列一元一次方程解應用題的教學策略

林巧容

【摘 要】2011年版《數(shù)學課程標準》要求學生在數(shù)學的學習過程中運用數(shù)學思維方式進行思考，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，增強應用意識，提高實踐能力，發(fā)展創(chuàng)新意識。

【關鍵詞】一元一次方程 應用題 教學策略

2011年版《數(shù)學課程標準》要求學生在數(shù)學的學習過程中運用數(shù)學思維方式進行思考，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，增強應用意識，提高實踐能力，發(fā)展創(chuàng)新意識。而列方程解應用題是初中代數(shù)學習在應用上的出發(fā)點，是開發(fā)學生智力、培養(yǎng)分析問題、解決問題能力的重要環(huán)節(jié)，為今后學習不等式、方程組、函數(shù)等知識提供思想和方法，也為幾何求值題的解題思路提供模型思想，是初中數(shù)學的重中之重。

初一學生的特點是思維活躍、膚淺，思考問題尚欠深刻，綜合性較差。而列方程解應用題在“審”“設”“找”“列”“檢”“答”的環(huán)節(jié)須經歷抽象、建模等深刻思考才能順利解題，因此，歷來是教學的一個難點。新教材為了分散難點已作了充分的準備。比如，在小學編進了《簡易方程》，讓學生對列方程解應用題在思維和解法上積累經驗；在初一第三章學習了列代數(shù)式，讓學生能從探索具體問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律中，掌握用代數(shù)式進行表達的方法；新教材還在“認識一元一次方程”中舉了大量與生活密切相關的應用題，設出未知數(shù)，讓學生列出方程。這些舉措從心理上有效減輕了學生學習應用題的恐懼心理，也從思想方法上積累了大量解題經驗。但是，初中應用題加大了題目的復雜程度，學生在解題上存在如下問題：1.找不出隱含的等量關系。2.不懂靈活地設未知數(shù)。3.不懂如何使用等量關系。因此，列方程解應用題依然是教學的難點。費賴登塔爾德提出了再創(chuàng)造理論：數(shù)學課堂教學主要是運用問題的解決來啟迪、培養(yǎng)和優(yōu)化學生的思維品質，教師的任務是通過問題的設計為學生的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造提供自由廣闊的天地，進一步引導學生探索，自行挖掘其中蘊含的值得深思的問題。因此，我的教學策略是設計恰當?shù)膯栴}，在問題的思考和解決中以突破以上三個問題為抓手，立足于學生思維能力的培訓，引導學生思考知識間的內在聯(lián)系，注重分析過程的思路開拓與規(guī)律的揭示，從而感悟數(shù)學思想和方法，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力。

一、在問題情境思考中尋找等量關系的策略

引導學生思考知識之間的內在聯(lián)系：方程是含有未知數(shù)的等式，有等式必須要有等量關系。因此列方程解應用題必須要學會找等量關系。如何尋找呢？下面通過例題的示范和回放已學過的例子來歸納總結尋找等量關系的策略。

例題示范（教科書中的例題）：某居民樓頂有一個底面直徑和高均為4m的圓柱形儲水箱（如圖1），現(xiàn)對該樓進行維修改造，為減少樓頂原有儲水箱的占地面積，需要將它的底面直徑由4m減少為3.2m，那么在容積不變的前提下，水箱的高度由原先的4m變?yōu)槎嗌倜?？引導學生思考探索得出：變化前后的不變量就是等量關系——舊水箱的容積=新水箱的容積。根據(jù)班級學生的實際情況，對教材進行再創(chuàng)造，豐富學生的數(shù)學活動經驗，提高思維水平。

鏈接練習：銅仁市對區(qū)主干道進行綠化，計劃把某一段公路的一側全部栽上桂花樹，要求路的兩端各栽一棵，并且每兩棵樹的間隔相等，如果每隔5米栽1棵，則樹苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，則樹苗正好用完，問原有樹苗多少棵？

引導學生分析思考：兩種假設中道路的長度總是不變的。因此，可設原有樹苗x棵，根據(jù)兩種不同栽樹方法的道路長度一樣，列方程5（x+21-1）=6（x-1）。通過例題示范和練習的鏈接讓學生明白等量關系的一種找法：變化前后不變的量就是一個等量關系。

