構(gòu)造性方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

李斌

【摘 要】構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造性的解題方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維有著重要意義。 新一輪的課程改革增加了向量、概率、算法、微積分等知識(shí)，并強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的相互融合，這使構(gòu)造法的應(yīng)用更加廣泛。綜合相關(guān)文獻(xiàn)資料發(fā)現(xiàn)，廣大教育工作者已經(jīng)對(duì)構(gòu)造法解題的基本類型、構(gòu)造法的功能及構(gòu)造法對(duì)思維能力的培養(yǎng)有了廣泛的研究，但針對(duì)新教材中的新內(nèi)容卻很少涉及。文章通過(guò)對(duì)向量、概率、算法、微積分等七塊知識(shí)點(diǎn)的舉例研究，初步探討構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造法 高中數(shù)學(xué) 新教材 解題

1構(gòu)造思想與構(gòu)造法

構(gòu)造思想是一種數(shù)學(xué)思想，它用構(gòu)造的策略來(lái)解決問(wèn)題，反映了構(gòu)造法的實(shí)質(zhì)。構(gòu)造法是一種數(shù)學(xué)方法，是采用構(gòu)造的方法去執(zhí)行這種策略的具體手段。其實(shí)質(zhì)構(gòu)造思想與構(gòu)造法互為表里，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的表現(xiàn)形態(tài)不具備明確的界限，故統(tǒng)稱為構(gòu)造思想方法，簡(jiǎn)稱構(gòu)造性方法。

構(gòu)造性方法的實(shí)質(zhì)就是依據(jù)某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件或結(jié)論所具有的典型特征，用已知條件中的元素為“元件”，用已知的數(shù)學(xué)關(guān)系為“支架”，在思維中構(gòu)造出一種相關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象、一種新的數(shù)學(xué)形式，從而使問(wèn)題轉(zhuǎn)化并解決的方法。

2怎樣用構(gòu)造法解題

數(shù)學(xué)解題方法形式多樣，種類繁多，構(gòu)造性解題方法就是其中一種?！皹?gòu)造”是一種重要而靈活的思維方式，它沒(méi)有固定的模式。要用好這一方法，需要有敏銳的觀察、豐富的聯(lián)想、靈活的構(gòu)思、創(chuàng)造性的思維等能力。構(gòu)造性解題方法很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，也滲透了猜想、換元、歸納概括、特殊化等重要的數(shù)學(xué)方法。

應(yīng)用構(gòu)造法解題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn)：

（1）要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。使用構(gòu)造法解題是對(duì)已有知識(shí)和方法采取分解、組合、變換、類比、限定、推廣等手段進(jìn)行思維的再創(chuàng)造，構(gòu)成新的式子或圖形來(lái)幫助解題。因此已有的知識(shí)和方法必須豐富、扎實(shí)。

（2）要有明確的方向，即要明確為了解決什么問(wèn)題而建立一個(gè)相關(guān)的構(gòu)造。一般的，在解題過(guò)程中，根據(jù)所給命題的題設(shè)條件或結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，利用多種知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，或形式上的某種相似性，有目的地構(gòu)造一個(gè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，使原命題轉(zhuǎn)化為一個(gè)與之等價(jià)卻又具有某種被賦予特定意義的命題，通過(guò)對(duì)它的討論而使原命題得到解決。

（3）要弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)，以便重新進(jìn)行邏輯整合。用構(gòu)造法解題有兩種結(jié)果：一種是通過(guò)構(gòu)造某個(gè)模型直接得到答案；另一種是把構(gòu)造出的模型應(yīng)用于已知條件中，從而得到答案。因此，要弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)，以便重新進(jìn)行邏輯整合。

3構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)新教材各類型內(nèi)容中的應(yīng)用

2003年我國(guó)頒布了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，這一次數(shù)學(xué)課程改革，使得數(shù)學(xué)課程在教學(xué)內(nèi)容上發(fā)生了很大的變化。它削減了數(shù)列極限、函數(shù)極限、數(shù)學(xué)歸納法、二項(xiàng)式定理、復(fù)數(shù)等內(nèi)容，降低了解析幾何的難度，增加了冪函數(shù)、用向量方法證幾何題、算法、條件概率、幾何概型、微積分等內(nèi)容。

