從復(fù)數(shù)的起源看復(fù)數(shù)的教學(xué)

【摘 要】近年來，高考對復(fù)數(shù)的考察題型主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，而考察內(nèi)容則主要為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式以及四則運(yùn)算。實(shí)際上，現(xiàn)在的高中生大多能熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，而對復(fù)數(shù)本身的概念知之甚少。本文主要從復(fù)數(shù)的起源介紹為何引入虛數(shù)單位，虛數(shù)是否真的存在于現(xiàn)實(shí)世界中。

【關(guān)鍵詞】復(fù)數(shù);幾何意義;數(shù)學(xué)史

普通課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)中以二次方程x2+1=0無實(shí)數(shù)解引入虛數(shù)單位，緊接著介紹復(fù)數(shù)的幾何意義以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算。在這個(gè)過程中，由于對復(fù)數(shù)概念的強(qiáng)調(diào)不夠，很多學(xué)生在復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)結(jié)束之后仍然不懂什么是復(fù)數(shù)。實(shí)際上，最初的虛數(shù)的引入是為了解決三次方程的求根問題，如果我們能合理利用史實(shí)，那么讓學(xué)生從心理上接受虛數(shù)單位i也許就不那么困難了。

意大利數(shù)學(xué)家卡丹在其《大術(shù)》（1545）中提出如下著名問題：將10分成兩個(gè)部分，使他們的乘積為40.卡丹寫道：“顯然，該問題是不可能的。不過我們可以用這樣的方式來求解。將10等分，得5，自乘得25.減去乘積自身，得-15.從5中減去和加上該數(shù)得平方根即得乘積為40得兩個(gè)部分，即?！瓛侀_精神上的痛苦，將乘以，得25-（-15）=40……這的確很矯揉造作，因?yàn)槔盟覀儾⒉荒茏鲈诩冐?fù)數(shù)情形中所能做得運(yùn)算。”（這里+、-、均為今天的符號）（Kleiner，1988）

雖然后來卡丹自己并不能理解這種數(shù)，但這卻讓虛數(shù)的發(fā)展前進(jìn)了一大步。在教學(xué)時(shí)也可以考慮引入類似的適當(dāng)?shù)臄?shù)，讓學(xué)生直觀感受虛數(shù)的必要性和存在的真實(shí)性，而不僅僅是介紹虛數(shù)的定義。

例：已知，求x+y，以及x與y的值。

對于x+y，學(xué)生可以直接利用完全平方公式進(jìn)行求解，得

而對于x與y，利用題目的條件可以整理得：x4-2x2+4=0，顯然Δ=-12<0，即x無實(shí)數(shù)解，但實(shí)際上，因此一定存在某種定義方式，使得x與y有解，至此，引出虛數(shù)的實(shí)際定義。

實(shí)際上，可以讓學(xué)生回顧數(shù)系發(fā)展的歷程，每一次的擴(kuò)充都是與實(shí)際的需求想結(jié)合的。為了能在任意兩個(gè)自然數(shù)之間進(jìn)行加減，我們出現(xiàn)了負(fù)數(shù);為了能在兩個(gè)任意整數(shù)之間進(jìn)行乘除，我們出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)，在初中的時(shí)候?yàn)榱苏_表示每個(gè)正方形的對角線的長度，我們引入了無理數(shù)，至此，數(shù)系從自然數(shù)擴(kuò)展到實(shí)數(shù)。然而，為了正確表示每個(gè)一元多項(xiàng)式方程的根，我們引入了虛數(shù)?！敬鷶?shù)學(xué)基本定理：任何復(fù)系數(shù)一元n多次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域上至少有一根（n≥1），由此推出，n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域上有且只有n個(gè)根（重根按照重?cái)?shù)計(jì)算）】虛數(shù)名“虛”實(shí)則不虛，虛數(shù)在自然界中是實(shí)際存在的。

在教材中，我們習(xí)慣直接使用直角坐標(biāo)系表示復(fù)平面上的點(diǎn)，并將這個(gè)具有特殊意義的直角坐標(biāo)系命名為復(fù)平面。很多學(xué)生在使用復(fù)平面時(shí)會不自覺的將實(shí)軸與虛軸相混淆，最終導(dǎo)致對虛數(shù)幾何意義理解錯(cuò)誤。從數(shù)軸的定義可以知道，數(shù)軸的正方向表示正實(shí)數(shù)，負(fù)方向表示負(fù)實(shí)數(shù)，有了這個(gè)定義，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)。正實(shí)數(shù)a變?yōu)閺?fù)實(shí)數(shù)-a，可以理解為正實(shí)數(shù)a乘于-1，即點(diǎn)（a，0）繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，當(dāng)出現(xiàn)虛數(shù)單位時(shí)，由于i2=-1，也就是說乘于兩次i相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)了180°，即由實(shí)數(shù)a變?yōu)樘摂?shù)ai，只需將點(diǎn)（a，0）繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，即可定義直角坐標(biāo)系中的x軸為實(shí)軸，y軸為虛軸。至此，復(fù)平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)一一對應(yīng)。緊接著引入復(fù)數(shù)模的概念，將復(fù)數(shù)的幾何定義與距離建立起聯(lián)系。

綜上所述，從復(fù)數(shù)的起源到復(fù)數(shù)的教學(xué)，遵從歷史史實(shí)更能讓學(xué)生真正明白復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的幾何意義，而不僅僅記住復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算這種機(jī)械式訓(xùn)練。

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作者簡介：

官友鳳，女，1994年3月，漢族，籍貫：廣東省普寧市，學(xué)歷：本科，職稱：學(xué)生，主要研究方向或所學(xué)專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范），單位名稱：華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院。