下面通過課件回放第一節(jié)認識“一元一次方程”的五個引例，引導學生歸納出等量關系的另外兩種找法。

題目中有明顯的數(shù)量關系就是等量關系?；胤诺谌齻€引例：甲、乙兩地相距22km，張叔叔從甲地出發(fā)到乙地，每小時比原計劃多走1km，因此提前12min到達乙地。張叔叔原計劃每小時走多少千米？引導學生分析思考：題目中明顯的數(shù)量有“多”“提前”，因此本題等量關系有兩個：①實際每小時行走的路程=原計劃每小時行走的路程+1km；②實際行走時間=原計劃行走時間-12min。引導學生關注題中“和”“差”“倍”“分”等表示數(shù)量關系的詞語，如“一共”“多”“少”“快”“慢”“提前”“超過”“剩余”“增產”“降低”“上升”等，指出：數(shù)量關系的落實在數(shù)學運算上具有相對性。注意辨析：“幾年后”與“第幾年”，“翻一番”與“翻兩番”， “是幾倍”與“增加幾倍”“增加到幾倍”“增加百分之幾”“增加幾分之幾”，“除”與“除以”等細節(jié)上的表達，要咬文嚼字，分辨清楚，注意細節(jié)。

3.挖掘問題中出現(xiàn)的公式，公式本身就隱含著等量關系?；胤诺谖鍌€引例：某長方形操場的面積是5850m2，長和寬之差為25m，這個操場的長與寬分別是多少米？引導學生觀察、分析和思考：題中有一個明顯的數(shù)量關系“差”，有一個公式“長方形的面積”。因此，本題有兩個等量關系：①長方形的面積=長×寬；②長方形的長-長方形的寬=25m。通過以往問題的經驗歸納和回放引例示范，讓學生發(fā)現(xiàn)不同類型的應用題中都隱含有不同的公式，如行程問題：路程=速度×時間；工程問題：工作量=工作效率×工作時間；利潤問題：利潤率=利潤÷進價，利潤=售價-進價；價錢問題：總價=數(shù)量×單價；等等。

二、在解決問題的過程中引出三種設未知數(shù)的方法

引導學生思考知識之間的內在聯(lián)系，方程是含有未知數(shù)的等式，因此列方程解應用題必須設未知數(shù)，未知數(shù)怎樣設呢？有幾種設法？下面通過例子的講解感悟未知數(shù)的三種設法。

第一種：直接設元法。題目求什么，就直接設什么，然后尋找一個能體現(xiàn)題目主要意思的等量關系，列一個方程即可。這種方法應用最廣，學生最愛用，也用得最好，這部分不講，讓學生自主探究，把學習的主動權還給學生。

第二種：間接設元法。有的題目用直接設元法根本無法求出，轉而用間接設元法。

例題示范：在我們的身邊有些股民，在每一次的股票交易中都可能盈利或虧損，某股民將甲、乙兩種股票賣出，甲種股票賣出1500元，盈利20%；乙種股票賣出1600元，但虧損20%，該股民在這次交易中是盈利還是虧損？盈利或虧損多少元？引導啟發(fā)學生思考：盈利還是虧損都是相對原價而言的，必須知道原來甲、乙兩種股票的進價是多少，因此，用間接設元法，設甲種股票進價為x元，乙種股票進價為y元，則根據(jù)利潤公式：利潤率=利潤/進價，得到（1500-x）/x=20%，解得x=1250元；（y-1600）/y=20%，解得y=2000。因為1500+1600-（2000+1250）=-150，所以虧損150元。

第三種：設輔助元。有的題目出現(xiàn)未知量，這個未知量我們不需要知道，但與題意關系密切，為了順利解出問題，這時設一個輔助未知數(shù)起橋梁作用。

例題示范：某藥店經營的抗病毒藥品，在市場緊缺的情況下提價100%，物價部門查處后，限定其提價的幅度只能是原價的10%，則該藥品現(xiàn)在降價的幅度是多少？引導學生思考：本題有一個明顯的等量關系：藥品提價的幅度是原價的10%，可用直接設元法，設降價的幅度為x，本題中原價是多少不知道，也不需要知道，但與題目密切相關，為了順利列出方程，設原價為a元，這個a就是一個輔助未知數(shù)，起個橋梁作用，得（1+100%）a（1-x）=（1+10%）·a。因為a≠0，所以兩邊同除以a，得2（1-x）=1.1x，解得x=0.65。