構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性的解題方法，在函數(shù)、向量、幾何、算法等內(nèi)容中都有著廣泛的應(yīng)用，所以我相信，用構(gòu)造法解題會(huì)越來(lái)越普遍，成為一種師生所熟練應(yīng)用的解題方法。下面筆者針對(duì)新教材中改動(dòng)較多的內(nèi)容，分類舉例，體現(xiàn)構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用。

3.1 構(gòu)造法在函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，它貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終。因此，無(wú)論是用構(gòu)造法解函數(shù)題還是構(gòu)造函數(shù)解其他題目，都有著廣泛的應(yīng)用。對(duì)于某個(gè)函數(shù)題，找不到已知條件與未知量的直接關(guān)系，或者想到一道與此題相似的題目，但需要引進(jìn)輔助元素，此時(shí)就要考慮用構(gòu)造法解函數(shù)題；對(duì)于某些問(wèn)題，可以從中找出作為自變量的因素或是可以表示成某一變量的函數(shù)，從而利用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題。

3.2 構(gòu)造法在解析幾何中的應(yīng)用

解析幾何往往是學(xué)生很怕遇到的題目，因?yàn)樗C合性強(qiáng)，數(shù)形結(jié)合緊密。尤其是圓錐曲線方程，經(jīng)過(guò)人為雕琢，經(jīng)常作為高考?jí)狠S題，難度非常高。新課改降低了解析幾何中二次曲線的要求，以掌握基本的幾何知識(shí)為主，不必在一些人為的難題上逗留。但新課程改革強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的各部分知識(shí)都應(yīng)該緊密結(jié)合，不能幾何是幾何，代數(shù)是代數(shù)。所以解析幾何和代數(shù)的聯(lián)系會(huì)更加緊密。我們可以用解析幾何的知識(shí)去解代數(shù)題，也可以用代數(shù)的知識(shí)去解解析幾何題。

4總結(jié)與思考

構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用非常廣泛，不論是添加輔助線還是利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，都會(huì)用到構(gòu)造思想。尤其在新教材中，增加了向量與空間幾何、概率、算法、微積分等知識(shí)，用向量來(lái)證幾何題要構(gòu)造向量；用幾何模型求概率要構(gòu)造二維坐標(biāo)；用計(jì)算機(jī)幫助解決繁難問(wèn)題要構(gòu)造算法；求圖形的面積要構(gòu)造微積分，這使構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用更加廣泛。而且新課標(biāo)還指出：“要將數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)融合在一起，不能代數(shù)就是代數(shù)，幾何就是幾何?！边@要求我們將幾何與代數(shù)整合起來(lái)，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候利用代數(shù)的知識(shí)解決幾何問(wèn)題，例如構(gòu)造向量證幾何題、構(gòu)造不等式做解析幾何題等；也可以利用幾何的知識(shí)解決代數(shù)問(wèn)題，例如構(gòu)造二維坐標(biāo)求概率、構(gòu)造直線與點(diǎn)證不等式等。

通過(guò)對(duì)構(gòu)造法解題的探討，可以得出以下幾點(diǎn)深刻的思想啟示：

（1）構(gòu)造思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中起到化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化和橋梁作用，要運(yùn)用這種方法，就要求掌握各種基本方法，分析題目特點(diǎn)，進(jìn)行創(chuàng)造性聯(lián)想。

（2）運(yùn)用構(gòu)造法解決問(wèn)題，可以使數(shù)學(xué)各分支知識(shí)相互滲透，有利于提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

（3）數(shù)學(xué)各分支知識(shí)為構(gòu)造法解題提供了廣闊而豐富的背景，構(gòu)造方式是最為重要的，有必要留意體會(huì)和理解記憶所構(gòu)造成的輔助元素的含義和作用，以便在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中重視掌握這一獨(dú)特有效的方法。