雖言簡意賅，卻意境幽深、抽象費解.比如前面對稱函數(shù)的性質(zhì)不同表述和例1、例2中第（II）小題的設(shè)問形式都是“換湯不換藥”，可見數(shù)學教學也是數(shù)學語言的教學，教師應(yīng)幫助學生認讀感知有關(guān)的數(shù)學符號、圖形語言等，逐一理解每個數(shù)學術(shù)語，要求學生用自己的語言來理解數(shù)學定義或理清數(shù)學問題實質(zhì).

6.追溯數(shù)學試題的本源，杜絕就題解題.數(shù)學問題的產(chǎn)生往往來源于已有結(jié)論或原始命題的否命題、逆命題、逆否命題等形式，上述一系列非對稱函數(shù)的數(shù)量不等關(guān)系，實際上衍生于對稱函數(shù)性質(zhì)結(jié)論的否定、逆變.因此數(shù)學問題的教育價值不能僅停留在學生被動的接受問題，更應(yīng)為學生營造發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、探索問題的數(shù)學空間.培養(yǎng)學生如何用數(shù)學的眼光、數(shù)學的方法去透視事物本質(zhì)，用數(shù)學思維策略去認識和探索客觀世界.