通過以上問題的解決，學生在積極思考探索中，積累了活動經驗，能根據(jù)題目靈活地設未知數(shù)，掌握設元的技巧，為順利解決問題跨出了重要的一步。

三、通過一題多解或借助表格、線段圖等形象表征法來領會等量關系的使用情況和注意事項

在北師大2013年6月第二版數(shù)學教學用書第225頁有一句話“本課時的情況問題與前面的問題相比，數(shù)量關系要相對復雜一些，它包含兩個等量關系”，這句話不對，在前面例子中只要是求兩個問題，題中一定存在兩個等量關系，只是列一元一次方程解應用題時，另一個等量關系用于列未知量，一個等量關系用于列方程。示范例子（教學用書第217頁例子）：用一根長為10m的鐵絲圍成一個長方形，使得該長方形的長比寬多1.4m，此時長方形的長、寬各為多少米？引導學生思考：本題有兩個等量關系：①明顯的數(shù)量關系，即長方形的長比寬多1.4m，所以等量關系為長方形的長=長方形的寬+1.4m；②題目中隱含著長方形的周長是10m，根據(jù)長方形的周長方式得等量關系為長方形的周長=2（長方形的長+長方形的寬）?？捎弥苯釉O元法，設長方形的長為x米，解法1：用第①個等量關系列未知量，長方形的寬等于長方形的長-1.4m，即長方形的寬為（x-1.4）m；用第②個等量關系列方程，得2[x+（x+1.4）]=10，解得x=3.2，則x-1.4=1.8，得出答案。解法2：用第②個等量關系列未知量，長方形的寬等于長方形的周長除以2-長方形的長，即（5-x）m；用第①種等量關系列方程，得x=5-x+1.4，解x=3.2，則5-x=1.8，得出答案。引導學生明析：方法和過程不一樣，結果一樣，當然這當中有個最優(yōu)化方案的解法，因題而異。

另注意：在應用題中，使用變化前后不變量作為等量關系時，完全是具體量或待定要求設元的量都不作為等量關系使用。示范例子：已知某鐵路橋長1000米，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全通過橋共用了1min，整列火車都在橋上的時間為40s，求火車的車長是多少米。點撥學生可以借助線段圖或表格形象表征法來分析思考：①行程問題可以借助線段圖直觀形象地幫助理解題意（如圖2） ；②在已知量和未知量關系較模糊時可以列表格梳理思路；③引導學生找等量關系。本題是行程問題，根據(jù)路程公式本身隱含著一個等量關系：路程=速度×時間①。但題目中除了求車長一個問題外，相關的速度也是未知量，因此，還需一個等量關系。時間是完全具體量，若車長是待定要求設元的量（即用直接設元法），路程又不一樣，那就從速度方面找等量關系。根據(jù)兩種情況不變的是速度，因此還有一個等量關系：第一種情況的火車速度=第二種情況的火車的速度②。用直接設元法，設火車的車長為x米，根據(jù)等量關系①列未知量，列表：

路程（米） 速度（米/秒） 時間（秒）

第一種情況 1000+x （100+x）/60 60

第二種情況 1000-x （100-x）/40 40

根據(jù)等量關系②列方程得（1000+x）/60=（1000-x）/40，解得x=200。

變式：題目已知條件不變，結果改為求火車的速度。引導學生通過類比思考分析：題目中除了求火車的速度外，相關的車長也是未知量，因此除了等量關系①還需一個等量關系。時間是完全具體量，若火車的速度是待定要求設元的量（即用直接設元法），路程又不一樣，那就從車長方面找等量關系。根據(jù)兩種情況不變的是火車的車長，因此，另一個等量關系是：第一種情況火車的車長=第二種情況火車的車長③。用直接設元法，設火車的速度為y米/秒，根據(jù)等量關系①列未知量，列表：

路程（米） 速度（米/秒） 時間（秒）

第一種情況 60y y 60

第二種情況 40y y 40

根據(jù)等量關系③列方程，得60y-1000=1000-40y，解得y=20。

指出：本題中火車的車長與火車的速度都是不變的，為了讓學生更好地理解等量關系的使用情況，可以鼓勵學生用間接設元法解變式題，解法就是原題的解法，只不過把求出x=200，代入火車的速度（1000+x）/60中，得（1000+200）/60=20（米/秒）。

在列一元一次方程解應用題的一般步驟“審”“設”“找”“列”“檢”“答”六個環(huán)節(jié)中，不是面面俱到，平均使力，而是提出恰當?shù)膯栴}，抓住學生思考問題的“關鍵點”，數(shù)學知識之間聯(lián)系的“聯(lián)結點”，數(shù)學問題變式的“發(fā)散點”，學生思維提升的“育點”和學生思維的“最近發(fā)展區(qū)”作精辟的講解，使學生從紛繁復雜的教學內容中理出頭緒，抓住問題的本質，突破難點。這種“講”與“不講”、“講多”與“講少”、“精講”與“多練”，注重教學節(jié)奏之美的課堂，節(jié)約了很多時間，一方面可以為學生的思考提供足夠的空間，另一方面可以把學習的主動權還給學生，使學生在主動、積極的情感狀態(tài)下掌握知識和技能，同時也培養(yǎng)了分析問題、解決問題的能力。

【參考文獻】

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